Jika untuk setiap bilangan
ada bilangan
sehingga
a
x apabila
L x
f
Secara singkat ditulis
a x
bila L
x f
L x
f
a x
lim 2 Misal fx suatu fungsi yang didefinisikan disetiap titik pada d,a. Limit
x f
untuk x mendekati a dari kiri adalah L,
R L
R a
,
L x
f
a x
lim
Jika untuk setiap bilangan
ada bilangan
sehingga
a x
apabila L
x f
Secara singkat ditulis lim
a x
bila L
x f
L x
f
a x
2.6 Limit di Tak Hingga
Perhatikan fungsi
1 2
2 2
x x
x f
x f
mempunyai daerah definisi semua bilangan real
R
Nilai
x f
mendekati 2 apabila peubah x bertambah besar atau bertambah kecil. Hal ini berarti
x f
dapat dibuat sedekat mungkin ke 2. Dengan kata lain jarak
x f
dengan 2 dapat dibuat lebih kecil dari bilangan positip sebarang. Dengan cara mengambil x cukup
besar lebih besar dari bilangan positip tertentu, atau dengan cara mengambil x cukup kecil lebih kecil dari bilangan negatip tertentu.
Dalam kasus x mengambil nilai cukup besar, kita menyatakan dengan lambang
2 1
2 lim
lim
2 2
x x
x f
x x
, dan
2 1
2 lim
lim
2 2
x x
x f
x x
Kedua bentuk di atas dinamakan limit di tak hingga dan didefiniskan sebagai berikut:
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo-
66
1 Misal
x f
didefinisikan disetiap titik pada a,+
. Jika limit
x f
untuk x menuju positip tak hingga adalah L dan ditulis
L x
f
x
lim Jika untuk setiap bilangan
ada bilangan P 0 sehingga
P x
apabila L
x f
Secara singkat ditulis
P x
bila L
x f
P L
x f
x
lim
2 Misal
x f
didefinisikan disetiap titik pada -
,b. Jika limit
x f
untuk x menuju negatip tak hingga adalah L dan ditulis
L x
f
x
lim Jika untuk setiap bilangan
ada bilangan N 0 sehingga
N x
apabila L
x f
Secara singkat ditulis
N x
bila L
x f
N L
x f
x
lim
2.7 Limit Tak Hingga
Dalam definisi limit fungsi di satu titik, fungsi
x f
terdefinisi pada selang terbuka yang memuat a, kecuali mungkin di a itu sendiri. Tetapi ada kalanya fungsi
x f
akan membesar tanpa batas atau mengecil tanpa batas apabila x mendekati a. Sebelum kita mendefinisikan limit tak hingga, perhatikan terlebih dahulu fungsi-
fungsi berikut. a
2
3 1
x x
f
b
2
3 1
x
x g
Fungsi
x f
dan
x g
di atas terdefinisi pada selang buka yang memuat 3 kecuali di 3 sendiri. Bagaimana nilai
x f
dan
x g
apabila x mendekati 3? Nilai
x f
akan membesar tanpa batas, artinya nilai
x f
dapat dibuat lebih besar dari bilangan positip manapun, asalkan nilai x cukup dekat dengan 3 dan bukan x = 3.
Sebaliknya nilai
x g
mengecil tanpa batas, artinya nilai
x g
dapat dibuat lebih
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo-
67
kecil dari bilangan negatip manapun apabila x cukup dekat dengan 3 dan bukan x = 3. Hal demikian di atas dinamakan dengan limit tak hingga dan ditulis dengan
a
2 3
3
3 1
lim lim
x x
f
x x
b
2 3
3
3 1
lim lim
x x
g
x x
Limit tak hingga didefinisikan sebagai berikut: 1 Misalkan
x f
didefinisikan di setiap titik pada selang buka I = a,b yang memuat a kecuali mungkin di a sendiri. Limit
x f
untuk x mendekati a adalah positip tak hingga, dan ditulis
lim x
f
a x
Jika untuk setiap bilangan
P
ada bilangan
sehingga
x
f
apabila
a x
. Secara singkat ditulis
a x
bila P
x f
P x
f
a x
lim
2 Misalkan
x f
didefinisikan di setipa titik pada selang buka I = a,b yang memuat a kecuali mungkin di a sendiri. Limit
x f
untuk x mendekati a adalah negatif tak hingga, dan ditulis
lim x
f
a x
Jika untuk setiap bilangan
P
ada bilangan
sehingga
N x
f
apabila
a x
. Secara singkat ditulis
a x
bila N
x f
N x
f
a x
lim
Catatan 1 Teorema limit di satu titik berlaku pada limit di tak hingga dan limit tak hingga.
2 Secara umum limit tak hingga bernilai tak hingga, sedang limit di tak hingga dapat bernilai tak hingga atau berhingga.
2.8 Bentuk Tak Tentu
