Pendekatan Beda Maju Orde Pertama Pendekatan Beda Mundur Orde Pertama Pendekatan Beda Tengah Orde Pertama Pendekatan Beda Tengah Orde Kedua

2.4 Metode Beda Hingga

Salah satu metode penyelesaian persamaan lapis batas adalah dengan metode beda hingga. Metode beda hingga merupakan suatu cara, selain metode elemen hingga, untuk menentukan penyelesaian numerik dari persamaan- persamaan diferensial parsial. Metode beda hingga didasarkan pada ekspansi deret Taylor, yaitu metode pendekatan agar sebuah persamaan diferensial parsial dapat diubah menjadi operasi aritmatika dan operasi logika yang dapat dibaca oleh komputer Hoffmann, 1989. Ekspansi deret Taylor menghasilkan pendekatan beda maju orde pertama, beda mundur orde pertama, beda tengah orde pertama dan beda tengah orde kedua.

2.4.1 Pendekatan Beda Maju Orde Pertama

Ekspansi deret Taylor untuk fx + ∆x pada x : ... 3 2 3 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ + = ∆ + x f x x f x x f x x f x x f n n n n x f n x x f ∂ ∂ ∆ + = ∑ ∞ =1 2.1 penyelesaian untuk x f ∂ ∂ diperoleh : ... 3 2 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ ∆ − ∂ ∂ ∆ − ∆ − ∆ + = ∂ ∂ x f x x f x x x f x x f x f x O x x f x x f x f ∆ + ∆ − ∆ + = ∂ ∂ atau bisa ditulis x O x f f x f i i i ∆ + ∆ − = ∂ ∂ +1 2.2 Persamaan di atas disebut dengan pendekatan beda maju orde pertama. 1 + i f i f 1 − i f + − x ∆ Gambar 2.2 Ilustrasi Pendekatan Beda Maju Orde Pertama

2.4.2 Pendekatan Beda Mundur Orde Pertama

Ekspansi deret Taylor untuk fx - ∆x pada x : ... 3 2 3 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ ∆ − ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ − = ∆ − x f x x f x x f x x f x x f 2.3 n n n n x f n x x f ∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ± + = ∑ ∞ =1 + untuk n genap - untuk n ganjil penyelesaian untuk x f ∂ ∂ diperoleh : x O x x x f x f x f ∆ + ∆ ∆ − − = ∂ ∂ atau bisa ditulis x O x f f x f i i i ∆ + ∆ − = ∂ ∂ −1 2.4 Persamaan di atas disebut pendekatan beda mundur orde pertama. 1 + i f i f 1 − i f + − x ∆ Gambar 2.3 Ilustrasi Pendekatan Beda Mundur Orde Pertama

2.4.3 Pendekatan Beda Tengah Orde Pertama

Dengan mengurangkan ekspansi deret Taylor untuk fx + ∆x persamaan 2.1 dengan ekspansi deret Taylor untuk fx - ∆x persamaan 2.3, diperoleh : ... 3 2 2 3 3 3 + ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ = ∆ − − ∆ + x f x x f x x x f x x f 2.5 penyelesaian untuk x f ∂ ∂ diperoleh : 2 2 x O x x x f x x f x f ∆ + ∆ ∆ − − ∆ + = ∂ ∂ atau bisa ditulis 2 1 2 x O x f f x f i i x i ∆ + ∆ − = ∂ ∂ − + 2.6 Persamaan di atas disebut pendekatan beda tengah orde pertama. 1 + i f i f 1 − i f + − x ∆ Gambar 2.4 Ilustrasi Pendekatan Beda Tengah Orde Pertama

2.4.4 Pendekatan Beda Tengah Orde Kedua

Pendekatan beda hingga untuk persamaan turunan orde yang lebih tinggi dapat ditentukan dengan menambahkan ekspansi deret Taylor pada fx. Dengan menambahkan persamaan 2.1 dan persamaan 2.3 didapat : .. . 4 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 + ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ + ∆ = ∆ − + ∆ + x f x x f x x x x f x x f . 2.7 penyelesaian untuk 2 2 x f ∂ ∂ diperoleh : 2 2 2 2 2 x O x x x f x f x x f x f ∆ + ∆ ∆ − + − ∆ + = ∂ ∂ atau bisa ditulis 2 2 1 1 2 2 2 x O x f f f x f i i i i ∆ + ∆ + − = ∂ ∂ − + 2.8 Persamaan di atas disebut Pendekatan Beda Tengah Orde Kedua. 1 + i f i f 1 − i f + − x ∆ Gambar 2.5 Ilustrasi Pendekatan Beda Tengah Orde Kedua

2.5 Persamaan Lapis Batas Pada Plat Datar