Gambar 3.3 Grid untuk Derivasi Pendekatan Beda Hingga
3.3.1 Diskritisasi Persamaan Energi
Persamaan dasar energi :
2 2
y T
y T
v x
T u
∂ ∂
= ∂
∂ +
∂ ∂
α 3.1
Dengan mensubstitusikan variabel tak berdimensi, tiap suku dari persamaan di atas dapat diubah ke bentuk persamaan tak berdimensi sebagai berikut :
• x
T u
∂ ∂
= X
U W
T T
w
∂ ∂
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
−
∞
θ υ
2
3.2 •
y T
v ∂
∂ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
−
∞
2
W T
T
w
υ Y
V ∂
∂ θ
3.3 •
2 2
y T
∂ ∂
α =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
−
∞
2
W T
T
w
υ
2 2
Pr 1
Y ∂
∂ θ
3.4 Substitusi persamaan 3.2, 3.3 dan 3.4 ke persamaan 3.1, diperoleh :
X U
W T
T
w
∂ ∂
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
−
∞
θ υ
2
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
∞
2
W T
T
w
υ Y
V ∂
∂ θ
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
∞
2
W T
T
w
υ
2 2
Pr 1
Y ∂
∂ θ
Persamaan di atas disederhanakan dengan mengeliminasi ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
∞
2
W T
T
w
υ , menjadi :
X U
∂ ∂
θ +
Y V
∂ ∂
θ =
2 2
Pr 1
Y ∂
∂ θ
3.5 Persamaan 3.5 disebut persamaan energi dalam bentuk tak berdimensi.
Diskritisasi tiap suku persamaan di atas adalah sebagai berikut : •
j i
X U
,
∂ ∂
θ =
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∆ −
− −
X U
k j
i k
j i
k j
i
, 1
, 1
,
θ θ
3.6 i-1, j
∆y ∆y
i, j-1 i, j
i, j+1 ∆x
•
j i
Y V
,
∂ ∂
θ =
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∆ −
− +
−
Y V
k j
i k
j i
k j
i
2
1 ,
1 ,
1 ,
θ θ
3.7
•
j i
Y
, 2
2
∂ ∂
θ =
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∆ +
−
− +
2 1
, ,
1 ,
2 Y
k j
i k
j i
k j
i
θ θ
θ 3.8
Dengan menyusun ulang persamaan 3.6, 3.7 dan 3.8 identik dengan persamaan 3.5, diperoleh :
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∆ −
− −
X U
k j
i k
j i
k j
i
, 1
, 1
,
θ θ
+ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ∆
−
− +
−
Y V
k j
i k
j i
k j
i
2
1 ,
1 ,
1 ,
θ θ
= Pr
1 ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ∆
+ −
− +
2 1
, ,
1 ,
2 Y
k j
i k
j i
k j
i
θ θ
θ
Variabel yang sudah diketahui disusun disebelah kanan tanda =, dan variabel data yang belum diketahui diletakkan di sebelah kiri tanda =. Diperoleh
persamaan baru :
k j
i k
j i
Y Y
V
1 ,
2 1
,
Pr 1
2
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∆ −
∆ −
θ +
k j
i k
j i
Y X
U
, 2
1 ,
Pr 2
θ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ∆
+ ∆
−
+
k j
i k
j i
Y Y
V
1 ,
2 1
,
Pr 1
2
+ −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∆ −
∆ θ
=
k j
i k
j i
X U
, 1
1 ,
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∆ θ
3.9 Koefisien matriks untuk persamaan di atas adalah :
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∆ −
∆ −
=
−
2 1
,
Pr 1
2 Y
Y V
a
k j
i j
3.10
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∆ +
∆ =
−
2 1
,
Pr 2
Y X
U b
k j
i j
3.11
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∆ −
∆ =
−
2 1
,
Pr 1
2 Y
Y V
c
k j
i j
3.12
k j
i k
j i
j
X U
d
, 1
1 ,
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∆ =
θ 3.13
Persamaan 3.9 berubah menjadi : +
+ =
3.14
k j
i j
a
1 ,
−
θ
k j
i j
b
,
θ
k j
i j
c
1 ,
+
θ
j
d Persamaan 3.14 disebut persamaan diskritisasi energi.
Dari persamaan 3.14 dapat dibuat Matriks Tridiagonal pada arah i, untuk j = 1,2, 3, 4, ..., ny
j = 1 dan j = ny adalah kondisi batas,
w i
θ θ =
1 ,
2 3
, 2
2 ,
2 1
, 2
d c
b a
i i
i
= +
+ θ
θ θ
3 4
, 3
3 ,
3 2
, 3
d c
b a
i i
i
= +
+ θ
θ θ
4 5
, 4
4 ,
4 3
, 4
d c
b a
i i
i
= +
+ θ
θ θ
. .
. 1
, 1
1 ,
1 2
, 1
− −
− −
− −
= +
+
ny ny
i ny
ny i
ny ny
i ny
d c
b a
θ θ
θ
,
=
ny i
θ Persamaan-persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks berikut ini :
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
=
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
− −
− −
−
. .
. .
. .
1 .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
... ...
... ...
1
1 4
3 2
, 1
, 4
, 3
, 2
, 1
,
1 1
1 4
4 4
3 3
3 2
2 2
ny w
ny i
ny i
i i
i i
ny ny
ny
d d
d d
c b
a c
b a
c b
a c
b a
θ
θ θ
θ θ
θ θ
Matriks di atas disebut Matriks Tridiagonal untuk persamaan energi.
3.3.2 Diskritisasi Persamaan Momentum