Alat dan Bahan Garis Besar Penelitian Kondisi Batas

BAB III PELAKSANAAN PENELITIAN

3.1 Alat dan Bahan

3.1.1 Alat a. Komputer pribadi dengan spesifikasi : - Prosesor AMD Sempron 2400+ - Memori DDR RAM 256 MB b. Perangkat lunak Microsoft Fortran PowerStation 4.0 c. Perangkat lunak Matlab 6.5.1 R13 d. Printer 3.1.2 Bahan Hasil diskritisasi persamaan kontinuitas, persamaan momentum dan persamaan energi dengan metode Beda Hingga dan persamaan koefisien perpindahan panas konveksi.

3.2 Garis Besar Penelitian

Penelitian yang dilakukan menggunakan metode studi pustaka dengan langkah pelaksanaan secara garis besar sebagai berikut : a. Mengumpulkan literatur berupa hasil-hasil penelitian terdahulu dan buku penunjang. b. Mempelajari literatur 1. Mempelajari penelitian-penelitian yang pernah dilakukan. 2. Mempelajari persamaan lapis batas yang digunakan. c. Merencanakan algoritma program 1. Membuat diskritisasi persamaan lapis batas dalam bentuk tak berdimensi Dimensionless Form. 2. Menyusun bagan alir program. d. Menulis bagan alir dalam bahasa program Fortran. e. Menjalankan program. f. Memperbaiki kesalahan dalam pemrograman 1. Kesalahan penulisan 2. Kesalahan algoritma g. Membuat visualisasi hasil program dengan perangkat lunak Matlab. h. Menyusun laporan. Diagram alir penelitian yang dilakukan adalah : ya tidak Mempelajari literatur Membuat diskritisasi persamaan lapis batas tak berdimensi : • Persamaan Energi • Persamaan Momentum • Persamaan Kontinuitas Membuat algoritma program Menulis bagan atur dalam bahasa Fortran Program benar Menjalankan program : • Distribusi Kecepatan • Distribusi Temperatur • Menghitung Koefisien Perpindahan Panas Membuat visualisasi : • Distribusi Kecepatan • Distribusi Suhu • Distribusi Koefisien Perpan A Mengumpulkan literatur Mulai Gambar 3.1 Diagram alir penelitian Gambar 3.1 lanjutan Menyusun Laporan A Selesai

3.3 Diskritisasi Persamaan Lapis Batas Dalam Bentuk Tak Berdimensi

Dimensionless Untuk menyederhanakan penyelesaian derivasi persamaan lapis batas, digunakan variabel referensi yang mengubah persamaan lapis batas menjadi persamaan lapis batas tak berdimensi dimensionless. Y X j = 1 j = ny . i = 1 . i = nx . y . x Gambar 3.2 Grid yang digunakan dalam analisa Variabel referensi tak berdimensi yang digunakan adalah sebagai berikut : • G L x X . = G L X x . . = X G L x ∂ = ∂ . . • W y Y = Y W y . = Y W y ∂ = ∂ Y W y 2 2 2 ∂ = ∂ • ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = LG W uW U υ 2 . . . W U G L u υ = U W G L u ∂ = ∂ 2 . . υ U W G L u 2 2 2 . . ∂ = ∂ υ • υ vW V = W V v . υ = V W v ∂ = ∂ υ • ∞ ∞ − − = T T T T w θ ∞ ∞ − = − T T T T w θ ∞ ∞ + − = T T T T w θ θ ∂ − = ∂ ∞ T T T w θ 2 2 ∂ − = ∂ ∞ T T T w • L W T T g G w ref . . . 2 4 υ β ∞ − = 4 2 . . W T T L G g w ref ∞ − = β υ • f ref T 1 = β • ∞ + = T T T w f 2 1 • ref β β β = • Pr υ α = Gambar 3.3 Grid untuk Derivasi Pendekatan Beda Hingga

3.3.1 Diskritisasi Persamaan Energi

Persamaan dasar energi : 2 2 y T y T v x T u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ α 3.1 Dengan mensubstitusikan variabel tak berdimensi, tiap suku dari persamaan di atas dapat diubah ke bentuk persamaan tak berdimensi sebagai berikut : • x T u ∂ ∂ = X U W T T w ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ θ υ 2 3.2 • y T v ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ 2 W T T w υ Y V ∂ ∂ θ 3.3 • 2 2 y T ∂ ∂ α = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ 2 W T T w υ 2 2 Pr 1 Y ∂ ∂ θ 3.4 Substitusi persamaan 3.2, 3.3 dan 3.4 ke persamaan 3.1, diperoleh : X U W T T w ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ θ υ 2 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ 2 W T T w υ Y V ∂ ∂ θ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ 2 W T T w υ 2 2 Pr 1 Y ∂ ∂ θ Persamaan di atas disederhanakan dengan mengeliminasi ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ 2 W T T w υ , menjadi : X U ∂ ∂ θ + Y V ∂ ∂ θ = 2 2 Pr 1 Y ∂ ∂ θ 3.5 Persamaan 3.5 disebut persamaan energi dalam bentuk tak berdimensi. Diskritisasi tiap suku persamaan di atas adalah sebagai berikut : • j i X U , ∂ ∂ θ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − − X U k j i k j i k j i , 1 , 1 , θ θ 3.6 i-1, j ∆y ∆y i, j-1 i, j i, j+1 ∆x • j i Y V , ∂ ∂ θ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − + − Y V k j i k j i k j i 2 1 , 1 , 1 , θ θ 3.7 • j i Y , 2 2 ∂ ∂ θ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + − − + 2 1 , , 1 , 2 Y k j i k j i k j i θ θ θ 3.8 Dengan menyusun ulang persamaan 3.6, 3.7 dan 3.8 identik dengan persamaan 3.5, diperoleh : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − − X U k j i k j i k j i , 1 , 1 , θ θ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − + − Y V k j i k j i k j i 2 1 , 1 , 1 , θ θ = Pr 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + − − + 2 1 , , 1 , 2 Y k j i k j i k j i θ θ θ Variabel yang sudah diketahui disusun disebelah kanan tanda =, dan variabel data yang belum diketahui diletakkan di sebelah kiri tanda =. Diperoleh persamaan baru : k j i k j i Y Y V 1 , 2 1 , Pr 1 2 − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ − θ + k j i k j i Y X U , 2 1 , Pr 2 θ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ∆ − + k j i k j i Y Y V 1 , 2 1 , Pr 1 2 + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ θ = k j i k j i X U , 1 1 , − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ θ 3.9 Koefisien matriks untuk persamaan di atas adalah : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ − = − 2 1 , Pr 1 2 Y Y V a k j i j 3.10 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ∆ = − 2 1 , Pr 2 Y X U b k j i j 3.11 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ = − 2 1 , Pr 1 2 Y Y V c k j i j 3.12 k j i k j i j X U d , 1 1 , − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ = θ 3.13 Persamaan 3.9 berubah menjadi : + + = 3.14 k j i j a 1 , − θ k j i j b , θ k j i j c 1 , + θ j d Persamaan 3.14 disebut persamaan diskritisasi energi. Dari persamaan 3.14 dapat dibuat Matriks Tridiagonal pada arah i, untuk j = 1,2, 3, 4, ..., ny j = 1 dan j = ny adalah kondisi batas, w i θ θ = 1 , 2 3 , 2 2 , 2 1 , 2 d c b a i i i = + + θ θ θ 3 4 , 3 3 , 3 2 , 3 d c b a i i i = + + θ θ θ 4 5 , 4 4 , 4 3 , 4 d c b a i i i = + + θ θ θ . . . 1 , 1 1 , 1 2 , 1 − − − − − − = + + ny ny i ny ny i ny ny i ny d c b a θ θ θ , = ny i θ Persamaan-persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks berikut ini : ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... 1 1 4 3 2 , 1 , 4 , 3 , 2 , 1 , 1 1 1 4 4 4 3 3 3 2 2 2 ny w ny i ny i i i i i ny ny ny d d d d c b a c b a c b a c b a θ θ θ θ θ θ θ Matriks di atas disebut Matriks Tridiagonal untuk persamaan energi.

3.3.2 Diskritisasi Persamaan Momentum

Persamaan dasar momentum : 2 2 y u T T g y u v x u u ∂ ∂ + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∞ υ β 3.15 Dengan mensubstitusikan variabel tak berdimensi, tiap suku dari persamaan di atas dapat diubah kedalam bentuk persamaan tak berdimensi sebagai berikut : • x u u ∂ ∂ = X U U W G L ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 4 2 . . υ 3.16 • y u v ∂ ∂ = Y U V W G L ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 4 2 . . υ 3.17 • g . β = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∞ 4 2 . . W T T G L w ref υ β β 3.18 • = ∞ − T T ∞ − T T w θ 3.19 • 2 2 y u ∂ ∂ υ = 2 2 4 2 . . Y U W G L ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ υ 3.20 Substitusi persamaan 3.16, 3.17, 3.18, 3.19 dan 3.20 ke persamaan 3.15, diperoleh : X U U W G L ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 4 2 . . υ + Y U V W G L ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 4 2 . . υ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∞ 4 2 . . W T T G L w ref υ β β ∞ − T T w θ + 2 2 4 2 . . Y U W G L ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ υ Persamaan di atas disederhanakan dengan mengeliminasi ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 4 2 . . W G L υ menjadi : X U U ∂ ∂ + Y U V ∂ ∂ = + θβ 2 2 Y U ∂ ∂ 3.21 Persamaan 3.21 disebut persamaan momentum dalam bentuk tak berdimensi. Dari persamaan 3.21 dapat dibuat koefisien Matriks tridiagonal berikut ini : • j i X U U , ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − − X U U U k j i k j i k j i , 1 , 1 , 3.22 • j i Y U V , ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − + − Y U U V k j i k j i k j i 2 1 , 1 , 1 , 3.23 • j i Y U , 2 2 ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + − − + 2 1 , , 1 , 2 Y U U U k j i k j i k j i 3.24 Dengan menyusun ulang persamaan 3.22, 3.23 dan 3.24 identik dengan persamaan 3.21, diperoleh : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − − X U U U k j i k j i k j i , 1 , 1 , + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − + − Y U U V k j i k j i k j i 2 1 , 1 , 1 , = + , β θ j i ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + − − + 2 1 , , 1 , 2 Y U U U k j i k j i k j i Dengan cara yang sama dengan persamaan energi, didapat : k j i k j i U Y Y V 1 , 2 1 , 1 2 − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ − k j i k j i U Y X U , 2 1 , 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ∆ + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ + + − k j i k j i U Y Y V 1 , 2 1 , 1 2 + , β θ j i k j i k j i U X U , 1 1 , − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ 3.25 Koefisien matriksnya adalah : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ − = − 2 1 , 1 2 Y Y V a k j i j 3.26 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ∆ = − 2 1 , 2 Y X U b k j i j 3.27 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ = − 2 1 , 1 2 Y Y V c k j i j 3.28 k j i k j i j i j U X U d , 1 1 , , − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + = β θ 3.29 Sehingga persamaan 3.25 menjadi : 3.30 j k j i j k j i j k j i j d U c U b U a = + + + − 1 , , 1 , Persamaan 3.30 disebut persamaan diskritisasi momentum. Dari persamaan 3.30 dapat dibuat Matriks Tridiagonal pada arah i, untuk j = 1,2, 3, 4, ..., ny j = 1 dan j = ny merupakan kondisi batas, 1 , = i U 2 3 , 2 2 , 2 1 , 2 d U c U b U a i i i = + + 3 4 , 3 3 , 3 2 , 3 d U c U b U a i i i = + + 4 5 , 4 4 , 4 3 , 4 d U c U b U a i i i = + + . . . 1 , 1 1 , 1 2 , 1 − − − − − − = + + ny ny i ny ny i ny ny i ny d U c U b U a ∞ = U U ny i, Persamaan-persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut : ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∞ − − − − − U d d d d U U U U U U c b a c b a c b a c b a ny ny i ny i i i i i ny ny ny 1 4 3 2 , 1 , 4 , 3 , 2 , 1 , 1 1 1 4 4 4 3 3 3 2 2 2 . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... 1 Matriks Tridiagonal untuk persamaan momentum.

3.3.3 Diskritisasi Persamaan Kontinuitas

Untuk mendiskritisasi persamaan kontinuitas digunakan titik-titik nodal pada gambar 3.4. Persamaan kontinuitas di diskritisasi pada midpoint bukan pada titik nodal, dinotasikan dengan i,j- 1 2 , yang terletak pada baris ke- i dan berjarak setengah dari jarak antara j - 1 dengan j. i, j-1 i, j- 12 i, j Gambar 3.4 Nodal untuk Diskritisasi Persamaan Kontinuitas Persamaan dasar kontinuitas : = ∂ ∂ + ∂ ∂ y v x u 3.31 Dengan mensubstitusikan variabel tak berdimensi, tiap suku dari persamaan di atas dapat diubah kedalam bentuk persamaan tak berdimensi sebagai berikut : • x u ∂ ∂ = X U W ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 υ 3.32 • y v ∂ ∂ = Y V W ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 υ 3.33 Substitusi persamaan 3.32 dan 3.33 ke persamaan 3.31, diperoleh : i-1, j-1 i-1, j ∆y ∆x X U W ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 υ + Y V W ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 υ = 0 Persamaan di atas disederhanakan dengan mengeliminasi ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 W υ menjadi : X U ∂ ∂ + Y V ∂ ∂ = 0 3.34 Persamaan 3.34 disebut persamaan kontinuitas dalam bentuk tak berdimensi. Dari persamaan 3.34 dapat dibuat koefisien Matriks tridiagonal berikut ini : • Diasumsikan derivatif x dititik i,j- 12 sama dengan rata-rata dari derivatif dititik i,j dan i,j-1, yaitu : ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − − 1 , , 2 1 , 2 1 j i j i j i X U X U X U dimana, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∆ − = ∂ ∂ − X U U X U j i j i j i , 1 , , ; ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∆ − = ∂ ∂ − − − − X U U X U j i j i j i 1 , 1 1 , 1 , Sehingga, ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ − + ∆ − = ∂ ∂ − − − − − X U U X U U X U j i j i j i j i j i 1 , 1 1 , , 1 , 2 1 , 2 1 3.35 • Derivatif y menggunakan pendekatan beda tengah, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∆ − = ∂ ∂ − − Y V V Y V j i j i j i 1 , , 2 1 , 3.36 Dengan menyusun ulang persamaan 3.35 dan 3.36 identik dengan persamaan 3.34, diperoleh : ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − Y V V j i j i 1 , , = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ − + ∆ − − − − − − X U U X U U j i j i j i j i 1 , 1 1 , , 1 , 2 1 1 , 1 1 , , 1 , 1 , , 2 − − − − − − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ ∆ − = j i j i j i j i j i j i U U U U X Y V V 3.37 Persamaan 3.37 adalah persamaan kontinuitas hasil diskritisasi yang digunakan dalam penulisan program.

3.4 Kondisi Batas

Kondisi batas yang digunakan pada penelitian ini adalah daerah pada lapis batas aliran laminar konveksi alami pada plat datar vertikal seperti gambar 3.2 : y = 0 . x = 0 . y . x y U U = = 1 U = = V = ∞ Gambar 3.5 Kondisi Batas • Untuk Y = 0, 1 = = = θ V U • Untuk , ∞ → Y → → θ U • Untuk X = 0, = = θ U Kondisi batas pada Metode Beda Hingga digunakan untuk modifikasi koefisien matriks persamaan lapis batas, yaitu persamaan energi, momentum dan persamaan kontinuitas.

3.5 Perhitungan Koefisien Perpindahan Panas Konveksi Alami