Yang diukur dalam AHP adalah rasio konsistensi dengan melihat index konsistensi.Konsistensi yang diharapkan adalah yang mendekati sempurna
agar menghasilkan keputusan yang mendekati valid. Walaupun sulit untuk mencapai yang sempurna, rasio konsistensi diharapkan kurang dari atau sama
dengan 10 .Jika nilai lebih dari 10 persen atau 0,1 maka penilaian data harus diperbaiki.
2.4 Penyusunan Prioritas
Penentuan susunan prioritas elemen dilakukan dengan menyusun perbandingan berpasangan yaitu membandingkan dalam bentuk berpasangan seluruh elemen untuk
setiap sub hirarki yang kemudian perbandingan tersebut ditransformasikan ke dalam bentuk matriks.
Contoh, terdapat n objek yang dinotasikan dengan A1, A2,...,An yang akan dinilai berdasarkan pada nilai tingkat kepentingannya antara lain A1 dan Aj
dipresentasikan dalam matriks perbandingan berpasangan seperti berikut :
Tabel 2.3 Matriks Perbandingan Berpasangan
A
1
A
2
. . . A
n
A
1
a
11
a
12
. . .
a
1n
A
2
a
21
a
22
. . .
a
2n
. .
. .
.
. .
. .
. .
.
. A
n
. . . . . .
. . .
a
mn
Membuat matriks perbandingan berpasangan memerlukan besaran-besaran yang mampu mencerminkan perbedaan antara faktor satu dengan faktor
Universitas Sumatera Utara
lainnya.Thomas Lorie Saaty 1987, Untuk menilai perbandingan tingkat
kepentingan satu elemen terhadap elemen lainnya digunakan skala 1 sampai 9 yang dimana bobot 1 sampai 9 tersebut diperoleh seperti terlihat pada tabel berikut :
Tabel 2.4 Skala Penilaian Perbandingan Berpasangan
Intensitas Kepentingan Keterangan
1 Kedua elemen sama pentingnya.
3 Elemen yang satu sedikit lebih penting daripada elemen
yang lainnya. 5
Elemen yang satu lebih penting daripada elemen yang lainnya
7 Satu elemen jelas lebih mutlak penting daripada elemen
yang lainnya. 9
Satu elemen mutlak penting daripada elemen yang lainnya.
2,4,6,8 Nilai-nilai
antara dua
nilai pertimbangan
yang berdekatan.
Kebalikan Jika aktivitas i mendapat satu angka dibandingkan dengan
aktivitas j, maka j memiliki nilai kebalikannya dibandingkan dengan i.
Model AHP didasarkan pada matriks perbandingan berpasangan, dimana elemen-elemen pada matriks tersebut merupakan
“penilaian” dari pengambil keputusan.
Seorang pengambil
keputusanakan memberikan
penilaian, mempersepsikan, ataupun memperkirakan kemungkinan dari sesuatu halperistiwa
yang dihadapi. Matriks tersebut terdapat pada setiap tingkatan hirarkidari suatu struktur model AHP yang membagi habis suatu persoalan.
Berikut ini contoh suatu matriks perbandingan berpasangan pada suatu tingkatan hirarki:
= [
]
Universitas Sumatera Utara
Baris 1 Kolom 2: jika A dibandingkan dengan B, maka B lebih pentingdisukaidimungkinkan daripada A yaitu sebesar 7, artinya : B
“lebih mutlak penting” daripada A, dan seterusnya. Angka 7 bukan berarti bahwa Btujuhkali lebih
besar dari A, tetapi B “lebih mutlak penting” dibandingkan A.
2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Sebelum kita membahas tentang nilai eigen dan vector eigen, terlebih dahulu kita bahas mengenai matriks, operasi matriks dan komponen-komponennya.
1. Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan angka – angka elemen-elemen yang disusun menurut
baris dan kolom sehinggu berbentuk persegi panjang, yang dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris.
Sekumpulan himpunan objek bilangan riil atau kompleks,variabel –variabel
yang disusun secara persegi panjang yang terdiri dari baris dankolom yang biasanya dibatasi dengan kurung siku atau biasa. Jika sebuah matriks memiliki m baris dan n
kolom maka matriks tersebut berukuran ordo
×
dan matriks dikatakan bujur sangkar square matrix jika
=
. Dan skalar –skalarnya berada dibaris ke-i dan n
kolom ke-j yang disebut matriks entri.
=
[ �
� … �
� �
� … �
� �
� … �
� �
� … �
… �
� �
… � …
� ] = �
Universitas Sumatera Utara
2. Perkalian Matriks
Perkalian matriks dilakukandengan cara : elemen-elemen tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama
= ∑
� =
∙
Contoh : [
] ∙ [ ] = [ ∙ + ∙
∙ + ∙ ∙ + ∙
∙ + ∙ ] = [ ]
3. Vektor dari n dimensi
Suatu vektor dengan n dimensi merupakan suatu susunan elemen – elemenyang
teratur berupa angka –angka sebanyak n buah, yang disusun baik menurut baris, dari
kirike kanan disebut vektor baris atau row vector dengan ordo
×
maupun menurutkolom, dari atas ke bawah disebut vektor kolom atau coloumn vector dengan
ordo
×
. Himpunan semua vektor dengan n komponen dengan entri riil dinotasikan dengan
ℛ Untuk vektor
⃗ dirumuskan sebagai berikut:
� ∈ �
⃗ ∈
�
⃗ = [ �
� �
] ∈
�
4. Eigen value dan Eigen vector
Definisi : Jika A adalah matriks n x n maka vektor tak nol x di dalam ℛ dinamakan
dinamakan eigen vector dari A jika Ax kelipatan skalar x, yakni : = �
Universitas Sumatera Utara
Skalar � dinamakan eigen value dari A dan x dikatakan eigenvector yang
bersesuaian dengan �. Untuk mencari eigen value dari matriks A yang berukuran
maka dapat ditulis pada persamaan berikut : = �
atau secara ekivalen �� −
= Agar
�
menjadi eigen value, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan ini. Akan tetapi, persamaan diatas akan mempunyai pemecahan tak nol jika
dan hanya jika :
�� − =
Ini dinamakan persamaan karakteristik A, skalar yang memenuhi persamaan ini adalah eigen value dari A.
Bila diketahui bahwa nilai perbandingan elemen Ai terhadap elemen Aj adalah � , maka secara teoritis matriks tersebut berciri positif berkebalikan, yakni � =
� ⁄ . Bobot yang dicari dinyatakan dalam vektor =
, , , … . Nilai
menyatakan bobot kriteria A
n
terhadap keseluruhan set kriteria pada sub sistem tersebut.
Jika �
mewakili derajat kepentingan i terhadap faktor j dan �
manyatakan kepentingan dari faktor j terhadap faktor k, maka agar keputusan menjadi konsisten,
kepentingan i terhadap faktor k harus sama dengan �
� atau jika � � = � untuk semua i,j,k maka matriks tersebut konsisten.
Untuk suatu matriks konsisten dengan faktor w, maka elemen � dapat ditulis
menjadi : � =
� �
; ∀
,
= , , , … ,
1
Jadi matriks konsisten adalah: � . � =
� �
.
� �
=
� �
= � 2
Seperti yang diuraikan diatas, maka untuk matriks perbandingan berpasangan
diuraikan seperti berikut ini:
Universitas Sumatera Utara
� =
� �
=
� �
⁄
=
�
; 3
Dari persamaan tersebut di atas dapat dilihat bahwa : � =
� �
= ∀
,
= , , , … , 4
Dengan demikian untuk matriks perbandingan berpasangan yang konsisten menjadi:
∑ � .
.
�
= ; ∀
,
= , , , … ,
=
5 ∑
� . =
; ∀
,
= , , , … ,
=
6 Persamaan di atas ekivalen dengan bentuk persamaan matriks di bawah ini:
. = . 7 Dalam teori matriks, formulasi ini diekspresikan bahwa w adalah eigenvector
dari matriks A dengan eigen value n. Perlu diketahui bahwa n merupakan dimensi matriks itu sendiri. Dalam bentuk persamaan matriks dapat ditulis sebagai berikut:
= [
� �
� �
…
� �
� �
� �
…
� �
] . [ ] = [ ] 8
Pada prakteknya, tidak dapat dijamin bahwa : � =
� �
9 Salah satu faktor penyebabnya yaitu karena unsur manusia decision maker
tidak selalu dapat konsisten mutlak absolte consistent dalam mengekpresikan preferensinya terhadap elemen-elemen yang dibandingkan. Dengan kata lain,
judgment yang diberikan tidak untuk setiap elemen persoalan pada suatu level hierarchy dapat saja inconsistent.
Jika : 1 Jika
λ
1
, λ
2
,..., λ
n
adalah bilangan-bilangan yang memenuhi persamaan : = � 10
Universitas Sumatera Utara
dengan eigen value dari matriks A dan jika � = ; ∀
,
= , , , … , , maka ditulis ∑ � = 11
Misalkan kalau suatu matriks perbandingan berpasangan bersifat ataupun memenuhi kaidah konsistensi seperti pada persamaan 2, maka perkalian elemen
matriks sama dengan 1. = [
] � � =
�
b 12 Eigen value dari matriks A,
− � = − �� = 13
| − ��| =
Kalau diuraikan lebih jauh untuk persamaan 13, hasilnya menjadi : |
− � − �| =
14 Dari persamaan 14 kalau diuraikan untuk mencari harga eigen value
maximum λ-max yaitu :
− � − = − � + � − =
� − � = � � −
= � = ; � = Dengan demikian matriks pada persamaan 12 merupakan matriks yang
konsisten, dimana nilai λ – max sama dengan harga dimensi matriksnya. Jadi untuk n 2, maka semua harga eigen value-nya sama dengan nol dan
hanya ada satu eigen value yang sama dengan n konstan dalam kondisi matriks konsisten.
Universitas Sumatera Utara
2 Jika ada perubahan kecil dari elemen matriks maka a
ij
eigen value-nya akan berubah menjadi semakin kecil pula.
Dengan menggabungkan kedua sifat matriks aljabar linier. Jika:
a. Elemen diagonal matriks A
