Bentuk umum SPP: Minimumkan
∑
= n
j j
j
x c
1
terhadap =
∑
= j
n j
x j
1
A 1
=
j
x
atau 1 dengan c
j
adalah biaya P
j
, Aj adalah matriks koefisien kendala, dan 1 adalah
vektor dengan dimensi n dengan semua komponennya sama dengan 1.
Model ini memiliki beberapa sifat penting, yaitu:
Sifat 1 Masalah pada model merupakan
masalah minimisasi dan semu a kendalanya berupa persamaan.
Sifat 2 Nilai sisi kanan
semua kendala adalah 1. Sifat 3
Semua elemen matriks koefisien A
j adalah 0 atau 1. Contoh 5 Masalah
Pemartisian Himpunan
Misalkan diberikan himpunan I beserta kelas-kelas P seperti pada Contoh 4.
Misalkan diketahui biaya dari masing- masing kelas
P
j
, yaitu c
j
, dengan 7
, 8
, 9
, 10
, 5
5 4
3 2
1
= =
= =
= c
c c
c c
. Diinginkan himpunan dari P
j
yang dapat memartisi
I dengan biaya minimum. Masalah tersebut dapat dimodelkan sebagai
masalah pemartisian himpunan. Misalkan didefinisikan variabel 0-1 sebagai berikut:
1, jika P
j
termasuk dalam partisi x
j
= 0, selainnya
1, jika elemen ke-i di I merupakan elemen P
j
, dengan
5 ,...,
2 ,
1 =
j
A j =
0, selainnya Masalah tersebut dapat dimodelkan sebagai
berikut:
SPP : Minimumkan
∑
= 5
1 j
j j
x c
terhadap 1
3 1
= +
x x
1
5 4
= +
x x
1
5 2
= +
x x
1
3 2
= +
x x
1
5 4
3
= +
+ x
x x
1
5 1
= +
x x
=
j
x
atau 1, untuk
{ }
5 ,
4 ,
3 ,
2 ,
1 =
j .
Dengan mengunakan LINDO 6.1 diperoleh solusi untuk masalah SPP tersebut
sebagai berikut: ,
1
5 3
4 2
1
= =
= =
= x
x x
x x
, dan nilai fungsi objektif sebesar 23.
Pada tulisan ini, model matematika dalam penetapan unit kereta pada rel
pelangsiran diformulasikan sebagai masalah pemartisian himpunan dengan kendala
tambahan.
masalah pemartisian himpunan dengan kendala tambahan
adalah masalah
pemartisian himpunan dengan beberapa kendala tambahan yang berbeda den gan
kendala yang berada pada SPP itu sendiri. Dalam tulisan ini juga diperlukan
konsep tentang graf. Berikut uraian tentang teori graf yang berhubungan dengan masalah
pelangsiran unit kereta pada stasiun kereta api dan algoritme pembangkitan kolom.
2.4 Graf
Definisi 6 Graf
Suatu graf adalah pasangan terurut V,E dengan V himpunan takkosong dan
hingga dan E adalah himpunan pasangan takterurut yang menghubungkan elemen-
elemen V
dan dinotasikan dengan E
V G
, =
. Elemen V dinamakan simpul node,
dan elemen E dinamakan sisi edge, dinotasikan sebagai
{ }
j i,
, yaitu sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j,
dengan
V j
i ∈
,
. Foulds, 1992
Ilustrasi graf dapat dilihat pada Contoh 6 berikut:
Contoh 6 G :
Gambar 1. Graf G = V, E. v
1
v
5
v
4
v
2
v
3
Pada Gambar 1,
{ }
5 4
3 2
1
, ,
, ,
v v
v v
v V
= dan
{ } {
} { } {
} { }
{
4 3
5 2
3 2
5 1
2 1
, ,
, ,
, ,
, ,
, v
v v
v v
v v
v v
v E
=
{ } {
}}
5 4
5 3
, ,
, v
v v
v .
Definisi 7 Walk
Suatu walk pada graf E
V G
, =
adalah suatu barisan simpul dan sisi dari G dengan
bentuk:
{ } {
} { }
n n
n
v v
v v
v v
v v
v ,
, ,...,
, ,
, ,
,
1 3
2 2
2 1
1 −
, atau ditulis dengan ringkas:
n
v v
v ,...,
,
2 1
atau ,...,
,
2 1
n
v v
v . Walk
tersebut menghubungkan simpul
1
v dengan
n
v . Foulds, 1992
Definisi 8 Path
Path pada suatu graf G adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda.
Foulds, 1992 Berikut diberikan ilustrasi dari walk dan
path. Pada graf G yang terdapat pada Gambar 1 salah satu contoh walk adalah
, ,
, ,
, ,
5 2
3 4
5 2
1
v v
v v
v v
v , sedangkan salah
satu contoh path adalah ,
, ,
4 5
2 1
v v
v v
. Definisi 9 Digraf
Digraf directed grafgraf berarah adalah pasangan terurut V, A dengan V
adalah himpunan takkosong dan hingga, dan A adalah himpunan pasangan terurut dari
elemen-elemen di V.
Elemen dari A disebut sisi berarah arc dan dituliskan sebagai
j i,
dengan
V j
i ∈
,
. Foulds, 1992
Ilustrasi digraf dapat dilihat pada Contoh 7 berikut:
Contoh 7
Gambar 2. Digraf ,
A V
G =
. Pada Gambar 2, digraf G’ memiliki
himpunan simpul
{ }
5 4
3 2
1
, ,
, ,
v v
v v
v V
= dan
{
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
4 3
3 5
3 2
5 1
2 1
v v
v v
v v
v v
v v
A =
}
4 5
, v v
.
Definisi 10 Sisi Berarah Menjauhi atau Mendekati, Suksesor dan Predesesor
Misalkan diberikan digraf A
V D
, =
. Jika
A v
v a
j i
∈ =
,
maka sisi berarah ini dikatakan menjauhi
i
v dan mendekati
j
v
. Simpul
i
v disebut predesesor bagi simpul
j
v
, simpul
j
v disebut suksesor bagi simpul
i
v . Foulds, 1992
Definisi tersebut dapat digambarkan dalam digraf seperti berikut:
Gambar 3. Sisi berarah menjauhi atau mendekati, suksesor, dan predesesor.
Definisi 11 Graf Berbobot
Suatu graf E
V G
, =
atau digraf A
V D
, =
dikatakan berbobot jika terdapat fungsi
ℜ →
E w :
atau ℜ
→ A
: ϑ
dengan
ℜ
himpunan bilangan real yang memberikan bobot pada setiap elemen E
atau A. Foulds, 1992
Terdapat kasus khusus dari graf berbobot yaitu network. Beberapa definisi
yang digunakan dalam network adalah sebagai berikut:
Definisi 12 Simpul sumber
Simpul sumber source adalah suatu simpul dengan tidak ada sisi berarah yang
mendekati simpul tersebut. Foulds, 1992
Definisi 13 Simpul tujuan
Simpul tujuan sink adalah suatu simpul sehingga tidak ada sisi berarah yang
menjauhi simpul tersebut. Foulds, 1992
Definisi 14 Network
Network adalah suatu digraf yang mempunyai tepat satu simpul sumber dan
satu simpul tujuan. Foulds, 1992
i
v
v
1
v
5
v
4
v
2
v
3
j
v
Contoh 8
Graf G’ pada Gambar 2 merupakan network dengan v
1
sebagai simpul sumber dan v
4
sebagai simpul tujuan. Masalah graf berbobot ini biasanya
untuk suatu kasus tertentu diinginkan bobot yang terkecil, salah satunya adalah masalah
path terpendek shortest path problem.
Definisi 15 Shortest Path Problem
Masalah path terpendek adalah masalah untuk menemukan path terpendek path
dengan biaya minimum dari suatu simpul ke suatu simpul lain dalam suatu network .
Foulds, 1992
III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
3.1 Masalah Pelangsiran Unit Kereta Penumpang pada Stasiun Kereta
