Model Prepandemik Analisis Model Pandemik dan Prepandemik Avian Influenza pada Populasi Manusia

Model pandemik dijelaskan dalam persamaan 3.3 Laju perubahan jumlah manusia rentan terhadap waktu t dipengaruhi oleh rata-rata kelahiran manusia ditambah jumlah manusia rentan dikurangi manusia yang terinfeksi flu manusia dikurangi manusia yang terinfeksi flu burung dikurangi manusia yang terinfeksi pandemik flu burung dan tingkat kematian alami. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi flu manusia terhadap waktu t dipengaruhi oleh banyaknya manusia rentan flu manusia dikurangi manusia yang terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan dikurangi manusia terinfeksi flu manusia dan tingkat kematian alami. Laju perubahan jumlah manusia yang sembuh dari flu manusia terhadap waktu t dipengaruhi oleh banyaknya manusia terinfeksi flu manusia dikurangi manusia sembuh namun kembali terinfeksi flu burung dan pandemik flu burung dikurangi manusia rentan dan tingkat kematian manusia alami. Laju perubahan jumlah penderita flu burung pada waktu t dipengaruhi oleh banyaknya manusia yang terinfeksi flu burung dan manusia yang telah sembuh namun terinfeksi flu burung dikurangi tingkat kematian alami dan tingkat kematian akibat flu burung. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan terhadap waktu t dipengaruhi oleh banyaknya manusia terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan dikurangi tingkat kematian alami manusia dan kematian akibat terinfeksi keduanya dikurangi waktu tunda terinfeksinya kedua penyakit. Laju perubahan jumlah manusia yang terinfeksi pandemik flu burung terhadap waktu t dipengaruhi oleh waktu tunda yang diperlukan agar flu manusia dan flu burung menginfeksi manusia secara bersamaan ditambah manusia terinfeksi pandemik flu burung ditambah manusia yang sembuh namun terinfeksi pandemik flu burung dikurangi tingkat kematian alami dan tingkat kematian akibat terinfeksi pandemik flu burung. IV PEMBAHASAN Analisis titik tetap, jenis titik tetap dan reproduksi virus pada setiap model akan dibahas dalam bab ini. Model unggas memodelkan jumlah populasi unggas yang sehat, unggas yang terinfeksi flu burung dan reproduksi flu burung pada populasi unggas. Model prepandemik memodelkan pergerakan virus flu burung dan flu manusia dalam populasi manusia. Model ini juga memodelkan reproduksi flu manusia dan reproduksi invasi flu manusia. Model pandemik memodelkan kemungkinan munculnya pandemik flu burung atau flu manusia pada populasi manusia. Model pandemik juga memodelkan reproduksi pandemik, reproduksi invasi pandemik dan invasi pandemik flu manusia. Invasi pandemik menghasilkan dua kemungkinan pandemik yaitu pandemik flu burung dan pandemik flu manusia. Dua kemungkinan tersebut melibatkan invasi setiap model dengan kondisi tertentu.

4.1 Analisis Model Unggas

Analisis pada model ini mengacu pada persamaan 3.1. Reproduksi flu burung pada model ini terjadi saat flu burung menginfeksi populasi unggas namun belum menginfeksi manusia. Pada persamaan 3.1 terdapat dua persamaan. Dua persamaan tersebut dibuat sama dengan nol untuk mendapatkan titik tetapnya. Berdasarkan persamaan 3.1 didapatkan dua titik tetap secara berturut- turut yaitu Lampiran 1. Titik tetap kedua biasa disebut titik tetap endemik. Berdasarkan persamaan 3.1 dicari matriks Jacobi, misalkan saja yaitu Lampiran 2. Matriks Jacobi titik tetap pertama adalah . Nilai eigen untuk titik tetap pertama adalah dan Lampiran 4. Misalkan , untuk titik tetap berupa saddle node jika nilai eigennya real dan berbeda tanda. Jika dan maka  Lampiran 4 bagian 4.1,  Lampiran 4 bagian 4.2. Jika dan maka  Lampiran 4 bagian 4.3,  Lampiran 4 bagian 4.4. Untuk nilai eigennya real bertanda sama titik tetapnya berupa nodes atau nilai eigen berupa bilangan kompleks titik tetapnya berupa spiral. Nilai eigen persamaan 3.1 real tidak kompleks sehingga jenis titik tetapnya bukan spiral. Titik tetap berupa nodes jika dan maka  Lampiran 4 bagian 4.5,  Lampiran 4 bagian 4.6. Jika dan maka  Lampiran 4 bagian 4.7,  Lampiran 4 bagian 4.8. Jika nodes stabil maka Lampiran 4 bagian 4.9. Jika nodes tidak stabil maka Lampiran 4 bagian 4.10. Matriks Jacobi titik tetap kedua adalah Nilai eigen dari titik tetap kedua, terdapat pada Lampiran 6. Identifikasi jenis titik tetap untuk titik tetap kedua tidak dapat dilakukan karena nilai eigen yang rumit sehingga identifikasi hanya dapat dikenali dengan memasukkan nilai parameter. Reproduksi flu burung terdapat dalam persamaan 4.1 berikut. 4.1 Pada reproduksi jumlah flu burung nilai merupakan koefisien transmisi unggas terinfeksi flu burung dalam satu unit waktu. Persamaan merupakan lamanya flu burung menginfeksi seekor unggas sampai timbul gejala. merupakan jumlah populasi unggas. Jumlah unggas rentan dan unggas terinfeksi flu burung secara berturut-turut terdapat dalam persamaan 4.2 berikut. 4.2 dan biasa disebut titik tetap endemik flu burung. 4.2 Analisis Model Prepandemik Pada model ini terdapat reproduksi flu manusia dan invasi flu manusia. Reproduksi flu manusia terdapat pada persamaan 4.3 berikut. 4.3 Martcheva 2011 Pada jumlah reproduksi flu manusia nilai β merupakan nilai koefisien transmisi flu manusia dalam satu unit waktu. Persamaan merupakan lamanya flu manusia menginfeksi manusia sampai timbul gejala. merupakan jumlah populasi manusia. Model prepandemik mempunyai titik tetap bebas penyakit . Kondisi bebas penyakit akan berlangsung jika dan . Berdasarkan penghitungan ternyata kondisi bebas penyakit tidak terwujud karena salah satu syaratnya tidak terpenuhi Lampiran 25 dan 26. Meningkatnya flu burung pada unggas tidak serta merta menginfeksi manusia secara meluas dan berpotensi menjadi pandemik. Flu burung menginfeksi manusia terjadi jika kondisi . Analisis model prepandemik mempunyai dua titik tetap. Titik tetap model prepandemik yang pertama adalah dan titik tetap kedua adalah Matriks Jacobi model prepandemik terdapat pada Lampiran 11. Matriks Jacobi untuk titik tetap pertama terdapat pada Lampiran 12. Matriks Jacobi untuk titik tetap kedua terdapat pada Lampiran 13. Nilai eigen model prepandemik untuk titik tetap adalah Misal , untuk titik tetap berupa saddle node jika nilai eigennya real dan berbeda tanda. Agar nilai eigennya berbeda tanda setidaknya ada satu nilai eigen bernilai negatif diantara semua nilai eigen yang positif. Misalkan sedangkan . Jika maka Lampiran 15, persamaan 15.1 . Untuk titik tetap berupa nodes jika nilai eigennya real bertanda sama atau bilangan kompleks titik tetapnya berupa spiral. Nilai eigen dan merupakan nilai eigen real bukan kompleks sehingga titik tetapnya bukan berupa spiral. Identifikasi jenis titik tetap dilakukan dengan memeriksa kesamaan tanda setiap nilai eigen. Jika dan maka  Lampiran 15 bagian 15.2,  Lampiran 15 bagian 15.3,  Lampiran 15 bagian 15.4,  Lampiran 15 bagian 15.5. Misal dan maka  Lampiran 15 bagian 15.6,  Lampiran 15 bagian 15.7,  Lampiran 15 bagian 15.8,  Lampiran 15, bagian 15.9. Jika nodes stabil maka Lampiran 15 bagian 15.10, tidak stabil maka Lampiran 15 bagian 15.11. Nilai eigen model prepandemik untuk titik tetap kedua tidak dibahas karena terlalu rumit dan kompleks. Nilai eigen untuk titik tetap kedua hanya dapat diidentifikasi dengan memasukkan nilai parameter. Model prepandemik mempunyai dua titik tetap disamping titik tetap bebas penyakit. Dua titik tersebut adalah titik tetap flu burung dominan dan titik tetap flu manusia dominan. Titik