0 dan ½. Pada penelitian ini akan dicoba membuat suatu formulasi untuk hamburan 2 patikel yang berspin 12 dan 32
3.1 Basis momentum-Helicity
Basis momentum-helicity dibentuk dari 2 state keadaan yaitu state vector momentum dan state helicity. Helisitas adalah proyeksi spin pada vector momentum
yaitu
ˆ 2
λ
p
. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut :
ˆ ˆ
ˆ 2
2 R
z
λ λ
=
p p
3.1
Proyeksi spin λ terhadap sumbu kuantisasi tidak berubah. Dengan ˆ
R p adalah
operator rotasi : ˆ
y z
is is
R e
e
θ φ −
−
=
p
3. 2 Untuk hubungan kelengkapan Completeness Relation dan sifat ortogonalitas dari
state ini adalah : ˆ
ˆ 2
2 1
λ
λ λ =
∑
p p
3. 3
1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2
2 2
ˆ ˆ
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2
2 2
2 2
z R
R z
z z
λ λ λ
λ λ λ λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
δ λ
λ λ
λ λ
λ δ δ
δ
−
′ ′′
′ ′′ ′′
′′ ′
′ ′
= ′
= =
′ ′
′′ ′′
= =
=
∑ ∑
p p
p p
p p
p p
p p
3. 4
State helicity persamaan 3.1 digabungkan dengan state vector momentum maka akan terdefenisikan sebuah basis momentum-helicity yaitu :
ˆ ˆ
; 2 2
λ λ
≡
p p p p
3. 5 Untuk basis yang berparitas :
1 2
ˆ ˆ
; 2 1
; 2 P
π π
λ η
λ =
+
p p p p
3. 6 Dimana nilai eigen dari paritas
1
π
η = ± . Dengan mengoperasikan operator paritas
P
ke basis momentum helisitas ini maka diperoleh :
Universitas Sumatera Utara
1 2
1 1
2 1
ˆ ˆ
; 2 ; 2
ˆ 1
2 ; 2
ˆ ; 2
P P
P P
P P
π π
π π
π π
π η
η π
λ η
λ η
η λ
λ
− +
+
= +
= +
+ =
p p p p
p p p p
ˆ ; 2
π π
η λ
=
p p
3. 7 Fungsi gelombang partikel ber-spin setengah bilangn bulat ganjil adalah fungsi
gelombang yang antisimetrik. Partikel semacam ini adalah disebut juga partikel Fermi Fermion. Sifat antisimetrik ini akan diperkenalkan untuk memperoleh nilai isospin
dan operator permutasi juga digunakan untuk mempertukarkan kedua label dari partikel. Operator permutasi
12
P dioperasikan pada seluruh ruang momentum, spin, Isospin . Dalam ruang momentum
12
P dioperasikan sebagaimana operator paritas P dioperasikan pada ruang momentum, sementara dalam ruang spin dan ruang Isospin
operator
12
P dioperasikan sebagai berikut :
1 12
ˆ ˆ
ˆ 2
2 2
s
P λ
λ λ
+
= −
= −
p p
p 3. 8
1 12
t
P t t
+
= − 3. 9
Di sini
t
t tm
≡
adalah state isospin total dari kedua partikel.
t
m adalah proyeksi isospin terhadap sumbu kuantisasinya dimana
t
m ini juga menjelaskan muatan listrik total dari system. Sekarang basis momentum-helicity
ˆ ; 2 ;
a
t
π
λ
p p didefenisikan
sebagai berikut :
12
1 ˆ
ˆ ; 2 ;
1 ; 2
2
a
t P
t
π π
λ λ
≡ −
p p p p
1 ˆ
1 ; 2
2
t
t
π π
η λ
= −
− p p
3. 10 Sifat antisimetrik dari state di atas adalah :
12 12
1 ˆ
ˆ ; 2 ;
1 ; 2
2
a
P t
P t
π π
λ λ
= −
p p p p
ˆ ; 2 ;
a
t
π
λ = − p p
3. 11 Pada persamaan 3.10 Paritas, Spin dan Isospin harus memenuhi kondisi :
1
t π
η − = − .
Universitas Sumatera Utara
Sekarang sifat ortogonalitas persamaan 3.10 akan didefinisikan. Untuk memperolehnya dibutuhkan hubungan
ˆ 2
λ
p
dan
ˆ 2
λ
−p
. Hubungan ini dapat diturunkan dengan menggunakan defenisi dalam persamaan 3. 1 untuk
ˆ 2
λ
−p
dan fungsi –D Wigner :
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2
D D
z R
z
λ λ λ λ
φθ λ
λ
′ ′
′ =
≡
p p
ˆ ˆ
2 2
ˆ ˆ
2 2
y z
y
is is
is i
z e
e z
e z
e z
θ φ
θ λ φ
λ λ
λ λ
− −
− ′
−
′ =
′ =
2 i
e d
λ φ λ λ
θ
′ −
′
≡
3. 12 dengan :
2 2
,
d d
λ λ λ
λ λ
π θ θ
′ ′
′ −
− = −
3. 13 Untuk lebih lanjut tentang fungsi-D Wigner dapat dilihat pada lampiran B. Dari
persamaan di atas dapat diperoleh :
ˆ ˆ
ˆ 2
2 R
z
λ λ
− = −
p p
2 2
,
ˆ ˆ
2 ˆ
ˆ 2
D z
D z
λ λ λ
λ λ λ
λ λ
′ ′
′ − ′
′ =
− ′
=
∑ ∑
p p
ˆ 2,
λ
= −
p
3. 14 Maka ortogonalitas dari basis momentum-helisitas pada persamaan 3. 10 adalah :
1 ˆ
ˆ ; 2 ;
; 2 ; 1
1 2
a a
t t
t t
t t
π π
π π
λ λ
η η
δ
′ ′
′ ′
′ ′ ′ ′ =
− −
− −
p p p p
ˆ ˆ
; 2 ; 2
π π
λ λ
′
′ ′ ′
× p p p p
3.15 dengan :
ˆ ˆ
; 2 ; 2
1 ˆ
ˆ ; 2
1 1
; 2 2
P P
π π
π π
λ λ
λ η
η λ
′ ′
′ ′ ′ ′ ′ ′
= +
+
p p p p
p p p p
1 ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
; 2 ; 2
; 2 ; 2
; 2 2
π π
π π
λ λ η
λ η λ η η
λ
′ ′
′ ′ ′ =
+ −
+ −
+
p p p p
p p p p
p p
{ }
,
1 ˆ
ˆ {1
2 2 }
2 1
1 2
π π λ λ
π π
π π λ λ
π π
λ λ
η η δ δ
η η δ λ
λ η η δ
δ η η δ
δ
′ ′
′ ′
′ ′
′ −
′ ′
′ ′ =
+ −
+ +
+ × −
′ ′
= +
− +
+ +
p p
p p
p p
p p
p p
Universitas Sumatera Utara
{ }
,
ˆ ˆ
; 2 ; 2
π π
η η λ λ
π λ λ
π π
λ λ
δ δ
δ η δ
δ
′
′ ′ −
′
′ ′ ′ ′
′ =
− +
+
p p p p
p p
p p
3. 16 Dengan demikian persamaan 3.15 menjadi :
{ }
,
ˆ ˆ
; 2 ; ; 2 ;
1 1
1 2
a a
t t
t t
t t
π π
π π
π π
η η λ λ
π λ λ
λ λ
η η
δ δ δ
δ η δ
δ
′
′ ′
′ ′
′ ′ −
′ ′ ′ ′ ′
′ =
− −
− −
× −
+ +
p p p p
p p
p p
{ }
,
1
t t t
π π
π η η
λ λ π
λ λ
η δ δ
δ δ
η δ δ
′
′ ′
′ −
′ ′
= − −
× −
+ +
p p
p p
3. 17 dimana factor
1 1
t π
η
′ ′
− − = −
Persamaan 3.17 di atas adalah merupakan keadaan state yang ternormalisasi. Maka factor normalisasinya dapat diperoleh dengan memperkenalkan sebuah
hubungan kelengkapan Completeness Relation : ˆ
ˆ ; 2 ;
; 2 ; 1
a a
t
d t
t
π π
λπ
λ ρ
λ =
∑∫
p p p p p
3.18 ρ adalah factor normalisasinya.
ρ dapat ditentukan melalui cara berikut : ˆ
ˆ ; 2 ;
; 2
;
a a
t t
π π
λ λ
′ ′′
′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′
p p p p
{ }
{ }
, ,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
; 2 ; ; 2 ;
; 2 ; ;
2 ;
1 1
a a
a a
t t
t t t
tt t
t d
t t
t d
π π
π π π π
π π
λπ π
η η π
η η λπ
λ λ π
λ λ λλ
π λ λ
λ λ
ρ λ
λ ρ
η δ δ
η δ δ
δ δ
η δ δ
δ δ
η δ δ
′ ′′
′ ′′
′ ′′
′ ′ −
′′ ′′
−
′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′
= =
− −
− −
′ ′
× −
+ +
′′ ′′
× −
+ +
∑∫ ∑ ∫
p p p p p
p p p p
p p
p p
p p p
p p
2 ,
,
1 {
}
t t t
π π
π η η
λ λ π
λ λ λ λ
π λ λ
ρ η
δ δ δ
δ η δ
δ δ
δ η δ
δ
′ ′′
′ ′
′ ′′ ′ ′′
′ ′
′′ −
′ ′′ ′
′ ′′
−
′ ′′ ′ ′′
= −
− ×
− +
+ ′ ′′
′ ′′ +
− +
+
p p
p p
p p
p p
,
4 1
{ }
t t t
π π
π η η
λ λ π
λ λ
ρ η
δ δ δ
δ η δ
δ
′ ′′
′ ′
′ ′′ ′ ′′
′ ′
′′ −
′ ′′ ′ ′′
= −
− ×
− +
+
p p
p p
ˆ ˆ
4 ; 2 ;
; 2
;
a a
t t
π π
ρ λ
λ
′ ′′
′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ =
p p p p
3. 19 dengan demikian :
4 ρ =
Maka Persamaan 3. 18 menjadi : 1
ˆ ˆ
; 2 ; ; 2 ;
1 4
a a
t
d t
t
π π
λπ
λ λ =
∑∫
p p p p p
3. 19
Universitas Sumatera Utara
3. 2 Struktur Umum Potensial
Diasumsikan bahwa paritas, spin dan isospin adalah kekal. Elemen matriks potensial pada basis momentum-helisitas adalah :
ˆ ˆ
, ; 2 ;
; 2 ;
a a
t
V t
t
π π
π λ λ
λ λ
′
′ ′ ′ ′
≡
p p p p
p p 3. 21
Dengan menggunakan persamaan 3.10 dan diasumsikan bahwa
V
invariant terhadap operasi paritas :
1
P VP V
−
= , maka elemen matriks potensial persamaan 3. 21 di atas menjadi :
2
1
1 ˆ
ˆ ,
1 ; 2
; 2 2
1 ˆ
ˆ ˆ
1 ; 2
; 2 ; 2
2 1
ˆ ˆ
1 ; 2
; 2 2
ˆ ˆ
; 2 ; 2
1 ˆ
ˆ 1
; 2 ; 2
2 ˆ
ˆ ; 2
; 2
t t
t t
t
V t
V t
t V
t t
V V
t t
V P VP
t
π λ λ
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
η λ
λ η
λ η λ
λ η
λ λ
η λ
λ η
λ λ
η λ
λ
′
−
′ ′ ′ ′
= −
− ′ ′ ′
′ ′ ′ =
− −
+ −
′ ′ ′ =
− −
′ ′ ′ +
− ′ ′ ′
= −
− ′ ′ ′
+ −
p p p p
p p p p
p p p p
p p p p
p p p p
p p p p
p p p p
ˆ ˆ
2 1 2
2
t
t V
t
π π
η λ
λ ′ ′ ′
= −
−
p p
p p
3. 22 dimana :
1 2
π π
η =
+ −
p p
p 3. 23
Dengan cara yang sama diperoleh : ˆ
ˆ ,
2 1 2
2
t t
V t
V t
π λ λ
π π
η λ
λ
′
′ ′ ′
′ =
− −
p p p
p p p
3. 24 Dengan menggunakan persamaan 3. 22 dengan persamaan 3. 24 dan 3. 23
hubungan antara
,
t
V
π λ λ
′ −
′
p p
dan
,
t
V
π λ λ
′
′ −p p
dapat diperoleh sebagai berikut :
2 1
ˆ ˆ
, 2 1
2, 2
ˆ ˆ
2 1 2,
2 ˆ
ˆ 2 1
2, 2
ˆ ˆ
2 1 2,
2
t t
t t
t
V t
V t
t V
t t
P VP t
t V
t
π λ λ
π π
π π
π π
π π
π
η λ
λ η
λ λ
η λ
λ η
η λ
λ
′ −
−
′ ′
′ ′ =
− −
− ′
′ ′ =
− −
− − ′
′ ′ =
− −
− ′
′ ′
= −
− −
−
p p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p
,
t
V
π π λ λ
η
′
′ =
−p p
3. 25
Universitas Sumatera Utara
Hubungan antara
,
,
t
V
π λ λ
′ −
′
p p
dan
,
t
V
π λ λ
′
′ −
p p
diperoleh sebagai berikut :
, 2
1
ˆ ˆ
, 2 1
2, 2,
ˆ ˆ
2 1 2
2 ˆ
ˆ 2 1
2 2
ˆ ˆ
2 1 2
2
t t
t t
t
V t
V t
t V
t t
P VP t
t V
t
π λ λ
π π
π π
π π
π π
π
η λ
λ η
λ λ
η λ
λ η
η λ
λ
′ − −
′ ′
′ ′ =
− −
− ′ ′ ′
= −
− − −
′ ′ ′ =
− −
− ′ ′ ′
= −
− −
−
p p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p
,
t
V
π π λ λ
η
′
′ =
−
p p
3. 26 Dengan cara yang sama hubungan antara
,
,
t
V
π λ λ
′ − −
′
p p
dengan
,
,
t
V
π λ λ
′
′ − −
p p
adalah :
, ,
, ,
t t
V V
π π
λ λ λ λ
′ ′
− −
′ ′
= − −
p p p
p
3. 27 Persamaan 3. 25, 3. 26 dan 3. 27 menunjukkan sifat simetri matriks potensial
dalam basis momentum-hlisitas. Untuk proses selanjutnya perlu diketahui bahwa sifat simetri ini juga berlaku untuk sembarang operator yang invariant terhadap operasi
paritas seperti matriks
T
. Bentuk potensial yang digunakan adalah potensial yang invariant terhadap
rotasi dan juga invariant terhadap operasi pembalikan waktu Time Reversal dan operasi paritas. Bentuk potensial yang dipilih adalah sebagai berikut :
, ,
, .
c s
V V
V ′
′ ′
′ =
+ ×
p p p p
p p s p p 3. 28
Dalam ruang spasial dapat dituliskan dalam bentuk : r
r rl.
c s
V V
V =
+
s
3. 29 Dengan
l r
p = ×
. Operasi pembalikan waktu akan mengakibatkan ,
dan ′ ′
→ − → −
→ −
p p p
p s
s maka didapatkan :
. .
′ ′
− − ×− = ×
s p
p s p p 3. 30
Operasi Paritas akan menyebabkan : ,
dan ′
′ → −
→ − →
p p p
p s
s sehingga diperoleh :
. .
′ − ×− =
×
s p
p s p p 3. 31
Dengan mentransformasikan bentuk potensial 3.28 ke bentuk potensial yang terdiri dari operator helicity
ˆ .
σ p , akan mempermudah proses pengerjaan. σ merupakan
matriks Pauli. Maka terlebih dahulu perlu dikerjakan hubungan antara . ′
×
s p p dan
ˆ ˆ
. . σ
σ ′
p p sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
{ }
1 .
. 2
. . .
2 i
σ σ
σ ′
′ ×
= ×
− ′ ′
= −
s p p p p
p p p
p
=
{ }
ˆ ˆ
. . 2
i p p
α σ σ
− ′ ′ ′
− p p
3. 32 Dimana
ˆ ˆ .
α′ ′
= p p . Untuk lebih jelasnya mengenai transformasi ini dapat dilihat pada
lampiran B. Dengan menggunakan hubungan 3. 32 di atas maka bentuk potensial 3. 28 berubah menjadi :
2
ˆ ˆ
, ,
, {
. . }
i c
s
V V
V p p
α σ σ
−
′ ′
′ ′
′ ′
=+ −
p p p p
p p p
p
ˆ ˆ
, , . .
cs s
f f
σ σ
′ ′
′ =
+
p p p p
p p 3. 33
dengan
, ,
, 2
cs c
s
i f
V p p V
α
′ ′
′ ′ ′
≡ −
p p p p
p p
3. 34 dan
, ,
2
s s
i f
p pV ′
′ ′
≡
p p p p
3. 35 Persamaan 3. 33 dikerjakan dengan menggunakan basis 3. 5 untuk memperoleh
matriks potensial pada basis momentum-helisitas yaitu sebagai berikut:
ˆ ˆ
, ; 2
; 2 ˆ
ˆ 2
, 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, , 2
2 , ,
2 . .
2
cs s
V V
V f
p p f p p
λ λ
λ λ
λ λ
α λ
λ α
λ σ σ
λ
′
′ ′ ′ ′
≡ ′ ′
′ =
′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′
′ =+
p p p p
p p p
p p p p
p p
p p p
[ ]
ˆ ˆ
, , 4
, , 2
2
cs s
f p p
f p p
α α λ λ
λ λ
′ ′
′ ′ ′
′ ′ =+
p p
3. 36 Bila didefinisikan :
, , ,
, , ,
4 , ,
cs s
F p p f
p p f p p
α λ λ α
λ λ α
′ ′ ′
′ ′
′ ′
′ ≡
+ 3. 37
Persamaan 3. 36 dapat ditulis :
ˆ ˆ
, , ,
, ,
2 2
V F p p
λ λ
α λ λ λ
λ
′
′ ′
′ ′ ′ ′
=
p p p
p
3. 38 Berikutnya potensial 3. 33 dievaluasi dengan menggunakan basis momentum-
heilisitas pada persamaan 3. 10 maka diperoleh :
Universitas Sumatera Utara
1 2
ˆ ˆ
, 2 1
2 2
ˆ ˆ
2 1 2
[ ]
2 ˆ
ˆ ˆ
ˆ 1
[ 2
2 2
2 ]
ˆ ˆ
ˆ ˆ
1 [
2 2
2 2
] ˆ
ˆ ˆ
1 [
2 2
2
t t
t t
t t
V t
V t
t V
t t
V V
t t
V V
t V
π λ λ
π π
π π
π π
π π
π π
η λ
λ η
λ η
λ η
λ λ η
λ λ
η λ
λ η λ
λ η
λ λ η
′
′ ′ ′ ′
= −
− ′ ′ ′
= −
− +
− ′ ′ ′
′ ′ ′ = −
− +
− ′ ′ ′
′ ′ ′ = −
− +
− − − ′ ′ ′
′ ′ = −
− +
p p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p p
p p p
p p
p p p
p p
p p
p p p
p
,
ˆ 2 ]
1 ,
, ˆ
ˆ 1
[ , , ,
, 2
2
t t
V V
V F p p
π λ λ
π λ λ π
λ λ
η η
η α λ λ
λ λ
′ ′ −
′ − − − ′
′
= −
− +
−
′
′ ′ ′ ′
= − −
p p
p p p
p p
p p
ˆ ˆ
, , ,
, 2
2 ]
F p p
π
η α λ λ
λ λ
′ ′ ′
′ ′ +
− −
− −
p p
3. 39 Bentuk matriks potensial pada persamaan 3. 39 di atas jelas kelihatan bergantung
terhadap sudut α
′
dan
ˆ ˆ
2 2
λ λ
′ ′
p p
. Dimana :
. cos
cos sin
sin cos
α θ
θ θ
θ φ φ
′ ′
′ ′
′ =
= +
−
p p
3. 40 dan
2 2
2 2
ˆ ˆ
2 2
iM M
M M
e d
d
φ φ λ
λ
λ λ
θ
′− ′
=−
′ ′ ′
=
∑
p p
3. 41 Fungsi-D Wigner dapat ditulis sebagai berikut :
,
j iM
j M M
M M
D e
d
φ
θ φ θ
′ −
′ ′
= 3. 42
Untuk 2
j = maka matriks-d Richard N. Zare, 1988 :
2
cos 2 sin 2
sin 2 cos 2
d θ
θ θ
θ θ
−
=
3. 43
Maka elemen matriks potensial bergantung pada sudut azimuth dan φ
φ ′
melalui cos
φ φ ′− dan
iM
e
φ φ ′−
. Kebergantungan matriks potensial ini terhadap sudut azimuth dapat ditulis sebagai berikut :
{ }
, , cos
t t
iM
V V
e
π π
φ φ λ λ
λ λ
φ φ
′− ′
′
′ ′
=−
p p 3. 44
Universitas Sumatera Utara
3. 3 PERSAMAAN LIPPMANN-SCHWINGER
Pada Sub-bab ini akan dibentuk sebuah persamaan Lippmann-Schwinger untuk matriks-T pada basis momentum-Helisitas. Elemen matriks potensial V pada basis
momentum-Helisitas telah dibentuk pada sub-bab sebelumnya serta sifat simetri dan bagaimana matriks potensial tersebut bergantung pada sudut juga sudah dibahas.
Dengan hasil tersebut, terlebih dahulu akan dihitung elemen matriks-T pada basis momentum-Helisitas yang didefinisikan sebagai berikut :
ˆ ˆ
, ; 2 ;
; 2 ;
a a
t
T t T
t
π π
π λ λ
λ λ
′
′ ′ ′ ′
≡
p p p p
p p 3. 45
Jikalau dilihat kembali ke belakang pada persamaan 2. 24 matriks T merupakan deret tak berhingga dari V maka tentu saja sifat matriks yang dimiliki oleh V ini juga
dimiliki oleh matriks-T, seperti sifat kesimetrian dari V pada persamaan 3. 25, 3. 26 dan 3. 27. Maka sifat simetri dari matriks-T dapat juga dituliskan dengan cara yang
sama sebagai berikut : ˆ
ˆ ,
2 1 2
2
t t
T t
T t
π λ λ
π π
η λ
λ
′
′ ′ ′ ′
= −
−
p p p
p p
p 3. 46
ˆ ˆ
, 2 1
2 2
t t
T t
T t
π λ λ
π π
η λ
λ
′
′ ′ ′
′ =
− −
p p p
p p p
3. 47
, ,
t t
T T
π π
λ λ π λ λ
η
′ ′
−
′ ′
= −
p p p p
3. 48 ,
,
t t
T T
π π
λ λ π λ λ
η
′ ′
−
′ ′
= −
p p p
p 3. 49
, ,
t t
T T
π π
λ λ λ λ
′ ′
− −
′ ′
= − −
p p p
p
3. 50 Kebergantungan matriks-T terhadap sudut juga sama dengan kebergantungan matriks-
V terhadap sudut. Maka kebergantungan matriks-T terhadap sudut azimuth adalah :
{ }
, , cos
t t
iM
T T
e
π π
φ φ λ λ
λ λ
φ φ
′− ′
′
′ ′
=−
p p 3. 52
Menggunakan persamaan Lippman-Schwinger untuk matriks-T persamaan 2. 19 dan completeness relation persamaan 3. 20 maka didapatkan persamaan Lippmann-
Schwinger untuk matriks-T pada basis momentum-Helisitas, sebagai berikut : ˆ
ˆ ,
, ; 2 ;
; 2 ;
a a
t t
T V
t VG E T
t
π π
π π
λ λ λ λ
λ λ
+ ′
′
′ ′
′ ′ ′ =
+
p p p p
p p p p
1 ,
, ,
4
t t
t
V d V
G E T
π π
π λ λ
λ λ λ λ
λ +
′ ′ ′′
′′ ′′
′ ′′
′ ′′ ′′
= +
∑∫
p p p
p p p p 3. 53
Seperti dalam kasus hamburan nucleon-nukleon NN [ I. Fachruddin, Thesis] maka state dari spin total dari kedua partikel adalah ada 2 yaitu : yang pertama dalam
Universitas Sumatera Utara
keadaan tunggal S
= dan yang kedua keadaan lipat lima 2
S = . Untuk kasus
S =
persamaan 3. 53 adalah satu persamaan yaitu λ = :
00 00
00 00
1 ,
, ,
, 4
t t
t t
T V
d V G
E T
π π
π π
+
′ ′
′′ ′ ′′
′′ =
+
∫
p p p p
p p p
p p
3. 54 Untuk kasus
2 S
=
ada lima pasang persamaan untuk setiap nilai helisitas 2, 1, 0,1, 2
λ = − − . Persamaan-persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :
2 2
22 2
21 1
20 2, 1
1 2, 2
2
1 ,
, {
, ,
, ,
4 ,
, ,
, ,
, }
t t
t t
t t
t t
t t
t t
T V
d V
G E T
V G
E T V
G E T
V G
E T V
G E T
π π
π π
π π
λ λ
λ λ
π π
π π
λ λ
π π
λ
+ +
+ +
− −
+ −
−
′ ′
′′ ′ ′′
′′ ′ ′′
′′ =
+ +
′ ′′ ′′
′ ′′ ′′
+ +
′ ′′ ′′
+
∫
p p p p
p p p
p p p p
p p p p
p p p p
p p p p
p p
1 1
12 2
11 1
10 1, 1
1 1, 2
2
1 ,
, {
, ,
, ,
4 ,
, ,
, ,
, }
t t
t t
t t
t t
t t
t t
T V
d V
G E T
V G
E T V
G E T
V G
E T V
G E T
π π
π π
π π
λ λ
λ λ
π π
π π
λ λ
π π
λ
+ +
+ +
− −
+ −
−
′ ′
′′ ′ ′′
′′ ′ ′′
′′ =
+ +
′ ′′ ′′
′ ′′ ′′
+ +
′ ′′ ′′
+
∫
p p p p
p p p
p p p p
p p p p
p p p p
p p p p
p p
02 2
01 1
00 0, 1
1 0, 2
2
1 ,
, {
, ,
, ,
4 ,
, ,
, ,
, }
t t
t t
t t
t t
t t
t t
T V
d V
G E T
V G
E T V
G E T
V G
E T V
G E T
π π
π π
π π
λ λ
λ λ
π π
π π
λ λ
π π
λ
+ +
+ +
− −
+ −
−
′ ′
′′ ′ ′′
′′ ′ ′′
′′ =
+ +
′ ′′ ′′
′ ′′ ′′
+ +
′ ′′ ′′
+
∫
p p p p
p p p
p p p p
p p p p
p p p p
p p p p
p p
1 1
12 2
11 1
10 1, 1
1 1, 2
2
1 ,
, {
, ,
, ,
4 ,
, ,
, ,
t t
t t
t t
t t
t t
t t
T V
d V
G E T
V G
E T V
G E T
V G
E T V
G E T
π π
π π
π π
λ λ
λ λ
π π
π π
λ λ
π π
λ
+ +
− −
− −
+ +
− − −
− +
− − −
′ ′
′′ ′ ′′
′′ ′ ′′
′′ =
+ +
′ ′′ ′′
′ ′′ ′′
+ +
′ ′′ ′′
+
∫
p p p p
p p p
p p p p
p p p p
p p p p
p p p p
, } p p
2 2
22 2
21 1
20 2, 1
1 2, 2
2
1 ,
, {
, ,
, ,
4 ,
, ,
, ,
t t
t t
t t
t t
t t
t t
T V
d V
G E T
V G
E T V
G E T
V G
E T V
G E T
π π
π π
π π
λ λ
λ λ
π π
π π
λ λ
π π
λ
+ +
− −
− −
+ +
− − −
− +
− − −
′ ′
′′ ′ ′′
′′ ′ ′′
′′ =
+ +
′ ′′ ′′
′ ′′ ′′
+ +
′ ′′ ′′
+
∫
p p p p
p p p
p p p p
p p p p
p p p p
p p p p
, } p p
3. 55 Dengan menggunakan sifat simetri matriks potensial dan sifat simetri elemen matriks-
T, maka persamaan 3. 55 di atas dapat direduksi. Dengan menggunakan sifat persamaan 3. 26 dan 3. 48 maka bagian integral dari persamaan 3. 53 dengan
2
λ
′′ = −
dapat dikerjakan sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
, 2 2
2 2
, ,
, ,
t t
t t
d V G
E T d
V G
E T
π π
π π
λ λ
π λ π
λ
η η
+ +
′ ′
− −
′′ ′ ′′
′′ ′′
′ ′′ ′′
= −
−
∫ ∫
p p p
p p p
p p
p p 3. 56
Bila seluruh nilai ′′
p dievaluasi pada bagian integral 3. 56 di atas maka bentuk
akhirnya menjadi :
, 2 2
2 2
, ,
, ,
t t
t t
d V G
E T d V
G E T
π π
π π
λ λ
λ λ
+ +
′ ′
− −
′′ ′ ′′
′′ ′′
′ ′′
′′ =
− −
∫ ∫
p p p
p p p
p p
p p
2 2
, ,
t t
d V G
E T
π π
λ λ
+ ′
′′ ′ ′′
′′ =
∫
p p p
p p 3. 57
Dimana 1
π π
η η = . Untuk
1
λ
′′ = −
, 1 1
1 1
, ,
, ,
t t
t t
d V G
E T d V
G E T
π π
π π
λ λ
λ λ
+ +
′ ′
− −
′′ ′ ′′
′′ ′′
′ ′′ ′′
=
∫ ∫
p p p
p p p
p p p p 3. 58
Dengan demikian sebuah persamaan yang lebih sederhana dapat dibentuk sebagai berikut :
2 2
1 1
, 1 1
, 2 2
1 ,
, {
, ,
, ,
4 ,
, ,
, ,
t t
t t
t t
t t
t t
t t
T V
d V
G E T
V G
E T V
G E T
V G
E T V
G E T
π π
π π
π π
λ λ λ λ
λ λ
λ λ
π π
π π
λ λ
λ λ
π π
λ λ
+ +
′ ′
′ ′
+ +
′ ′ −
− +
′ − −
′ ′
′′ ′ ′′
′′ ′ ′′
′′ =
+ +
′ ′′ ′′
′ ′′ ′′
+ +
′ ′′ ′′
+
∫
p p p p
p p p
p p p p
p p p p
p p p p
p p p p
, } p p
2 2
1 1
1 ,
, ,
2 1
, ,
2
t t
t t
t
V d V
G E T
d V G
E T
π π
π λ λ
λ λ
π π
λ λ
+ ′
′ +
′
′ ′′
′ ′′ ′′
= +
′′ ′ ′′
′′ +
∫ ∫
p p p
p p p p
p p p
p p
1 ,
, 4
t t
d V G
E T
π π
λ λ
+ ′
′′ ′ ′′
′′ +
∫
p p p
p p
3. 59
Oleh sebab itu, untuk kasus 2
S = hanya 3 pasang persamaan yang dibutuhkan
daripada menggunakan 5 pasang persamaan yaitu 2,1, 0
λ′ = untuk setiap
λ . Persamaan 3. 59 di atas adalah merupakan persamaan Lippman-Schwinger untuk
matriks-T pada basis momentum-Helisitas. Persamaan 3. 59 di atas dapat lagi direduksi dengan menggunakan sifat azimuth dari elemen matriks potensial-V dan
sifat azimuth dari elemen matriks-T. Pada kondisi awal ditentukan ˆ
ˆz =
p . Maka :
cos
α θ
′ ′
=
3. 60
dan
2 2
2 2
2
ˆ ˆ
2 2
iM i
M M
M
e d
d e
d
φ λφ
λ λ
λλ
λ λ
θ θ
′ ′
′ ′
=−
′ ′ ′
′ ==
∑
p p
3. 61
Universitas Sumatera Utara
sehingga bagian azimuth dari matriks potensial, yang telah didapatkan pada persamaan 3. 44, dapat dituliskan sebagai berikut :
ˆ ,
, ,
t i
t
V pz
e V
p p
π λφ
π λ λ
λ λ
α
′ ′
′
′ ′
′ =
p
3. 62 Sedangkan untuk matriks-T, kebergantungannya pada sudut azimuth yang telah
dinyatakan pada persamaan 3. 52, menjadi :
ˆ ,
, ,
t i
t
T pz
e T
p p
π λφ π
λ λ λ λ
α
′ ′
′
′ ′
′ =
p
3. 63 Maka persamaan 3. 59 menjadi :
2 2
1 1
1 ˆ
ˆ ˆ
, ,
, ,
2 1
ˆ ,
, 2
t t
t t
t t
T pz
V pz
d V G
E T pz
d V G
E T pz
π π
π π
λ λ λ λ
λ λ
π π
λ λ
+ ′
′ ′
+ ′
′ ′
′′ ′ ′′
′′ =
+ ′′
′ ′′ ′′
+
∫ ∫
p p
p p p
p p
p p p
1 ˆ
, ,
4
t t
d V G
E T pz
π π
λ λ
+ ′
′′ ′ ′′
′′ +
∫
p p p
p
3. 64
Dengan menggunakan persamaan 3. 62 dan 3. 63 serta dengan mendefinisikan : .
cos α
θ ′′
′′ ′′
= =
p p 3. 65
. cos
cos sin
sin cos
β θ
θ θ
θ φ φ
′′ ′
′′ ′
′′ ′′ ′
= =
+ −
p p
2 2
1 1
cos α α
α α
φ φ ′ ′′
′ ′′
′′ ′ =
+ − −
− 3. 66 maka persamaan 3. 64 menjadi :
1 2
2 1
2 2
1 2
2 1
1 ˆ
, , ,
2 { ,
, , }
, , 1
2
t i
t t
iM i
t
T pz
e V
p p dp p
d d
V p p e
G E e
T p p
dp p d
d
π π
λφ π
λ λ λ λ
π φ φ
λφ π
λ λ
π
α α
φ β
α α
φ
∞ ′
′ ′
− ′ ′′
′′ −
+ ′
∞ −
′ ′
′ ′′ ′′
′′ ′′
=+ ′ ′′
′′ ′′
× ′′ ′′
′′ ′′
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
p
Universitas Sumatera Utara
1 1
1 2
2 1
{ , ,
, } , ,
1 4
{ , ,
, } , ,
t iM
i t
t iM
i t
V p p e
G E e
T p p
dp p d
d V
p p e G
E e T
p p
π φ φ
λφ π
λ λ
π π
φ φ λφ
π λ
λ
β α
α φ
β α
′ ′′ ′′
− +
′ ∞
− ′ ′′
′′ −
+ ′
′ ′′ ′′
′′ ×
′′ ′′ ′′
′′ +
′ ′′ ′′
′′ ×
∫ ∫ ∫
1 2
2 1
2 2
1 2
2 1
1 1
1 [
, , 2
{ , ,
, } , ,
1 2
{ , ,
, } ,
i t
t iM
i t
t iM
i t
e V
p p dp p
d d
V p p e
G E e
T p p
dp p d
d V
p p e G
E e T
p
π λφ
π λ λ
π φ φ
λ φ φ π
λ λ
π π
φ φ λ φ φ
π λ
λ
α α
φ β
α α
φ β
∞ ′
′ −
′ ′′ ′′ ′
− +
− ′
∞ −
′ ′′ ′′ ′
− +
− ′
′ ′
′′ ′′ ′′
′′ =+
′ ′′ ′′
′′ ×
′′ ′′ ′′
′′ +
′ ′′ ′′
×
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
1 2
2 1
, 1
4 { ,
, , }
, , ]
t iM
i t
p dp p
d d
V p p e
G E e
T p p
π π
φ φ λ φ φ
π λ
λ
α α
φ β
α
∞ −
′ ′′ ′′ ′
− +
− ′
′′ ′′ ′′
′′ ′′
+ ′ ′′
′′ ′′
×
∫ ∫ ∫
ˆ ,
, ,
t i
t
T pz
e T
p p
π λφ π
λ λ λ λ
α
′ ′
′
′ ′
′ =
p
3. 67 pada persamaan 3. 67 di atas
, ,
t
T p p
π λ λ
α
′
′ ′
didefinisikan sebagai berikut :
1 2
2 1
2 2
1 2
2 1
1
1 , ,
, , 2
{ , ,
, } , ,
1 2
{ , ,
, }
t t
t iM
i t
t iM
i
T p p
V p p
d pp d
d V
p p e G
E e T
p p dp p
d d
V p p e
G E e
T
π π
π λ λ
λ λ π
φ φ λ φ φ
π λ
λ π
π φ φ
λ φ φ λ
α α
α φ
β α
α φ
β
∞ ′
′ −
′ ′′ ′′ ′
− +
− ′
∞ −
′ ′′ ′′ ′
− +
− ′
′ ′
′ ′
′′ ′′ ′′
′′ =+
′ ′′ ′′
′′ ×
′′ ′′ ′′
′′ +
′ ′′ ×
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
1 1
2 2
1
, , 1
4
t
p p dp p
d d
π λ
π
α α
φ
∞ −
′′ ′′
′′ ′′ ′′
′′ +
∫ ∫ ∫
{ , ,
, } , ,
t iM
i t
V p p e
G E e
T p p
π φ φ
λ φ φ π
λ λ
β α
′ ′′ ′′ ′
− +
− ′
′ ′′ ′′
′′ ×
3.68 Bagian yang bergantung pada sudut azimuth
φ′′ pada persamaan 3. 67 di atas dapat dipisahkan dengan mendefinisikan :
2 2
2
, ,
, ,
t t
p p d
e V
π π
λ φ φ π
λ λ
υ α α
φ
′′ ′ −
′ ′
′ ′′ ′ ′′ ′′
′ ′′ ≡
∫
p p
3. 69
Universitas Sumatera Utara
Dan untuk suku , ,
t
V p p
π λ λ
α
′
′ ′ digunakan :
2
ˆ , ,
,1 ,
2 , ,
t i
t t
p p d
e V
p z V
p p
π π
λφ π
π λ λ
λ λ λ λ
υ α
φ π
α
′ −
′ ′
′
′ ′
′′ ′
′ ′
==
∫
p
3. 70
Sehingga persamaan 3. 67 untuk , ,
t
T p p
π λ λ
α
′
′ ′ dapat dituliskan sebagai berikut :
1 2
1 2
2 1
2 1
1 1
1 1
, , , ,
,1 2
2 ,
, ,
, , 1
, ,
, , ,
2
t t
t i
t t
i t
T p p
p p d pp
d p p
G E e
T p p
dp p d
p p G
E e T
p p
π π
λ λ λ λ
π λ φ φ
π λ
λ π
λ φ φ π
λ λ
α υ
α α
π υ
α α α
α υ α α
α
∞ ′
′ −
′′ ′ +
− ′
∞ ′′ ′
+ −
′ −
′ ′
′ ′
′′ ′′ ′′
=+ ′ ′′ ′ ′′
′′ ′′
′′ ′′ ′′
′ ′′ ′ ′′ ′′
′′ +
∫ ∫
∫ ∫
1 2
1
1 ,
, ,
, , 4
t i
t
dp p d
p p G
E e T
p p
π λ φ φ
π λ
λ
α υ α α
α
∞ ′′ ′
+ −
′ −
′′ ′′ ′′
′ ′′ ′ ′′ ′′
′′ +
∫ ∫
3. 71
Persamaan 3. 71 di atas merupakan bentuk akhir dari persamaan Lippman- Schwinger untuk hamburan partikel berspin ½ dan 32 pada basis momentum-helisitas.
3.4 Elemen Matriks