2.2.5 Persamaan Pengatur
Untuk fluida yang tidak mampu berputar irrotional, tidak mampu mampat incompressible dan kecepatan ada, maka harus memenuhi persamaan:
∇ x u = 0 2.8
di mana ∇ =
∂ ∂x
i +
∂ ∂y
j +
∂ ∂z
k 2.9
�� = ui + vj + wk 2.10
Jika
��
= ∇φ , maka
∇ x∇φ = 0 atau dapat ditulis seperti: ∇
2
φ = 0 Sehingga:
∇
2
φ =
∂
2
φ ∂x
2
+
∂
2
φ ∂y
2
+
∂
2
φ ∂z
2
= 0 2.11
Untuk aliran dua dimesi 2D dalam bidang x-z persamaan menjadi: ∇
2
φ =
∂
2
φ ∂x
2
+
∂
2
φ ∂z
2
= 0 2.12
Persamaan 2.11 atau 2.12 disebut dengan persamaan Laplace.
2.2.6 Persamaan Gelombang Linear
Persamaan gelombang linear atau gelombang amplitudo kecil dapat diturunkan dari persamaan Laplace yang dua dimensi 2D atau persamaan 2.12
dengan kondisi batas dari persamaan tersebut adalah: w =
�φ ��
= 0 di y = -h
η = −
1 �
�φ ��
�
y=0
2.13
Persamaan tersebut diselesaikan untuk mendapatkan nilai potensial kecepatan φ.
Berdasarkan nilai φ yang diperoleh tersebut, sifat-sifat gelombang seperti
fluktuasi muka air, kecepatan rambat gelombang, kecepatan partikel dan sebagainya dapat diturunkan.
Penyelesaian persamaan diferensial tersebut memberi hasil berikut ini: φ =
�� 2
ω ���ℎ �ℎ+�
���ℎ �ℎ
sin kx- ωt
2.14 di mana
φ = potensial kecepatan. H
= tinggi gelombang . g
= percepatan gravitasi. ω = frekuensi sudut gelombang.
k = angka gelombang.
h = kedalaman laut.
z = koordinat vertikal.
x = koordinat horizontal.
t = waktu.
Komponen vertikal kecepatan partikel di permukaan air yaitu w, w = ∂ η∂t
dan nilai η diberikan pada persamaan 2.13 sehingga:
w = ∂η = −
1 �
�φ ��
= −
1 �
�
2
φ ��
2
2.15 karena v =
∂φ ∂t, maka persamaan tersebut dapat ditulis:
�φ ��
=
−
1 �
�
2
φ ��
2
2.16 Persamaan 2.10 disubsitusikan ke persamaan 2.16, maka akan diperoleh
persamaan: ω
2
= gk tanh kh 2.17
Persamaan 2.13 disebut dengan persamaan dispersi atau hubungan dispersi dispersion relation yang memberikan hubungan yang mungkin antara angka
gelombang k, frekuensi gelombang ω dan kedalaman air h.
Jika persamaan dispersi 2.17 dibagi dengan k
2
diperoleh:
ω
2
�
2
=
� �
���ℎ �ℎ 2.18
Karena ω
= 2π T dan k = 2π L, maka:
ω �
=
2 π T
2 π L
ω �
=
L T
= C Sehingga persamaan 2.18 dapat ditulis menjadi:
C
2
=
� �
���ℎ �ℎ 2.19
Subsitusikan C = LT dan k = 2πk ke persamaan 2.19 diperoleh: C
2
= �
� �
�
2
=
�� 2π
���ℎ
2π ℎ
�
2.20 atau:
L =
��
2
2π
���ℎ
2π ℎ
�
2.21
Gambar 2.6. Kedalaman relatif dan asimtot-asimtot terhadap fungsi hiperbolik Dean dan Dalrympel, 2000
2.2.7 Klasifikasi Gelombang
Kategori