Maksimumkan
7 6
5 4
3 2
1
y y
y y
y y
y w
+ +
+ +
+ +
= terhadap
5
4 2
1
≤ +
+ y
y y
7
5 3
1
≤ +
+ y
y y
9
6 5
3 2
≤ +
+ +
y y
y y
7
7 6
3 2
≤ +
+ +
y y
y y
5
6 4
≤ +
y y
≥
i
y , untuk
{ }
7 ,
6 ,
5 ,
4 ,
3 ,
2 ,
1 =
i .
Dengan menggunakan LINDO 6.1, diperoleh solusi dari masalah primal sebagai
berikut: ,
1
4 2
1
= =
= x
x x
5 3
= =
x x
dengan nilai fungsi objektifnya 19
= z
lihat Lampiran 2. Nilai pengali simpleks untuk
masing-masing kendala adalah sebagai berikut:
7 ,
5 ,
7 5
4 6
3 2
1
= =
= =
= =
= y
y y
y y
y y
dengan y
i
adalah nilai pengali simpleks kendala ke -i.
Solusi dari masalah dual tersebut juga dapat dicari menggunakan LINDO 6.1 yang
menghasilkan solusi: 7
, 5
,
7 5
4 6
3 2
1
= =
= =
= =
= y
y y
y y
y y
dengan nilai fungsi objektif w = 19 lihat Lampiran 2.
Dari penghitungan tersebut, nilai pengali simpleks masalah primal sama
dengan optimal dari masalah dual dan fungsi objektif dari masalah primal dan dual
mempunyai nilai yang sama seperti yang dinyatakan Teorema 2.
2.3 Pemrograman Linear Bilangan Bulat
PLBB
Model pemrograman linear bilangan bulat atau disebut juga pemrograman
bilangan bulat adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang
digunakan berupa bilangan bulat. Jika semua variabel harus berupa bilangan bulat maka
masalah tersebut disebut pemrograman bilangan bulat alami . Jika hanya sebagian
yang harus bilangan bulat maka disebut Pemrograman bilangan bulat campuran.
Pemrograman bilangan bulat dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-
1 PLBB. Definisi 4 P L-Relaksasi
PL-Relaksasi dari suatu PLBB
merupakan pemrograman linear
yang diperoleh dari PLBB tersebut dengan
menghilangkan kendala bilangan bulat atau kendala 0-1 pada variabelnya.
Winston, 1995 Model yang digunakan pada tulisan ini
yang berkaitan dengan masalah PLBB adalah masalah pemartisian himpunan set
partitioning problem.
2.3.1 Masalah Pemartisian Himpunan
Set PartitioningProblem Definisi 5 Partisi
Misalkan diberikan himpunan
{ }
m I
,..., 2
, 1
= dan himp unan
{ }
n
P P
P P
,..., ,
2 1
= dengan P
j
adalah himpunan bagian dari I,
{ }
n J
j ,...,
2 ,
1 =
∈ .
Himpunan
j
P
dengan
J J
j ⊆
∈
adalah partisi dari I jika : =
∩ ⇒
≠ ∈
k j
P P
k j
J k
j ,
,
ø
dan
U
J j
j
I P
∈
= Garfikel Nemhauser, 1972
Ilustrasi dari suatu partisi dapat dilihat pada Contoh 4 berikut:
Contoh 4 Misalkan diberikan himpunan
{ }
6 ,
5 ,
4 ,
3 ,
2 ,
1 =
I dan kelas-kelas
{ }
6 ,
1
1
= P
,
{ }
4 ,
3
2
= P
,
{ }
5 ,
4 ,
1
3
= P
,
{ }
5 ,
2
4
= P
,
{ }
6 ,
5 ,
3 ,
2
5
= P
. Partisi dari
I di antaranya adalah
{ }
4 2
1
, ,
P P
P , karena untuk
{ }
4 ,
2 ,
1 =
J
berlaku =
∩ ⇒
≠ ∈
k j
P P
k j
J k
j ,
,
ø
dan
U
J j
j
I P
∈
= Masalah pemartisian himpunan set
partitioning problemSPP adalah masalah menentukan partisi dari himpunan I yang
mempunyai biaya minimum. Untuk mendapatkan partisi tersebut, misalkan
didefinisikan variabel 0-1 sebagai berikut:
1, jika P
j
termasuk dalam partisi x
j
= 0, selainnya
Misalkan pula
≥
j
c
adalah ongkosbiaya dari setiap
I P
j
∈
.
Bentuk umum SPP: Minimumkan
∑
= n
j j
j
x c
1
terhadap =
∑
= j
n j
x j
1
A 1
=
j
x
atau 1 dengan c
j
adalah biaya P
j
, Aj adalah matriks koefisien kendala, dan 1 adalah
vektor dengan dimensi n dengan semua komponennya sama dengan 1.
Model ini memiliki beberapa sifat penting, yaitu:
Sifat 1 Masalah pada model merupakan
masalah minimisasi dan semu a kendalanya berupa persamaan.
Sifat 2 Nilai sisi kanan
semua kendala adalah 1. Sifat 3
Semua elemen matriks koefisien A
j adalah 0 atau 1. Contoh 5 Masalah
Pemartisian Himpunan
Misalkan diberikan himpunan I beserta kelas-kelas P seperti pada Contoh 4.
Misalkan diketahui biaya dari masing- masing kelas
P
j
, yaitu c
j
, dengan 7
, 8
, 9
, 10
, 5
5 4
3 2
1
= =
= =
= c
c c
c c
. Diinginkan himpunan dari P
j
yang dapat memartisi
I dengan biaya minimum. Masalah tersebut dapat dimodelkan sebagai
masalah pemartisian himpunan. Misalkan didefinisikan variabel 0-1 sebagai berikut:
1, jika P
j
termasuk dalam partisi x
j
= 0, selainnya
1, jika elemen ke-i di I merupakan elemen P
j
, dengan
5 ,...,
2 ,
1 =
j
A j =
0, selainnya Masalah tersebut dapat dimodelkan sebagai
berikut:
SPP : Minimumkan
∑
= 5
1 j
j j
x c
terhadap 1
3 1
= +
x x
1
5 4
= +
x x
1
5 2
= +
x x
1
3 2
= +
x x
1
5 4
3
= +
+ x
x x
1
5 1
= +
x x
=
j
x
atau 1, untuk
{ }
5 ,
4 ,
3 ,
2 ,
1 =
j .
Dengan mengunakan LINDO 6.1 diperoleh solusi untuk masalah SPP tersebut
sebagai berikut: ,
1
5 3
4 2
1
= =
= =
= x
x x
x x
, dan nilai fungsi objektif sebesar 23.
Pada tulisan ini, model matematika dalam penetapan unit kereta pada rel
pelangsiran diformulasikan sebagai masalah pemartisian himpunan dengan kendala
tambahan.
masalah pemartisian himpunan dengan kendala tambahan
adalah masalah
pemartisian himpunan dengan beberapa kendala tambahan yang berbeda den gan
kendala yang berada pada SPP itu sendiri. Dalam tulisan ini juga diperlukan
konsep tentang graf. Berikut uraian tentang teori graf yang berhubungan dengan masalah
pelangsiran unit kereta pada stasiun kereta api dan algoritme pembangkitan kolom.
2.4 Graf
