Diskritisasi Persamaan Momentum Diskritisasi Persamaan Lapis Batas Dalam Bentuk Tak Berdimensi

w i θ θ = 1 , 2 3 , 2 2 , 2 1 , 2 d c b a i i i = + + θ θ θ 3 4 , 3 3 , 3 2 , 3 d c b a i i i = + + θ θ θ 4 5 , 4 4 , 4 3 , 4 d c b a i i i = + + θ θ θ . . . 1 , 1 1 , 1 2 , 1 − − − − − − = + + ny ny i ny ny i ny ny i ny d c b a θ θ θ , = ny i θ Persamaan-persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks berikut ini : ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... 1 1 4 3 2 , 1 , 4 , 3 , 2 , 1 , 1 1 1 4 4 4 3 3 3 2 2 2 ny w ny i ny i i i i i ny ny ny d d d d c b a c b a c b a c b a θ θ θ θ θ θ θ Matriks di atas disebut Matriks Tridiagonal untuk persamaan energi.

3.3.2 Diskritisasi Persamaan Momentum

Persamaan dasar momentum : 2 2 y u T T g y u v x u u ∂ ∂ + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∞ υ β 3.15 Dengan mensubstitusikan variabel tak berdimensi, tiap suku dari persamaan di atas dapat diubah kedalam bentuk persamaan tak berdimensi sebagai berikut : • x u u ∂ ∂ = X U U W G L ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 4 2 . . υ 3.16 • y u v ∂ ∂ = Y U V W G L ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 4 2 . . υ 3.17 • g . β = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∞ 4 2 . . W T T G L w ref υ β β 3.18 • = ∞ − T T ∞ − T T w θ 3.19 • 2 2 y u ∂ ∂ υ = 2 2 4 2 . . Y U W G L ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ υ 3.20 Substitusi persamaan 3.16, 3.17, 3.18, 3.19 dan 3.20 ke persamaan 3.15, diperoleh : X U U W G L ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 4 2 . . υ + Y U V W G L ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 4 2 . . υ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∞ 4 2 . . W T T G L w ref υ β β ∞ − T T w θ + 2 2 4 2 . . Y U W G L ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ υ Persamaan di atas disederhanakan dengan mengeliminasi ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 4 2 . . W G L υ menjadi : X U U ∂ ∂ + Y U V ∂ ∂ = + θβ 2 2 Y U ∂ ∂ 3.21 Persamaan 3.21 disebut persamaan momentum dalam bentuk tak berdimensi. Dari persamaan 3.21 dapat dibuat koefisien Matriks tridiagonal berikut ini : • j i X U U , ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − − X U U U k j i k j i k j i , 1 , 1 , 3.22 • j i Y U V , ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − + − Y U U V k j i k j i k j i 2 1 , 1 , 1 , 3.23 • j i Y U , 2 2 ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + − − + 2 1 , , 1 , 2 Y U U U k j i k j i k j i 3.24 Dengan menyusun ulang persamaan 3.22, 3.23 dan 3.24 identik dengan persamaan 3.21, diperoleh : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − − X U U U k j i k j i k j i , 1 , 1 , + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − + − Y U U V k j i k j i k j i 2 1 , 1 , 1 , = + , β θ j i ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + − − + 2 1 , , 1 , 2 Y U U U k j i k j i k j i Dengan cara yang sama dengan persamaan energi, didapat : k j i k j i U Y Y V 1 , 2 1 , 1 2 − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ − k j i k j i U Y X U , 2 1 , 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ∆ + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ + + − k j i k j i U Y Y V 1 , 2 1 , 1 2 + , β θ j i k j i k j i U X U , 1 1 , − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ 3.25 Koefisien matriksnya adalah : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ − = − 2 1 , 1 2 Y Y V a k j i j 3.26 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ∆ = − 2 1 , 2 Y X U b k j i j 3.27 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − ∆ = − 2 1 , 1 2 Y Y V c k j i j 3.28 k j i k j i j i j U X U d , 1 1 , , − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + = β θ 3.29 Sehingga persamaan 3.25 menjadi : 3.30 j k j i j k j i j k j i j d U c U b U a = + + + − 1 , , 1 , Persamaan 3.30 disebut persamaan diskritisasi momentum. Dari persamaan 3.30 dapat dibuat Matriks Tridiagonal pada arah i, untuk j = 1,2, 3, 4, ..., ny j = 1 dan j = ny merupakan kondisi batas, 1 , = i U 2 3 , 2 2 , 2 1 , 2 d U c U b U a i i i = + + 3 4 , 3 3 , 3 2 , 3 d U c U b U a i i i = + + 4 5 , 4 4 , 4 3 , 4 d U c U b U a i i i = + + . . . 1 , 1 1 , 1 2 , 1 − − − − − − = + + ny ny i ny ny i ny ny i ny d U c U b U a ∞ = U U ny i, Persamaan-persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut : ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∞ − − − − − U d d d d U U U U U U c b a c b a c b a c b a ny ny i ny i i i i i ny ny ny 1 4 3 2 , 1 , 4 , 3 , 2 , 1 , 1 1 1 4 4 4 3 3 3 2 2 2 . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... 1 Matriks Tridiagonal untuk persamaan momentum.

3.3.3 Diskritisasi Persamaan Kontinuitas