rel 2, dan assignment 2 pada rel 3 pada suatu RP
j
, maka assignment tersebut diurutkan
kembali sebagai
{ }
3 2
1
1 ,
1 ,
1 =
s j
K . Teknik
pembangkitan kolom untuk optimisasi penetapan blok pada rel pelangsiran yang
dimodifikasi dari teknik serupa dalam Lavoie et al., 1988 adalah sebagai berikut:
a. Membangun data input
Blok-blok didaftarkan dengan informasinya, yaitu waktu kedatangan dan
keberangkatan serta peron kedatangan dan keberangkatan. Selain itu, didaftarkan pula
assignment-assignment fisibel yang dapat dibentuk dari
blok-blok tersebut. Assignment ini dibentuk dengan
menggunakan konsep network dan algoritme pemrograman dinamik yang telah dijelaskan
pada bagian 4.1 dan 4.2.
b. Inisialisasi
Didefinisikan masalah terkendala awal RP
: Minimumkan
∑ ∑ ∑
∈ ∈
∈
+
B b
b S
s K
k s
k s
k
y d
x c
s
terhadap 1
= +
∑ ∑
∈ ∈
b S
s K
k s
k
y x
s b
, B
b ∈
∀
1 ≤
∑
∈
s
K k
s k
x
, S
s ∈
∀
≥
s k
x
,
s
K k
S s
, ∈
∀ ∈
∀
≥
b
y ,
B b
∈ ∀
dengan
s
K
adalah himpunan indeks dari assignment fisibel yang terdapat dalam RP
. Pada langkah inisialisasi ini, sebagian
dari assignment yang menghasilkan solusi fisibel dipakai sebagai input. Assignment ini
digunakan sebagai variabel pada RMP.
c. Langkah Tertentu
Pada langkah tertentu j didefinisikan RMP sebagai berikut :
RP
j
: Minimumkan
∑ ∑ ∑
∈ ∈
∈
+
B b
b S
s K
k s
k s
k
y d
x c
s j
terhadap 1
= +
∑ ∑
∈ ∈
b S
s K
k s
k
y x
j s
b
, B
b ∈
∀ 1
≤
∑
∈
s j
K k
s k
x ,
S s
∈ ∀
≥
s k
x
,
s j
K k
S s
∈ ∀
∈ ∀
, ≥
b
y ,
B b
∈ ∀
dengan
s s
j
K K
⊆ .
Adapun tahap-tahap penyelesaian langkah ke -j adalah sebagai berikut:
•
Penyelesaian RP
j
dengan Menggunakan Metode Simpleks
RP
j
diselesaikan menggunakan metode simpleks, sehingga diperoleh nilai variabel
dual B
b
b
∈ λ
untuk kendala 19 dan S
s
s
∈ µ
untuk kendala 20. •
Prosedur Pembangkitan Kolom
Prosedur pembangkitan kolom adalah proses pencarian kolom dari semua
assignment fisibel yang memiliki biaya tereduksi negatif.
Berdasarkan nilai-nilai variabel dual pada RP
, maka biaya tereduksi dari assignment fisibel k pada rel pelangsiran s
dapat dihitung dengan menggunakan 25. Jika biaya tereduksi yang dihasilkan dari
masing-masing assignment k adalah
taknegatif, maka proses selesai, dan solusi pada RP
adalah solusi dari TAP. Sebaliknya, jika terdapat assignment k
yang memiliki biaya tereduksi negatif maka variabel
yang berpadanan dengan assignment yang memiliki biaya tereduksi
”paling negatif” ditambahkan pada RP sehingga membentuk RP
1
. Proses diulangi sampai tidak diperoleh lagi assignment yang
memiliki biaya tereduksi negatif sehingga diperoleh RP
j
, dengan j = 1,2,3,… Solusi pada RP
j
, yaitu solusi ke-j j = 1,2,3,… yang tidak memuat lagi assignment
yang mengandung biaya tereduksi negatif adalah solusi dari TAP.
V CONTOH KASUS PELANGSIRAN UNIT KERETA PENUMPANG PADA STASIUN KERETA
5.1 Penyelesaian Masalah Pemadanan
Kereta-api -datang Menjadi Kereta- api -berangkat dengan Menggunakan
LINDO 6.1
Misalkan diberikan tabel waktu seperti pada Tabel 1, maka dapat didaftarkan
semua part yang mungkin terbentuk untuk setiap kereta-api-datang dan kereta-api-
berangkat. Setiap angka pada sisi berarah menunjukkan indeks dari
part yang
terbentuk. §
Untuk Kereta-api-datang 3628
Gambar 9. Network dari Kereta 3628 pada Tabel 1.
Pada Gambar 9, simpul 0 adalah simpul rekaan, sedangkan simpul 1 adalah unit
kereta dari Kereta 3628 yang memiliki subtipe MAT64_4.
§ Untuk Kereta-api-datang 561
Gambar 10. Network dari Kereta 561 pada Tabel 1.
Pada Gambar 10, simpul 0 adalah simpul rekaan, sedangkan simpul 1 dan
2 adalah unit kereta dari Kereta 561 yang berturut-turut memiliki subtipe
ICM_4, ICM_3.
§ Untuk Kereta-api-datang 3678
Gambar 11. Network dari Kereta 3678 pada Tabel 1.
Pada Gambar 11, simpul 0 adalah simpul rekaan, sedangkan simpul 1 dan
2 adalah unit kereta dari Kereta 3678 yang memiliki subtipe yang sama yaitu
MAT64_2.
§ Untuk Kereta-api-berangkat 3629
Gambar 12. Network dari Kereta 3629 pada Tabel 1.
Pada Gambar 12, simpul 0 adalah simpul rekaan, sedangkan simpul 1, 2, 3
adalah unit kereta dari Kereta 3629, yang secara berurutan memiliki subtipe
MAT64_4, MAT64_2, MAT64_2.
§ Untuk Kereta-api-berangkat 520
Gambar 13. Network dari Kereta 520 pada Tabel 1.
Pada Gambar 13, simpul 0 adalah simpul rekaan, sedangkan simpul 1 dan
2 adalah unit kereta dari Kereta 520 yang berturut-turut memiliki subtipe
ICM_4, ICM_3. Jadi, himpunan part dari kereta-api-
datang diberikan oleh himpunan
{ }
7 ,
6 ,
5 ,
4 ,
3 ,
2 ,
1 =
I dan himpunan part dari
kereta-api-berangkat diberikan oleh
himpunan
{ }
16 ,
15 ,
14 ,
13 ,
12 ,
11 ,
10 ,
9 ,
8 =
J .
Berdasarkan Tabel 1, himpunan kereta- api-datang adalah
{ }
3678 561,
3628, =
a
T
, sedangkan himpunan kereta-api-berangkat
diberikan oleh
{ }
520 3629,
=
d
T
. Pada bagian 3.2, telah dijelaskan bahwa
sisi berarah pada network mewakili part yang mungkin terbentuk dari suatu kereta.
16 2
1 14
15
2 1
5 7
6 1
2 3
8 9
10 11
12 13
2 1
2 4
3 1
1
Misalkan didefinisikan himpunan sisi berarah pada network dari kereta t sebagai
t
A
. Jadi, diperoleh himpunan
{}
1
3628
= A
,
{ }
4 ,
3 ,
2
561
= A
,
{ }
7 ,
6 ,
5
3678
= A
,
{ }
13 ,
12 ,
11 ,
10 ,
9 ,
8
3629
= A
,
{ }
16 ,
15 ,
14
520
= A
. Himpunan sisi berarah yang
menjauhimendekati simpul h pada network kereta t diberikan oleh himpunan
− +
t h
t h
A A
. §
Untuk kereta-datang 3628 -
{}
1
3628
=
+
A
-
{ }
=
− 3628
A
-
{ }
=
+ 3628
1
A
-
{}
1
3628 1
=
−
A
§ Untuk kereta-datang 561
-
{ }
4 ,
2
561
=
+
A
-
{ }
=
− 561
A
-
{ }
3
561 1
=
+
A
-
{ }
2
561 1
=
−
A
-
{ }
=
+ 561
2
A
-
{ }
4 ,
3
561 2
=
−
A
§ Untuk kereta-datang 3678
-
{ }
7 ,
5
3678
=
+
A
-
{ }
=
− 3678
A
-
{ }
6
3678 1
=
+
A
-
{ }
5
3678 1
=
−
A
-
{ }
=
+ 3678
2
A
-
{ }
7 ,
6
3678 2
=
−
A
§ Untuk kereta-berangkat 3629
-
{ }
13 ,
11 ,
8
3629
=
+
A
-
{ }
=
− 3629
A
-
{ }
12 ,
9
3629 1
=
+
A
-
{ }
8
3629 1
=
−
A
-
{ }
10
3629 2
=
+
A
-
{ }
11 ,
9
3629 2
=
−
A
-
{ }
=
+ 3629
3
A
-
{ }
13 ,
12 ,
10
3629 3
=
−
A
§ Untuk kereta-berangkat 520
-
{ }
16 ,
14
520
=
+
A
-
{ }
=
− 520
A
-
{ }
15
520 1
=
+
A
-
{ }
14
520 1
=
−
A
-
{ }
=
+ 520
2
A
-
{ }
16 ,
15
520 2
=
−
A
Himpunan semua simpul-antara di network pada kereta t diberikan oleh
himpunan
− t
C
. Jadi,
{ }
=
− 3628
C
,
{ }
1
561
=
−
C
,
{ }
1
3678
=
−
C
,
{ }
2 ,
1
3629
=
−
C
,
{}
1
520
=
−
C
. Himpunan
part dari kereta-api-
berangkat dengan konfigurasi pemadanan yang sama sebagai part dari kereta-api-
datang i diberikan oleh himpunan
i
J , sedangkan himpunan part dari kereta-api-
datang dengan konfigurasi pemadanan yang sama sebagai part dari kereta-api-berangkat
j diberikan oleh himpunan
j
I
. Jadi,
{ }
8
1
= J
,
{ }
14
2
= J
,
{ }
15
3
= J
,
{ }
16
4
= J
,
{ }
9
5
= J
,
{ }
10
6
= J
,
{ }
12
7
= J
,
{}
1
8
= I
,
{ }
5
9
= I
,
{ }
6
10
= I
,
{ }
=
11
I ,
{ }
7
12
= I
,
{ }
=
13
I ,
{ }
2
14
= I
,
{ }
3
15
= I
,
{ }
4
16
= I
. Untuk menentukan solusi dari masalah
pemadanan kereta-api-datang menjadi kereta-api-berangkat, terlebih dahulu
didefinisikan:
1, jika part i
∈
I digunakan pada suatu kereta-api-datang
u
i
= 0, selainnya
1, jika part j
∈
J digunakan pada suatu kereta-api-berangkat
v
j
= 0, selainnya
1, jika part i
∈
I ditetapkan menjadi part j
∈
J z
ij
= 0, selainnya
dengan
{ }
7 ,
6 ,
5 ,
4 ,
3 ,
2 ,
1 =
I dan
{ }
16 ,
15 ,
14 ,
13 ,
12 ,
11 ,
10 ,
9 ,
8 =
J .
Misalkan penalti Q untuk setiap part dari kereta-api-datang yang ada di rel
pelangsiran tetapi tidak ditetapkan menjadi part dari kereta-api-berangkat adalah sebesar
50. Selain itu ongkos penetapan part i menjadi part j, yaitu
j i
w
,
dirumuskan sebagai perbedaan antara waktu datang dan
berangkat dari part i dan j dalam jam . Berdasarkan Tabel 1, maka akan diperoleh:
27 .
10 ,
67 .
20
16 ,
4 15
, 3
14 ,
2 8
, 1
= =
= =
w w
w w
, 1
. 7
12 ,
7 10
, 6
9 ,
5
= =
= w
w w
. Berdasarkan informasi-informasi di
atas, maka model matematika untuk contoh ini adalah:
Minimumkan
12 ,
7 10
, 6
9 ,
5 16
, 4
15 ,
3 14
, 2
8 ,
1 7
6 5
4 3
2 1
1 .
7 27
. 10
67 .
20 50
z z
z z
z z
z u
u u
u u
u u
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
terhadap 1
1
= u
29 1
4 2
= +
u u
30 1
7 5
= +
u u
31
2 3
= −
u u
32
5 6
= −
u u
33 1
13 11
8
= +
+ v
v v
34 1
16 14
= +
v v
35
8 12
9
= −
+ v
v v
36
11 9
10
= −
− v
v v
37
14 15
= −
v v
38
1 8
, 1
u z
= 39
2 14
, 2
u z
= 40
3 15
, 3
u z
= 41
4 16
, 4
u z
=
42
5 9
, 5
u z
= 43
6 10
, 6
u z
= 44
7 12
, 7
u z
= 45
8 8
, 1
v z
= 46
14 14
, 2
v z
= 47
15 15
, 3
v z
= 48
16 16
, 4
v z
= 49
9 9
, 5
v z
= 50
10 10
, 6
v z
= 51
12 12
, 7
v z
= 52
Kendala 29 menyatakan bahwa himpunan part dari kereta-api-datang yang
menjauhi simpul 0 pada Kereta 3628 harus dipilih tepat satu part. Kendala 30 dan 31
secara berturut-turut menyatakan hal yang sama untuk Kereta 561 dan 3678. Kendala
32 menyatakan bahwa himpunan part dari kereta-api-datang yang menjauhi setiap
simpul-antara pada Kereta 561 dipilih jika dan hanya jika himpunan part yang
mendekati setiap simpul-antara tersebut dipilih. Kendala 33 menyatakan hal yang
sama untuk Kereta 3678. Kendala 34 dan 35 secara berturut-turut untuk Kereta 3629
dan 520 menyatakan bahwa himpunan part dari kereta-api-berangkat yang menjauhi
simpul 0 harus dipilih tepat satu part. Kendala 36 dan 37 menyatakan bahwa
himpunan part dari kereta-api-berangkat yang menjauhi setiap simpul antara pada
Kereta 3629 dipilih jika dan hanya jika himpunan part yang mendekati setiap
simpul-antara tersebut dipilih. Kendala 38 menyatakan hal yang sama untuk Kereta
520. Kendala 39-45 menyatakan bahwa part dari kereta-api-datang i pada kereta-api-
datang yang ditetapkan menjadi part j dari kereta-api-berangkat akan dipilih jika dan
hanya jika part i dipilih. Sebagai contoh, Kendala 39 menyatakan bahwa part 1 pada
Kereta 3628 yang ditetapkan menjadi part 8 pada Kereta 3629 akan dipilih jika dan
hanya jika part 1 dipilih. Kendala 46-52 menyatakan bahwa part i dari kereta-api-
datang yang ditetapkan menjadi part j dari kereta-api-berangkat akan dipilih jika dan
hanya jika part j dipilih. Sebagai contoh, Kendala 46 menyatakan bahwa part 1 pada
Kereta 3628 yang ditetapkan menjadi part 8 pada Kereta 3629 akan dipilih jika dan
hanya jika part 8 dipilih.
Dengan menggunakan LINDO 6.1 diperoleh hasil optimal sebagai berikut lihat
Lampiran 3 :
, 1
12 ,
7 16
, 4
8 ,
1 16
12 8
7 4
1
= =
= =
= =
= =
= z
z z
v v
v u
u u
10 ,
6 9
, 5
15 ,
3 14
, 2
15 14
13 11
10 9
6 5
3 2
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
z z
z z
v v
v v
v v
u u
u u
dan nilai objektif sebesar 188.04. Dari langkah pemadanan kereta-api-
datang menjadi kereta-api-berangkat diperoleh himpunan part dari kereta-api-
datang yang ditetapkan menjadi part pada kereta-api-berangkat atau disebut dengan
blok. Hasil di atas menunjukkan bahwa terdapat 3 blok yang terbentuk, yaitu part 1
Kereta 3628 yang ditetapkan menjadi part 8 Kereta 3629, part 4 Kereta 561 yang
ditetapkan menjadi part 16 Kereta 520 , dan part 7 Kereta 3678 yang ditetapkan
menjadi part 12 Kereta 3629. 5.2 Penyelesaian Masalah Penetapan
Blok pada Rel Pelangsiran dengan Menggunakan Teknik Pembangkitan
Kolom. 1 Membangun Data Input
Dari langkah pemadanan kereta-api- datang menjadi kereta-api-berangkat
diperoleh 3 blo k yang akan diparkir di rel-rel pelangsiran yaitu Kereta 3628, Kereta 561,
dan Kereta 3678 yang peron kedatangan dan keberangkatan serta waktu kedatangan dan
keberangkatan diberikan pada Tabel 1. Misalkan keadaan di suatu stasiun yang
sesuai dengan Tabel 1 dan memiliki 2 jalur-
bebas yaitu rel pelangsiran 1 dan 2, serta memiliki 1
jalur-satu-arah yaitu rel pelangsiran 3 hanya dapat dimasuki dari
sisi kiri seperti yang diilustrasikan pada Gambar 14.
Gambar 14. Keadaan di stasiun yang sesuai dengan Tabel 1 dan memiliki 2 jalur-bebas dan 1 jalur-satu-arah.
Blok-blok yang akan diparkir tersebut disusun secara berurutan berdasarkan waktu
kedatangannya. Berdasarkan Tabel 1, Kereta 3628 adalah kereta yang pertama tiba di
peron 5A, oleh karena itu Kereta 3628 harus diletakkan paling pertama di rel pelangsiran.
Setelah itu, Kereta 561 dan Kereta 3678 secara berturut-turut diletakkan di rel
pelangsiran. Dalam graf G, Kereta 3628 diwakili oleh lapisan L
1
, Kereta 561 diwakili oleh lapisan L
2
, dan Kereta 3678 diwakili oleh lapisan L
3
. Berdasarkan informasi- informasi di atas, maka semua path fisibel
untuk masing-masing rel pelangsiran dapat diilustrasikan pada sebuah network dengan 3
blok. Salah satu contohnya adalah seperti yang telah diilustrasikan pada Gambar 8.
Assignment yang tidak mengandung crossing untuk jalur-bebas 1 dan 2 dapat
digambarkan pada network dengan
banyaknya simpul-antara adalah 15, yaitu banyaknya blok ada 3 blok dikalikan
dengan banyaknya pendekatan dari blok ke suatu rel pelangsiran ada 4 pendekatan : LL,
LR, RL, RR ditambah dengan simpul ‘not’ untuk masing-masing blok ada 3 simpul
‘not’. Assignment yang tidak mengandung crossing untuk jalur-satu-arah 3 dapat
digambarkan pada
network dengan
banyaknya simpul-antara adalah 6, yaitu banyaknya blok ada 3 blok dikalikan
dengan banyaknya pendekatan dari blo k ke suatu rel pelangsiran ada 1 pendekatan :
LL ditambah dengan simpul ‘not’ untuk masing-masing blok ada 3 simpul ‘not’.
Network yang terbentuk pada rel pelangsiran 1 dan 2 sama seperti yang telah
diilustrasikan pada Gambar 8, sedangkan network yang terbentuk pada rel pelangsiran
3 dapat dilihat pada Gambar 15.
L
1
L
2
L
3
Gambar 15. Network yang terbentuk dari assignment yang tidak mengandung crossing pada rel pelangsiran 3.
Misalkan biaya penggunaan dari rel pelangsiran 1, 2, dan 3 berturut-turut sebesar
35, 30, 25. Selain itu, misalkan biaya penalti d jika sebuah blok tidak diparkir pada
LL LL
LL
not not
not
o t
Peron 5A Peron 1A
Peron 5B Peron 3B
Rel 1 Rel 2
Rel 3
sebuah rel ditetapkan sebesar 50, maka ongkos dari masing-masing assignment
dapat dihitung. Tabel 2 adalah daftar biaya dari pemarkiran blok ke rel pelangsiran 1, 2,
atau 3 melalui pendekatan yang berbeda dari dan ke suatu rel pelangsiran.
Tabel 2. Daftar biaya pemarkiran blok ke rel pelangsiran 1, 2, dan 3 Biaya Pemarkiran Blok
Rel Pelangsiran 1 Rel Pelangsiran 2
Rel Pelangsiran 3 ID Kereta
LL LR
RL RR
LL LR
RL RR
LL 3628 blok 1
5 9
9 16
6 9
9 14
9 561 blok 2
10 11
11 16
6 11
11 18
5 3678 blok 3
12 13
13 18
8 13
13 20
7 Tabel 3 adalah daftar assignment yang
tidak mengandung crossing seperti yang telah digambarkan pada Gambar 8 dan 15
beserta biayanya masing-masing. Biaya suatu assignment diperoleh dari jumlah
biaya masing-masing blok yang menyusun suatu assignment yang telah diberikan pada
Tabel 2 ditambah dengan biaya penggunaan suatu rel tertentu. Sebagai contoh, biaya dari
assignment 1 yang akan diparkir di rel pelangsiran 1 adalah sebesar 63. Nilai ini
diperoleh dari penjumlahan ongkos rute dari Kereta 3628 yang datang dan berangkat
melalui sisi kiri yaitu sebesar 5, ongkos rute dari Kereta 561 yang datang dan berangkat
melalui sisi kiri yaitu sebesar 10, ongkos rute dari Kereta 3678 yang datang melalui
sisi kanan dan berangkat melalui sisi kiri yaitu sebesar 13, serta biaya karena
menggunakan rel pelangsiran 1 yang sebelumnya telah ditetapkan sebesar 35.
Tabel 3. Daftar assignment yang tidak mengandung crossing serta biayanya masing-masing Assignment k pada
rel pelangsiran s
s k
x
Blok-blok penyusun
Biaya
s k
c
Assignment k pada rel pelangsiran s
s k
x
Blok-blok penyusun
Biaya
s k
c
1 1
x
LL, LL, RL 63
2 4
x
LL, RR, LL 62
1 2
x
LL, LL, RR 68
2 5
x
LL, RR, LR 67
1 3
x
LL, LL, not 100
2 6
x
LL, RR, not 104
1 4
x
LL, RR, LL 68
2 7
x
LL, not, LL 94
1 5
x
LL, RR, LR 69
2 8
x
LL, not, LR 99
1 6
x
LL, RR, not 106
2 9
x
LL, not, RL 99
1 7
x
LL, not, LL 102
2 10
x
LL, not, RR 106
1 8
x
LL, not, LR 103
2 11
x
LL, not, not 136
1 9
x
LL, not, RL 103
2 12
x
LR, LL, RL 58
1 10
x
LL, not, RR 108
2 13
x
LR, LL, RR 65
1 11
x
LL, not, not 140
2 14
x
LR, LL, not 95
1 12
x
LR, LL, RL 67
2 15
x
LR, RR, LL 65
1 13
x
LR, LL, RR 72
2 16
x
LR, RR, LR 70
1 14
x
LR, LL, not 104
2 17
x
LR, RR, not 107
1 15
x
LR, RR, LL 72
2 18
x
LR, not, LL 97
1 16
x
LR, RR, LR 73
2 19
x
LR, not, LR 102
1 17
x
LR, RR, not 110
2 20
x
LR, not, RL 102
1 18
x
LR, not, LL 106
2 21
x
LR, not, RR 109
1 19
x
LR, not, LR 107
2 22
x
LR, not, not 139
1 20
x
LR, not, RL 107
2 23
x
RL, LL, RL 58
1 21
x
LR, not, RR 112
2 24
x
RL, LL, RR 65
1 22
x
LR, not, not 144
2 25
x
RL, LL, not 95
1 23
x
RL, LL, RL 67
2 26
x
RL, RR, LL 65
1 24
x
RL, LL, RR 72
2 27
x
RL, RR, LR 70
1 25
x
RL, LL, not 104
2 28
x
RL, RR, not 107
1 26
x
RL, RR, LL 72
2 29
x
RL, not, LL 97
1 27
x
RL, RR, LR 73
2 30
x
RL, not, LR 102
1 28
x
RL, RR, not 110
2 31
x
RL, not, RL 102
1 29
x
RL, not, LL 106
2 32
x
RL, not, RR 109
1 30
x
RL, not, LR 107
2 33
x
RL, not, not 139
1 31
x
RL, not, RL 107
2 34
x
RR, LL, LR 63
1 32
x
RL, not, RR 112
2 35
x
RR, LL, RR 70
1 33
x
RL, not, not 144
2 36
x
RR, LL, not 100
1 34
x
RR, LL, LR 74
2 37
x
RR, RR, LL 70
1 35
x
RR, LL, RR 79
2 38
x
RR, RR, LR 75
1 36
x
RR, LL, not 111
2 39
x
RR, RR, not 112
1 37
x
RR, RR, LL 79
2 40
x
RR, not, LL 102
1 38
x
RR, RR, LR 80
2 41
x
RR, not, LR 107
1 39
x
RR, RR, not 117
2 42
x
RR, not, RL 107
1 40
x
RR, not, LL 113
2 43
x
RR, not, RR 114
1 41
x
RR, not, LR 114
2 44
x
RR, not, not 144
1 42
x
RR, not, RL 114
2 45
x
not, LL, RL 99
1 43
x
RR, not, RR 119
2 46
x
not, LL, RR 106
1 44
x
RR, not, not 151
2 47
x
not, LL, not 136
1 45
x
not, LL, RL 108
2 48
x
not, LR, LL 99
1 46
x
not, LL, RR 113
2 49
x
not, LR, LR 111
1 47
x
not, LL, not 145
2 50
x
not, LR, not 141
1 48
x
not, LR, LL 108
2 51
x
not, RL, RL 104
1 49
x
not, LR, LR 109
2 52
x
not, RL, RR 111
1 50
x
not, LR, not 146
2 53
x
not, RL, not 141
1 51
x
not, RL, RL 109
2 54
x
not, RR, LL 106
1 52
x
not, RL, RR 114
2 55
x
not, RR, LR 111
1 53
x
not, RL, not 146
2 56
x
not, RR, not 148
1 54
x
not, RR, LL 113
2 57
x
not, not, LL 138
1 55
x
not, RR, LR 114
2 58
x
not, not, LR 143
1 56
x
not, RR, not 151
2 59
x
not, not, RL 143
1 57
x
not, not, LL 147
2 60
x
not, not, RR 150
1 58
x
not, not, LR 148
2 61
x
not, not, not 150
1 59
x
not, not, RL 148
3 1
x
LL, LL, not 89
1 60
x
not, not, RR 153
3 2
x
LL, not, LL 91
1 61
x
not, not, not 150
3 3
x
LL, not, not 134
2 1
x
LL, LL, RL 55
3 4
x
not, LL, not 130
2 2
x
LL, LL, RR 62
3 5
x
not, not, LL 132
2 3
x
LL, LL, not 92
3 6
x
not, not, not 150
Himpunan assignment yang didaftarkan pada Tabel 3 belum tentu fisibel, untuk
memeriksa kefisibelan suatu assignment digunakan algoritme pemrograman dinamik.
2 Memeriksa Kefisibelan Suatu
Assignment dengan
Menggunakan Algoritme Pemrograman Dinamik
Setiap assignment yang terbentuk pada graf G yang telah diilustrasikan pada
Gambar 8 dan Gambar 15 akan diperiksa kefisibelannya. Path-path yang terbentuk
pada graf G di Gambar 8 dan Gambar 15 membentuk assignment-assignment yang
tidak mengandung crossing, oleh karena itu untuk memeriksa kefisibelan suatu
assignment tinggal
diperiksa panjang assignment-nya saja. Selanjutnya, agar tidak
semua path dihitung biaya tereduksinya perlu diperiksa kedominanan suatu path.
Misalkan dalam contoh ini, rel pelangsiran 1, 2, dan 3 berturut-turut dapat
memuat paling banyak 8, 12, dan 15 gerbong kereta. Diketahui pula dari Tabel 1
bahwa Kereta 3628, Kereta 561, dan Kereta 3678 berturut-turut memiliki 4, 7, dan 4
gerbong. Untuk kemudahan, pada algoritme ini digunakan notasi
15 ,...,
2 ,
1 =
i untuk
masing-masing simpul-antara pada graf G pada jalur-bebas dan notasi
6 ,...,
2 ,
1 =
i untuk masing-masing simpul-antara pada
graf G pada jalur-satu-arah. Gambar 16 adalah graf
G yang terbentuk dari assignment yang tidak mengandung crossing
untuk rel pelangsiran 1 dan 2, sedangkan Gambar 17 adalah graf G untuk rel
pelangsiran 3.
L
1
L
2
L
3
Gambar 16. Graf G yang terbentuk dari assignment yang tidak mengandung crossing pada rel pelangsiran 1 dan 2 dengan notasi
15 ,...,
2 ,
1 =
i untuk masing-masing simpul-antara.
1 6
11
2 7
12
3 8
13
4
15 5
10 14
9
o t
L
1
L
2
L
3
Gambar 17. Graf G yang terbentuk dari assignment yang tidak mengandung crossing pada rel pelangsiran 3 dengan notasi
6 ,...,
2 ,
1 =
i untuk masing-masing simpul-antara.
Misalkan didefinisikan
i
P sebagai himpunan path fisibel o,…,i di G. Selain
itu didefinisikan pula ,...,
j i
l sebagai
panjang dari path ,...,
j i
dengan i adalah simpul pertama dan j adalah simpul terakhir
dalam suatu path di graf G, serta
j
b
sebagai predesesor dari simpul j pada graf G.
Dengan menggunakan Gambar 16 dan 17, berikut prosedur pemeriksaan kefisibelan
dan kedominanan setiap assignment di graf G untuk rel pelangsiran 1, 2 lihat Lampiran
4, dan rel pelangsiran 3 menggunakan algoritme pemrograman dinamik:
§ Rel pelangsiran 3 memuat paling
banyak 15 gerbong kereta § Untuk simpul
o i
= Suksesor simpul o adalah 1 dan 2
Untuk path o,o Untuk sisi berarah o,1
- lo,1 = 4 gerbong
≤
15 gerbong -Path
o,1 membentuk assignment fisibel
Untuk sisi berarah o,2 - lo,2 = 0 gerbong
≤
15 gerbong -Path
o,2 membentuk assignment fisibel
§ Untuk simpul 1
= i
Suksesor simpul 1 adalah 3 dan 4 Untuk path o,1
Untuk sisi berarah 1,3 -
l1,3 = 7 gerbong -
b
1
= o -
lo,1,3 = 11 gerbong
≤
15 gerbong
- Path
o,1,3 membentuk assignment fisibel
Untuk sisi berarah 1,4 -
l1,4 = 0 gerbong -
b
1
= o -
lo,1,4 = 4 gerbong
≤
15 gerbong
- Path
o,1,4 membentuk assignment fisibel
§ Untuk simpul 2
= i
Suksesor simpul 2 adalah 3 dan 4 Untuk path o,2
Untuk sisi berarah 2,3 -
l2,3 = 7 gerbong -
b
2
= o -
lo,2,3 = 7 gerbong
≤
15 gerbong
- Path
o,2,3 membentuk assignment fisibel
Untuk sisi berarah 2,4 -
l2,4 = 0 gerbong -
b
2
= o -
lo,2,4 = 0 gerbong
≤
15 gerbong
- Path
o,2,4 membentuk assignment fisibel
§ Untuk simpul 3
= i
Suksesor simpul 3 adalah 6 Untuk path o,1,3
Untuk sisi berarah 3,6 -
l3,6 = 4 gerbong -
b
3
= 1 -
lo,1,3,6 = 15 gerbong
≤
15 gerbong
- Path o,1,3,6 membentuk
assignment fisibel Untuk path o,2,3
Untuk sisi berarah 3,6 -
l3,6 = 4 gerbong -
b
3
= 1 -
lo,2,3,6 = 11 gerbong
≤
15 gerbong
- Path o,2,3,6 membentuk
assignment fisibel § Untuk simpul
4 =
i Suksesor simpul 4 adalah 5 dan 6
Untuk path o,1,4 Untuk sisi berarah 4,5
- l4,5 = 4 gerbong
- b
4
= 1 -
lo,1,4,5 = 8 gerbong
≤
15 gerbong
1 3
5
6 2
4
o t
- Path o,1,4,5 membentuk
assignment fisibel Untuk sisi berarah 4,6
- l4,6 = 4 gerbong
- b
4
= 1 -
lo,1,4,6 = 4 gerbong
≤
15 gerbong
- Path o,1,4,6 membentuk
assignment fisibel Untuk path o,2,4
Untuk sisi berarah 4,5 -
l4,5 = 4 gerbong -
b
4
= 2 -
lo,2,4,5 = 4 gerbong
≤
15 gerbong
- Path o,2,4,5 membentuk
assignment fisibel Untuk sisi berarah 4,6
- l4,6 = 0 gerbong
- b
4
= 2 -
lo,2,4,6 = 0 gerbong
≤
15 gerbong
- Path o,2,4,6 membentuk
assignment fisibel § Untuk simpul
5 =
i Suksesor simpul 5 adalah t
Untuk path o,1,4,5 Untuk sisi berarah 5,t
- l5,t = 0 gerbong
- b
5
= 4 -
lo,1,4,5,t = 8 gerbong
≤
15 gerbong
- Path o,1,4,5,t membentuk
assignment fisibel
3 2
x
fisibel -
91
3 2
= c
Untuk path o,2,4,5 Untuk sisi berarah 5,t
- l5,t = 0 gerbong
- b
5
= 4 -
lo,2,4,5,t = 4 gerbong
≤
15 gerbong
- Path o,2,4,5,t membentuk
assignment fisibel
3 5
x
fisibel -
132
3 5
= c
§ Untuk simpul 6
= i
Suksesor simpul 6 adalah t Untuk path o,1,3,6,t
Untuk sisi berarah 6,t -
l6,t = 0 gerbong -
b
6
= 3 -
lo, 1,3,6,t = 11 gerbong
≤
15 gerbong -
Path o,1,3,6,t membentuk assignment fisibel
3 1
x
fisibel -
89
3 1
= c
Untuk path o,2,3,6,t Untuk sisi berarah 6,t
- l6,t = 0 gerbong
- b
6
= 3 -
lo, 2,3,6,t = 7 gerbong
≤
15 gerbong
- Path o,2,3,6,t membentuk
assignment fisibel
3 4
x
fisibel -
130
3 4
= c
Untuk path o,1,4,6,t Untuk sisi berarah 6,t
- l6,t = 0 gerbong
- b
6
= 4 -
lo, 1,4,6,t = 4 gerbong
≤
15 gerbong
- Path o,1,4,6,t membentuk
assignment fisibel
3 3
x
fisibel -
3 5
3 3
134 c
c ≥
=
3 3
x
didominasi oleh
3 5
x
Untuk path o,2,4,6,t Untuk sisi berarah 6,t
- l6,t = 0 gerbong
- b
6
= 4 -
lo, 2,4,6,t = 0 gerbong
≤
15 gerbong
- Path o,2,4,6,t membentuk
assignment fisibel
3 6
x
fisibel -
175
3 6
= c
Dari algoritme pemrograman dinamik diperoleh himpunan assignment yang fisibel,
serta diperoleh pula himpunan assignment yang memiliki panjang sama namun
mendominasi assignment lainnya dalam hal ‘biaya’ pada rel pelangsiran 1, 2, dan 3.
Tabel 4 adalah daftar assignment yang fisibel yang diperoleh dengan menggunakan
algoritme pemrograman dinamik. Assignment yang dicetak tebal adalah
assignment dengan panjang sama yang didominasi assignment lainnya dalam hal
‘biaya’.
Tabel 4. Daftar assignment fisibel yang diperoleh dengan menggunakan algoritme pemrograman dinamik
Assignment k pada rel pelangsiran s
s k
x
Blok-blok penyusun
Biaya
s k
c
Assignment k pada rel pelangsiran s
s k
x
Blok-blok penyusun
Biaya
s k
c
1 7
x
LL, not, LL 102
2 20
x
LR, not, RL 102
1 8
x
LL, not, LR 103
2 21
x
LR, not, RR 109
1 9
x
LL, not, RL 103
2 22
x
LR, not, not 139
1 10
x
LL, not, RR 108
2 25
x
RL, LL, not 95
1 11
x
LL, not, not 140
2 28
x
RL, RR, not 107
1 18
x
LR, not, LL 106
2 29
x
RL, not, LL 97
1 19
x
LR, not, LR 107
2 30
x
RL, not, LR 102
1 20
x
LR, not, RL 107
2 31
x
RL, not, RL 102
1 21
x
LR, not, RR 112
2 32
x
RL, not, RR 109
1 22
x
LR, not, not 144
2 33
x
RL, not, not 139
1 29
x
RL, not, LL 106
2 36
x
RR, LL, not 100
1 30
x
RL, not, LR 107
2 39
x
RR, RR, not 112
1 31
x
RL, not, RL 107
2 40
x
RR, not, LL 102
1 32
x
RL, not, RR 112
2 41
x
RR, not, LR 107
1 33
x
RL, not, not 144
2 42
x
RR, not, RL 107
1 40
x
RR, not, LL 113
2 43
x
RR, not, RR 114
1 41
x
RR, not, LR 114
2 44
x
RR, not, not 144
1 42
x
RR, not, RL 114
2 45
x
not, LL, RL 99
1 43
x
RR, not, RR 119
2 46
x
not, LL, RR 106
1 44
x
RR, not, not 151
2 47
x
not, LL, not 136
1 47
x
not, LL, not 145
2 48
x
not, LR, LL 99
1 50
x
not, LR, not 146
2 49
x
not, LR, LR 111
1 53
x
not, RL, not 146
2 50
x
not, LR, not 141
1 56
x
not, RR, not 151
2 51
x
not, RL, RL 104
1 57
x
not, not, LL 147
2 52
x
not, RL, RR 111
1 58
x
not, not, LR 148
2 53
x
not, RL, not 141
1 59
x
not, not, RL 148
2 54
x
not, RR, LL 106
1 60
x
not, not, RR 153
2 55
x
not, RR, LR 111
1 61
x
not, not, not 185
2 56
x
not, RR, not 148
2 3
x
LL, LL, not 92
2 57
x
not, not, LL 138
2 6
x
LL, RR, not 104
2 58
x
not, not, LR 143
2 7
x
LL, not, LL 94
2 59
x
not, not, RL 143
2 8
x
LL, not, LR 99
2 60
x
not, not, RR 150
2 9
x
LL, not, RL 99
2 61
x
not, not, not 180
2 10
x
LL, not, RR 106
3 1
x
LL, LL, not 89
2 11
x
LL, not, not 136
3 2
x
LL, not, LL 91
2 14
x
LR, LL, not 95
3 3
x
LL, not, not 134
2 17
x
LR, RR, not 107
3 4
x
not, LL, not 130
2 18
x
LR, not, LL 97
3 5
x
not, not, LL 132
2 19
x
LR, not, LR 102
3 6
x
not, not, not 175
Untuk menentukan solusi dari masalah penetapan blok pada suatu rel pelangsiran
ini, terlebih dahulu didefinisikan: 1, jika suatu assignment k
∈
K
s
digunakan pada rel pelangsiran s
∈
S
=
s k
x
0, selainnya dengan
s
K
adalah himpunan assignment fisibel k pada rel pelangsiran s dan
{ }
3 ,
2 ,
1 =
S .
1, jika blok b
∈
B tidak diparkir pada rel pelangsiran s
∈
S =
b
y 0, selainnya
dengan
{ }
3 ,
2 ,
1 =
B dan
{ }
3 ,
2 ,
1 =
S .
TAP yang terbentuk adalah sebagai berikut: Minimumkan:
3 2
1 3
6 3
5 3
4 3
2 3
1 2
61 2
47 2
11 2
7 2
3 1
61 1
47 1
11 1
7
50 175
132 130
91 89
180 136
136 94
92 185
145 140
102 y
y y
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
terhadap 1
1 3
2 3
1 2
11 2
7 2
3 1
11 1
7
= +
+ +
+ +
+ +
y x
x x
x x
x x
53 1
2 3
4 3
1 2
47 2
3 1
47
= +
+ +
+ +
y x
x x
x x
54 1
3 3
5 3
2 2
7 1
7
= +
+ +
+ y
x x
x x
55 1
1 61
1 47
1 11
1 7
≤ +
+ +
x x
x x
56 1
2 61
2 47
2 11
2 7
2 3
≤ +
+ +
+ x
x x
x x
57 1
3 6
3 5
3 4
3 3
3 2
3 1
≤ +
+ +
+ +
x x
x x
x x
58
=
s k
x
atau 1,
s
K k
∈
,
{ }
3 ,
2 ,
1 =
∈ S
s ,
s
K
adalah himpunan assignment fisibel k pada rel pelangsiran s.
=
b
y atau 1,
{ }
3 ,
2 ,
1 =
∈ B
b Kendala 53 menyatakan bahwa blok 1
hanya boleh dimuat pada tepat satu assignment pada suatu rel pelangsiran atau
blok 1 tidak diparkir pada rel pelangsiran manapun. Kendala 54 dan 55 secara
berturut-turut menyatakan hal yang sama untuk blok 2 dan 3.
Kendala 56 menyatakan bahwa rel pelangsiran 1 hanya
boleh ditempati oleh paling banyak satu assignment. Kendala 57 dan 58 secara
berturut-turut menyatakan hal yang sama untuk rel pelangsiran 2 dan 3.
Masalah induk pada masalah TAP ini diperoleh dengan mengganti batasan
=
s k
x
atau 1 dengan batasan
≥
s k
x
, untuk
s
K k
∈ dan
{ }
3 ,
2 ,
1 =
∈ S
s , serta mengganti
batasan =
b
y dengan batasan
≥
b
y ,
untuk
{ }
3 ,
2 ,
1 =
∈ B
b .
3 Inisialisasi
Misalkan dipilih variabel untuk RP adalah
3 2
2 47
1 11
, ,
x x
x
. Dengan demikian RP yang terbentuk adalah sebagai berikut:
RP :
Minimumkan
3 2
1 3
2 2
47 1
11
50 91
136 140
y y
y x
x x
+ +
+ +
+ terhadap
1
1 3
2 1
11
= +
+ y
x x
1
2 2
47
= +
y x
1
3 3
2
= +
y x
1
1 11
≤ x
1
2 47
≤ x
1
3 2
≤ x
, ,
, ,
,
3 2
1 3
2 2
47 1
11
≥ y
y y
x x
x
Dengan menggunakan LINDO 6.1, masalah RP
di atas akan menghasilkan solusi berikut:
1
2 3
2
= =
y x
,
3 1
2 47
1 11
= =
= =
y y
x x
Dari hasil LINDO 6.1 juga dapat diketahui variabel dual untuk masing-masing kendala
sebagai berikut : ,
50 ,
50 ,
41
3 2
1 3
2 1
= =
= =
= =
µ µ
µ λ
λ λ
lihat Lampiran 5.
3.a Mencari Biaya tereduksi dari
Masing-masing Assignment Fisibel k
pada Rel Pelangsiran s
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, himpunan assignment yang
didominasi tidak diperhitungkan dalam proses pembangkitan kolom, sehingga tidak
perlu dicari biaya tereduksinya.
Berdasarkan nilai-nilai variabel dual pada RP
, maka biaya tereduksi dari assignment fisibel k pada rel pelangsiran s
dapat dihitung dengan menggunakan 25 yang dapat d ilihat pada Tabel 5 berikut:
Tabel 5. Biaya tereduksi dari assignment fisibel k pada rel pelangsiran s untuk RP Assignment k pada rel
pelangsiran s
s k
x
Biaya
s k
c
Biaya tereduksi
s k
c
Assignment k pada rel pelangsiran s
s k
x
Biaya
s k
c
Biaya tereduksi
s k
c
1 7
x
102 11
2 61
x
180 180
1 47
x
145 95
3 1
x
89 -2
1 61
x
185 185
3 5
x
132 82
2 7
x
94 3
3 6
x
175 175
Dari Tabel 5 terlihat bahwa assignment fisibel dan memiliki biaya tereduksi yang
paling negatif adalah assignment 1 pada rel pelangsiran 3 yang berpadanan dengan
variabel
3 1
x
. Variabel ini ditambahkan pada RP
sehingga membentuk RP
1
seperti berikut:
RP
1
: Minimumkan
3 2
1 3
2 3
1 2
47 1
11
50 91
89 136
140 y
y y
x x
x x
+ +
+ +
+ +
terhadap 1
1 3
2 3
1 1
11
= +
+ +
y x
x x
1
2 3
1 2
47
= +
+ y
x x
1
3 3
2
= +
y x
1
1 11
≤ x
1
2 47
≤ x
1
3 2
3 1
≤ +
x x
, ,
, ,
, ,
3 2
1 3
2 3
1 2
47 1
11
≥ y
y y
x x
x x
Dengan menggunakan LINDO 6.1, masalah RP
1
di atas akan menghasilkan solusi berikut:
1
3 3
1
= =
y x
,
, ,
, ,
,
2 1
3 2
3 1
2 47
1 11
= y
y x
x x
x
Dari hasil LINDO 6.1 juga dapat diketahui variabel dual untuk masing-masing kendala
sebagai berikut: ,
50 ,
48 ,
41
3 2
1 3
2 1
= =
= =
= =
µ µ
µ λ
λ λ
lihat Lampiran 5. Berdasarkan nilai-nilai variabel dual
pada RP
1
, maka biaya tereduksi dari assignment fisibel k pada rel pelangsiran s
dapat dihitung dengan menggunakan 25 yang dapat dilihat pada Tabel 6 berikut:
Tabel 6. Biaya tereduksi dari assignment fisibel k pada rel pelangsiran s untuk RP
1
Assignment k pada rel pelangsiran s
s k
x
Biaya
s k
c
Biaya Tereduksi
s k
c
Assignment k pada rel pelangsiran s
s k
x
Biaya
s k
c
Biaya Tereduksi
s k
c
1 7
x
102 11
2 61
x
180 180
1 47
x
145 97
3 5
x
132 82
1 61
x
185 185
3 6
x
175 175
2 7
x
94 3
Dari Tabel 6 tidak ada lagi kolom atau variabel yang memiliki biaya tereduksi
negatif, hal ini berarti solusi pada RP
1
merupakan solusi optimal pada masalah induk. Dalam contoh kasus ini, blok yang
dapat diparkir agar biaya pelangsiran minimum adalah Kereta 3628 dan Kereta
561 di rel pelangsiran 2 yang datang dan berangkat melalui sisi kiri serta dengan tidak
memarkir Kereta 3678 pada rel pelangsiran.
Dari contoh kasus di atas, proses pemarkiran kereta api yang meminimumkan
biaya adalah sebagai berikut: 1.
Kereta 3628 yang tiba di peron kedatangan 5A pada Senin pukul 11:09
akan memasuki rel pelangsiran 2 melalui sisi kiri.
2. Kemudian Kereta 561 yang tiba di
peron kedatangan 3B pada Senin pukul 21:02 akan memasuki rel pelangsiran 2
melalui sisi kiri pula. 3.
Kereta 3678 yang tiba di peron kedatangan 5B pada Senin pukul 23:43
tidak diparkir di rel pelangsiran. 4.
Kereta 520 harus berangkat pada Selasa pukul 07:18, oleh karenanya kereta ini
yang pertama kali meninggalkan rel pelangsiran 2 melalui sisi kiri menuju
peron keberangkatan 1A.
5. Kereta 3628 akan dipasangkan dengan
Kereta 3678 membentuk Kereta 3629 yang akan berangkat pada Selasa pukul
07:49. Oleh karena itu, Kereta 3628 meninggalkan rel pelangsiran 2 melalui
sisi kiri menuju peron keberangkatan 5A, kemudian disusul dengan Kereta
3678 yang berangkat dari peron kedatangan 5B ke peron keberangkatan
5A. Biaya yang diperlukan dalam proses
pelangsiran ini adalah sebesar 139.
VI SIMPULAN DAN SARAN
6.1 Simpulan
