Diskritisasi Persamaan Energi Diskritisasi Persamaan Lapis Batas Dalam Bentuk Tak Berdimensi

Gambar 3.3 Grid untuk Derivasi Pendekatan Beda Hingga

3.3.1 Diskritisasi Persamaan Energi

Persamaan dasar energi : 2 2 y T y T v x T u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ α 3.1 Dengan mensubstitusikan variabel tak berdimensi, tiap suku dari persamaan di atas dapat diubah ke bentuk persamaan tak berdimensi sebagai berikut : • x T u ∂ ∂ = X U W T T w ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ θ υ 2 3.2 • y T v ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ 2 W T T w υ Y V ∂ ∂ θ 3.3 • 2 2 y T ∂ ∂ α = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ 2 W T T w υ 2 2 Pr 1 Y ∂ ∂ θ 3.4 Substitusi persamaan 3.2, 3.3 dan 3.4 ke persamaan 3.1, diperoleh : X U W T T w ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ θ υ 2 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ 2 W T T w υ Y V ∂ ∂ θ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ 2 W T T w υ 2 2 Pr 1 Y ∂ ∂ θ Persamaan di atas disederhanakan dengan mengeliminasi ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ 2 W T T w υ , menjadi : X U ∂ ∂ θ + Y V ∂ ∂ θ = 2 2 Pr 1 Y ∂ ∂ θ 3.5 Persamaan 3.5 disebut persamaan energi dalam bentuk tak berdimensi. Diskritisasi tiap suku persamaan di atas adalah sebagai berikut : • j i X U , ∂ ∂ θ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − − X U k j i k j i k j i , 1 , 1 , θ θ 3.6 i-1, j ∆y ∆y i, j-1 i, j i, j+1 ∆x • j i Y V , ∂ ∂ θ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − + − Y V k j i k j i k j i 2 1 , 1 , 1 , θ θ 3.7 • j i Y , 2 2 ∂ ∂ θ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + − − + 2 1 , , 1 , 2 Y k j i k j i k j i θ θ θ 3.8 Dengan menyusun ulang persamaan 3.6, 3.7 dan 3.8 identik dengan persamaan 3.5, diperoleh : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − − X U k j i k j i k j i , 1 , 1 , θ θ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − + − Y V k j i k j i k j i 2 1 , 1 , 1 , θ θ = Pr 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + − − + 2 1 , , 1 , 2 Y k j i k j i k j i θ θ θ Variabel yang sudah diketahui disusun disebelah kanan tanda =, dan variabel data yang belum diketahui diletakkan di sebelah kiri tanda =. Diperoleh persamaan baru : k j i k j i Y Y V 1 , 2 1 , Pr 1 2 − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ − θ + k j i k j i Y X U , 2 1 , Pr 2 θ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ∆ − + k j i k j i Y Y V 1 , 2 1 , Pr 1 2 + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ θ = k j i k j i X U , 1 1 , − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ θ 3.9 Koefisien matriks untuk persamaan di atas adalah : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ − = − 2 1 , Pr 1 2 Y Y V a k j i j 3.10 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ∆ = − 2 1 , Pr 2 Y X U b k j i j 3.11 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ = − 2 1 , Pr 1 2 Y Y V c k j i j 3.12 k j i k j i j X U d , 1 1 , − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ = θ 3.13 Persamaan 3.9 berubah menjadi : + + = 3.14 k j i j a 1 , − θ k j i j b , θ k j i j c 1 , + θ j d Persamaan 3.14 disebut persamaan diskritisasi energi. Dari persamaan 3.14 dapat dibuat Matriks Tridiagonal pada arah i, untuk j = 1,2, 3, 4, ..., ny j = 1 dan j = ny adalah kondisi batas, w i θ θ = 1 , 2 3 , 2 2 , 2 1 , 2 d c b a i i i = + + θ θ θ 3 4 , 3 3 , 3 2 , 3 d c b a i i i = + + θ θ θ 4 5 , 4 4 , 4 3 , 4 d c b a i i i = + + θ θ θ . . . 1 , 1 1 , 1 2 , 1 − − − − − − = + + ny ny i ny ny i ny ny i ny d c b a θ θ θ , = ny i θ Persamaan-persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks berikut ini : ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... 1 1 4 3 2 , 1 , 4 , 3 , 2 , 1 , 1 1 1 4 4 4 3 3 3 2 2 2 ny w ny i ny i i i i i ny ny ny d d d d c b a c b a c b a c b a θ θ θ θ θ θ θ Matriks di atas disebut Matriks Tridiagonal untuk persamaan energi.

3.3.2 Diskritisasi Persamaan Momentum