Model Pandemik Analisis Model Pandemik dan Prepandemik Avian Influenza pada Populasi Manusia

Jumlah unggas rentan dan unggas terinfeksi flu burung secara berturut-turut terdapat dalam persamaan 4.2 berikut. 4.2 dan biasa disebut titik tetap endemik flu burung. 4.2 Analisis Model Prepandemik Pada model ini terdapat reproduksi flu manusia dan invasi flu manusia. Reproduksi flu manusia terdapat pada persamaan 4.3 berikut. 4.3 Martcheva 2011 Pada jumlah reproduksi flu manusia nilai β merupakan nilai koefisien transmisi flu manusia dalam satu unit waktu. Persamaan merupakan lamanya flu manusia menginfeksi manusia sampai timbul gejala. merupakan jumlah populasi manusia. Model prepandemik mempunyai titik tetap bebas penyakit . Kondisi bebas penyakit akan berlangsung jika dan . Berdasarkan penghitungan ternyata kondisi bebas penyakit tidak terwujud karena salah satu syaratnya tidak terpenuhi Lampiran 25 dan 26. Meningkatnya flu burung pada unggas tidak serta merta menginfeksi manusia secara meluas dan berpotensi menjadi pandemik. Flu burung menginfeksi manusia terjadi jika kondisi . Analisis model prepandemik mempunyai dua titik tetap. Titik tetap model prepandemik yang pertama adalah dan titik tetap kedua adalah Matriks Jacobi model prepandemik terdapat pada Lampiran 11. Matriks Jacobi untuk titik tetap pertama terdapat pada Lampiran 12. Matriks Jacobi untuk titik tetap kedua terdapat pada Lampiran 13. Nilai eigen model prepandemik untuk titik tetap adalah Misal , untuk titik tetap berupa saddle node jika nilai eigennya real dan berbeda tanda. Agar nilai eigennya berbeda tanda setidaknya ada satu nilai eigen bernilai negatif diantara semua nilai eigen yang positif. Misalkan sedangkan . Jika maka Lampiran 15, persamaan 15.1 . Untuk titik tetap berupa nodes jika nilai eigennya real bertanda sama atau bilangan kompleks titik tetapnya berupa spiral. Nilai eigen dan merupakan nilai eigen real bukan kompleks sehingga titik tetapnya bukan berupa spiral. Identifikasi jenis titik tetap dilakukan dengan memeriksa kesamaan tanda setiap nilai eigen. Jika dan maka  Lampiran 15 bagian 15.2,  Lampiran 15 bagian 15.3,  Lampiran 15 bagian 15.4,  Lampiran 15 bagian 15.5. Misal dan maka  Lampiran 15 bagian 15.6,  Lampiran 15 bagian 15.7,  Lampiran 15 bagian 15.8,  Lampiran 15, bagian 15.9. Jika nodes stabil maka Lampiran 15 bagian 15.10, tidak stabil maka Lampiran 15 bagian 15.11. Nilai eigen model prepandemik untuk titik tetap kedua tidak dibahas karena terlalu rumit dan kompleks. Nilai eigen untuk titik tetap kedua hanya dapat diidentifikasi dengan memasukkan nilai parameter. Model prepandemik mempunyai dua titik tetap disamping titik tetap bebas penyakit. Dua titik tersebut adalah titik tetap flu burung dominan dan titik tetap flu manusia dominan. Titik tetap flu burung dominan ada dan menginfeksi manusia karena jumlah reproduksi flu burung lebih besar dari 1, . Titik tetap flu burung dominan adalah dimana dan didefinisikan oleh persamaan 4.4 berikut. 4.4 adalah jumlah manusia yang rentan terhadap flu burung. adalah jumlah manusia yang terinfeksi flu burung. Total populasi manusia pada titik tetap flu burung dominan dinotasikan oleh . Pada model prepandemik selain titik tetap flu burung dominan terdapat titik tetap flu manusia dominan. Titik tetap flu manusia dominan ada jika . Berikut titik tetap flu manusia dominan . adalah jumlah manusia rentan flu manusia, adalah jumlah manusia terinfeksi flu manusia dan adalah jumlah manusia yang sembuh dari flu manusia. Adanya titik tetap flu burung dan flu manusia dominan menunjukan flu burung dan flu manusia tidak saling bergantung sama lain dalam populasi manusia. Pada model ini terdapat keadaan flu manusia hidup berdampingan coexist dengan flu burung. Flu burung tidak berkompetisi dengan flu manusia untuk menyerang burung rentan namun mereka berkompetisi menginfeksi manusia rentan. Pada kondisi dan flu manusia dan flu burung hidup berdampingan coexist dalam populasi manusia. Reproduksi invasi flu manusia disimbolkan dengan . yang didefinisikan pada persamaan 4.6 berikut. Definisi macam-macam reproduksi dan invasi model prepandemik dan model unggas terdapat dalam Tabel 4. Tabel 4 Daftar reproduksi dan invasi model prepandemik dan model unggas Reproduksi dan invasi penjelasan bilangan reproduksi flu manusia bilangan reproduksi flu burung bilangan reproduksi invasi flu manusia

4.3 Analisis Model Pandemik

Pada model pandemik penyebaran flu burung ditularkan oleh manusia. Pada model ini terdapat reproduksi pandemik, invasi pandemik dan invasi pandemik flu manusia. Pada model pandemik titik tetap dan nlai eigen tanpa nilai parameter tidak dibahas karena nilainya terlalu panjang, rumit dan sangat kompleks. Titik tetap model pandemik dengan parameter dapat dilihat pada Lampiran 19. Matriks Jacobi model pandemik dengan nilai parameter terdapat pada Lampiran 20. Pada model ini populasi manusia merupakan wadah kompetisi dari tiga invasi penyakit yaitu invasi flu burung, invasi flu manusia, dan invasi pandemik. Reproduksi pandemik terjadi jika dimana didefinisikan oleh persamaan 4.7 berikut. 4.7 Invasi pandemik didefinisikan pada persamaan 4.8 berikut. 4.8 Pada persamaan 4.9 terdapat yang merupakan jumlah manusia terinfeksi flu manusia saat terjadi pandemik flu burung. 4.9 Invasi pandemik menginvasi flu burung dan flu manusia pada populasi manusia terjadi pada kondisi . didefinisikan pada persamaan 4.10 berikut. 4.10 Pandemik terjadi pada kondisi , , dan . Invasi pandemik flu burung akan menginvasi populasi manusia jika dimana dengan jumlah reproduksi dan jumlah reproduksi invasi tetap lebih besar dari satu. 4.11 Pandemik yang muncul akan menjadi pandemik flu manusia pada kondisi , , , dan Pandemik flu burung terjadi dengan kondisi , , , dan . Definisi macam-macam reproduksi dan invasi dalam model pandemik terdapat dalam Tabel 5 Tabel 5 Daftar reproduksi dan invasi model pandemik Reproduksi dan invasi Penjelasan bilangan reproduksi pandemik bilangan reproduksi invasi pandemik bilangan rasio invasi flu manusia dengan invasi pandemik bilangan reproduksi invasi pandemik pada populasi manusia