Model pandemik dijelaskan dalam persamaan 3.3
Laju perubahan jumlah manusia rentan terhadap waktu t dipengaruhi oleh rata-rata
kelahiran manusia ditambah jumlah manusia rentan dikurangi manusia yang terinfeksi flu
manusia dikurangi manusia yang terinfeksi flu burung dikurangi manusia yang terinfeksi
pandemik flu burung dan tingkat kematian alami. Laju perubahan jumlah manusia
terinfeksi flu manusia terhadap waktu t dipengaruhi oleh banyaknya manusia rentan
flu manusia dikurangi manusia yang terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan
dikurangi manusia terinfeksi flu manusia dan tingkat kematian alami.
Laju perubahan jumlah manusia yang sembuh dari flu manusia terhadap waktu t
dipengaruhi oleh
banyaknya manusia
terinfeksi flu manusia dikurangi manusia sembuh namun kembali terinfeksi flu burung
dan pandemik flu burung dikurangi manusia rentan dan tingkat kematian manusia alami.
Laju perubahan jumlah penderita flu burung pada waktu t dipengaruhi oleh banyaknya
manusia yang terinfeksi flu burung dan manusia yang telah sembuh namun terinfeksi
flu burung dikurangi tingkat kematian alami dan tingkat kematian akibat flu burung.
Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan
terhadap waktu t dipengaruhi oleh banyaknya manusia terinfeksi flu manusia dan flu burung
secara bersamaan dikurangi tingkat kematian alami manusia dan kematian akibat terinfeksi
keduanya dikurangi waktu tunda terinfeksinya kedua penyakit. Laju perubahan jumlah
manusia yang terinfeksi pandemik flu burung terhadap waktu t dipengaruhi oleh waktu
tunda yang diperlukan agar flu manusia dan flu burung menginfeksi manusia secara
bersamaan ditambah
manusia terinfeksi
pandemik flu burung ditambah manusia yang sembuh namun terinfeksi pandemik flu
burung dikurangi tingkat kematian alami dan tingkat kematian akibat terinfeksi pandemik
flu burung.
IV PEMBAHASAN
Analisis titik tetap, jenis titik tetap dan reproduksi virus pada setiap model akan
dibahas dalam bab ini. Model unggas memodelkan jumlah populasi unggas yang
sehat, unggas yang terinfeksi flu burung dan reproduksi flu burung pada populasi unggas.
Model prepandemik memodelkan pergerakan virus flu burung dan flu manusia dalam
populasi
manusia. Model
ini juga
memodelkan reproduksi flu manusia dan reproduksi
invasi flu
manusia. Model
pandemik memodelkan
kemungkinan munculnya pandemik flu burung atau flu
manusia pada populasi manusia. Model pandemik
juga memodelkan
reproduksi pandemik, reproduksi invasi pandemik dan
invasi pandemik flu manusia. Invasi
pandemik menghasilkan
dua kemungkinan pandemik yaitu pandemik flu
burung dan pandemik flu manusia. Dua kemungkinan tersebut melibatkan invasi
setiap model dengan kondisi tertentu.
4.1 Analisis Model Unggas
Analisis pada model ini mengacu pada persamaan 3.1. Reproduksi flu burung pada
model ini terjadi saat flu burung menginfeksi populasi unggas namun belum menginfeksi
manusia. Pada persamaan 3.1 terdapat dua persamaan. Dua persamaan tersebut dibuat
sama dengan nol untuk mendapatkan titik tetapnya.
Berdasarkan persamaan
3.1 didapatkan dua titik tetap secara berturut-
turut yaitu Lampiran 1. Titik tetap kedua biasa disebut
titik tetap endemik. Berdasarkan
persamaan 3.1
dicari matriks Jacobi, misalkan saja
yaitu Lampiran 2. Matriks Jacobi titik tetap
pertama adalah . Nilai
eigen untuk titik tetap pertama adalah dan
Lampiran 4. Misalkan
, untuk titik
tetap berupa saddle node jika nilai eigennya real dan berbeda tanda.
Jika dan
maka
Lampiran 4 bagian 4.1,
Lampiran 4 bagian 4.2.
Jika dan
maka
Lampiran 4 bagian 4.3,
Lampiran 4 bagian 4.4.
Untuk nilai eigennya real bertanda
sama titik tetapnya berupa nodes atau nilai eigen berupa bilangan kompleks titik tetapnya
berupa spiral. Nilai eigen persamaan 3.1 real tidak kompleks sehingga jenis titik tetapnya
bukan spiral. Titik tetap berupa nodes jika
dan maka
Lampiran 4 bagian 4.5,
Lampiran 4 bagian
4.6. Jika
dan maka
Lampiran 4 bagian 4.7,
Lampiran 4 bagian
4.8. Jika nodes stabil
maka Lampiran 4 bagian 4.9.
Jika nodes tidak stabil maka
Lampiran 4 bagian 4.10.
Matriks Jacobi titik tetap kedua adalah
Nilai eigen dari titik tetap kedua, terdapat pada Lampiran 6. Identifikasi jenis titik tetap
untuk titik tetap kedua tidak dapat dilakukan karena nilai eigen yang rumit sehingga
identifikasi hanya dapat dikenali dengan memasukkan nilai parameter. Reproduksi flu
burung terdapat dalam persamaan 4.1 berikut.
4.1
Pada reproduksi jumlah flu burung nilai merupakan
koefisien transmisi
unggas terinfeksi flu burung dalam satu unit waktu.
Persamaan merupakan lamanya flu
burung menginfeksi seekor unggas sampai timbul gejala.
merupakan jumlah populasi unggas.
Jumlah unggas
rentan dan
unggas terinfeksi flu burung secara berturut-turut
terdapat dalam persamaan 4.2 berikut.
4.2
dan biasa disebut titik tetap endemik flu
burung. 4.2
Analisis Model Prepandemik
Pada model ini terdapat reproduksi flu manusia dan invasi flu manusia. Reproduksi
flu manusia terdapat pada persamaan 4.3 berikut.
4.3 Martcheva 2011
Pada jumlah reproduksi flu manusia nilai β
merupakan nilai koefisien transmisi flu manusia dalam satu unit waktu. Persamaan
merupakan lamanya flu manusia menginfeksi manusia sampai timbul gejala.
merupakan jumlah populasi manusia. Model prepandemik mempunyai titik tetap
bebas penyakit
.
Kondisi bebas penyakit akan berlangsung jika
dan .
Berdasarkan penghitungan
ternyata kondisi bebas penyakit tidak terwujud karena salah satu syaratnya tidak terpenuhi
Lampiran 25 dan 26. Meningkatnya flu
burung pada unggas tidak serta merta menginfeksi manusia secara meluas dan
berpotensi menjadi pandemik. Flu burung menginfeksi manusia terjadi jika kondisi
. Analisis
model prepandemik
mempunyai dua titik tetap. Titik tetap model prepandemik
yang pertama
adalah dan titik tetap kedua
adalah
Matriks Jacobi model prepandemik terdapat pada Lampiran 11. Matriks Jacobi untuk titik
tetap pertama terdapat pada Lampiran 12. Matriks Jacobi untuk titik tetap kedua terdapat
pada Lampiran 13. Nilai eigen model prepandemik
untuk titik
tetap adalah
Misal , untuk
titik tetap
berupa saddle node jika nilai eigennya real dan berbeda
tanda. Agar nilai eigennya berbeda tanda setidaknya ada satu nilai eigen bernilai negatif
diantara semua nilai eigen yang positif. Misalkan
sedangkan .
Jika maka
Lampiran 15, persamaan 15.1 .
Untuk titik tetap berupa nodes jika
nilai eigennya real bertanda sama atau bilangan kompleks titik tetapnya berupa
spiral. Nilai eigen dan
merupakan nilai eigen real bukan kompleks sehingga titik tetapnya bukan berupa spiral.
Identifikasi jenis titik tetap dilakukan dengan memeriksa kesamaan tanda setiap nilai eigen.
Jika
dan maka
Lampiran 15 bagian 15.2,
Lampiran 15 bagian 15.3,
Lampiran 15 bagian 15.4,
Lampiran 15 bagian 15.5.
Misal dan
maka
Lampiran 15 bagian 15.6,
Lampiran 15 bagian 15.7,
Lampiran 15 bagian 15.8,
Lampiran 15, bagian 15.9. Jika nodes stabil
maka Lampiran 15
bagian 15.10, tidak stabil maka
Lampiran 15 bagian 15.11.
Nilai eigen model prepandemik untuk titik tetap kedua tidak dibahas karena terlalu rumit
dan kompleks. Nilai eigen untuk titik tetap kedua hanya dapat diidentifikasi dengan
memasukkan nilai
parameter. Model
prepandemik mempunyai dua titik tetap disamping titik tetap bebas penyakit. Dua titik
tersebut adalah titik tetap flu burung dominan dan titik tetap flu manusia dominan. Titik