Keliling, Luas dan Volume [5, 8, 14]

 Lalu FPB bisa dicari dari himpunan persekutan antara dua bilangan tersebut yang nilainya paling besar, yaitu 4 Cara faktorisasi Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:  Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan: 147 189 231 \ \ \ 3 49 3 63 3 77 \ \ \ 7 7 7 9 7 11 \ 3 3  Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktor-faktornya: Faktor 147 = 3 1 x 7 2 Faktor 189 = 3 3 x 7 1 Faktor 231 = 3 1 x 7 1 x 11 1  Ambil faktor-faktor yang bersekutu sama dari ketiga faktor tersebut, dalam hal ini 3 dan 7.  Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini 3 1 x 7 1 = 21.  Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 21. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231. 2.8. Keliling, Luas dan Volume [5, 8, 14] 4 Keliling adalah jumlah total dari semua sisi dari suatu bidang geometri. 4 Teori matematika ini ditujukan untuk pembaca dengan tingkat pendidikan minimal SMU atau sederajat Luas, luasan, atau area adalah besaran yang menyatakan besaran suatu bagian permukaan dua dimensi yang dibatasi dengan suatu bidang, luas dapat digambarkan seperti Gambar 2.6. Gambar 2.6. Gambar Luas Persegi yang Dibentuk Dari Banyak Kotak-Kotak Kecil Misal pada Gambar 2.6, luas dari persegi panjang adalah bagian yang berwarna abu-abu, kemudian persegi panjang tersebut dibagi menjadi kotak- kotak kecil yang ukurannya sama besar. 1 buah kotak kecil yang berwarna abu-abu memiliki luas 1 satuan persegi, maka luas dari bidang persegi panjang yang berwarna abu-abu adalah 70 satuan persegi. Luas tersebut didapat dengan menjumlahkan semua kotak-kotak kecil yang berwarna abu- abu. Volume atau bisa juga disebut kapasitas adalah penghitungan seberapa banyak atau besar sebuah ruang yang bisa ditempati dalam suatu objek. Objek itu bisa berupa benda yang beraturan ataupun benda yang tidak beraturan. Benda yang beraturan misalnya kubus, balok, silinder, limas, kerucut, dan bola. Benda yang tidak beraturan misalnya batu yang ditemukan di jalan. RUMUS-RUMUS Segitiga : Gambar 2.7. Gambar Serta Rumus Luas dan Keliling Segitiga Luas segitiga adalah bagian dari segitiga yang diarsir diatas, dimana a adalah alas dari segitiga, dan t adalah tinggi dari segitiga. Luas = ½ x alas x tinggi = ½ x a x t Keliling = sisi AB + sisi BC + sisi CA Gambar 2.8. Gambar Cara Mencari Rumus Segitiga Rumus luas segitiga dapat digambarkan dengan langkah pada Gambar 2.8. Dimana segitiga dipotong searah dengan garis CD. Sehingga menjadi segitiga BCD dan ACD. Kemudian segitiga itu digabung kembali sehingga membentuk sebuah persegi dengan AB = ½ dari alas segitiga ABC. Dan BC adalah tinggi dari segitiga ABC Persegi panjang dan persegi: RUMUS: Gambar 2.9. Gambar Serta Rumus Luas dan Keliling Persegi Luas persegi panjang adalah bagian dari persegi panjang yang diarsir pada Gambar 2.9, dimana p adalah panjang dari persegi panjang, dan l adalah lebar dari persegi panjang. Gambar 2.10. Gambar Serta Rumus Luas dan Keliling Persegi Panjang Luas = panjang x lebar = p x l Keliling = panjang + lebar + panjang + lebar = 2 panjang + 2 lebar = 2 p + l Panjang: AB = BC = CD = DA Rumus: Luas = sisi x sisi Keliling = sisi + sisi + sisi + sisi = 4 x sisi Panjang : AB = CD Lebar : AD = BC Gambar 2.11. Gambar Langkah Mencari Rumus Luas Persegi Rumus luas persegi dan persegi panjang bisa dikatakan mirip. Apabila persegi atau persegi panjang dibagi dengan kotak-kotak kecil yang ukurannya sama,yaitu 1 satuan persegi, maka luas permukaan persegi dan persegi panjang tersebut adalah jumlah kotak kecil yang membentuk persegi atau persegi panjang tersebut. Untuk memudahkan menghitung luas persegi panjang atau persegi, maka dibuatlah rumus untuk menghitung luasnya. Yaitu luas sama dengan panjang dikalikan dengan lebar. Jajaran genjang: Gambar 2.12. Gambar Jajaran Genjang Serta Rumus Luas dan Kelilingnya Luas jajaran genjang adalah bagian dari jajaran genjang yang diarsir pada gambar 2.12, dimana p adalah alas dari jajaran genjang, dan t adalah tinggi dari jajaran genjang. Luas = alas x tinggi → alas = p Keliling = 2 p + l Gambar 2.13. Gambar Langkah Mencari Rumus Luas Jajaran Genjang Rumus untuk mencari luas jajaran genjang juga mirip dengan rumus mencari segitiga, dimana jajaran genjang ABCD pertama-tama dibagi menjadi 2 buah bidang yang terpisah sesuai dengan garis DE sehingga menjadi bidang BCDE dan ADE. Kemudian 2 bidang yang terpisah tersebut digabung kembali menjadi persegi ABCD dengan panjang AB sama dengan alas jajaran genjang ABCD dan BC sama dengan tinggi jajaran genjang ABCD. Sehingga rumus luas jajaran genjang adalah alas dikalikan dengan tinggi. Selain dengan merubah jajaran genjang menjadi sebuah persegi, luas jajaran genjang juga bisa dicari dengan memotong jajaran genjang menjadi 2 buah segitiga seperti pada gambar diatas. Kemudian luas jajaran genjang bisa dicari dengan menjumlahkan luas dari masing-masing segitiga. Layang-layang dan belah ketupat: Gambar 2.14. Gambar Layang-Layang dan Belah Ketupat Serta Rumus Luas dan Kelilingnya AB = BC = CD = DA Luas = ½ x diagonal 1 x diagonal 2 = ½ x AC x BD Keliling = AB + BC + CD + DA = 4 x sisi AD = DC AB = BC Luas = ½ x diagonal 1 x diagonal 2 = ½ x AC x BD Keliling = AB + BC + CD + DA Luas layang-layang dan belah ketupat adalah bagian dari layang-layang dan belah ketupat yang diarsir pada Gambar 2.14. Asal dari rumus luas layang-layang dan belah ketupat dapat dicari dengan cara, layang-layang dan belah ketupat pertama-tama dibagi menjadi bidang- bidang kecil terlebih dahulu sebelum kemudian dirangkai kembali menjadi bidang yang lebih mudah untuk dihitung. Layang-layang dan belah ketupat bisa dihitung dengan mudah dengan membaginya terlebih dahulu menjadi 4 buah segitiga sesuai dengan garis diagonal dari layang-layang dan belah ketupat. Atau pada Gambar 2.14 diatas adalah garis AC dan BD. Baru kemudian 4 buah bagian tersebut dirangkai kembali menjadi sebuah persegi. Dari cara diatas didapatkanlah rumus luas layang-layang dan belah ketupat yaitu ½ dikalikan diameter horisontal dan diameter vertikal dari layang-layang dan belah ketupat Lingkaran: Gambar 2.15. Gambar Lingkaran Serta Rumus Luas dan Kelilingnya D = diameter r = jari-jari D = 2r Luas = π x r² = 3,14 x r² Keliling = 2 x π x r = 2 x 3,14 x r π = 3,14 Luas lingkaran adalah bagian dari lingkaran yang diarsir Gambar 2.15, dimana r adalah jari- jari dari lingkaran dan π adalah 227 atau 3,14. Gambar 2.16. Langkah-Langkah Mencari Rumus Luas Lingkaran Rumus luas lingkaran didapatkan dengan cara memotong lingkaran menjadi banyak bagian dan menyusunnya kembali sehingga memiliki bentuk mendekati persegi. Dari bentuk itu didapatlah rumus luas lingkaran, dimana lebarnya adalah jari-jari lingkaran, dan panjangnya adalah 3,14 x jari-jari lingkaran. Sehingga rumus luas lingkaran adalah: L = 3,14 x jari-jari x jari-jari Nilai 3,14 didapat dengan mengukur keliling lingkaran yang memiliki jari-jari 1 satuan Trapesium: Gambar 2.17. Gambar Trapesium Serta Rumus Luasnya Luas trapesium adalah bagian dari trapesium yang diarsir pada Gambar 2.17, dimana AB dan CD adalah rusuk yang sejajar dari trapesium dan t adalah tinggi dari trapesium. Gambar 2.18. Langkah-Langkah Mencari Rumus Luas Trapesium Keliling = AB + BC + CD + DA Rumus luas trapesium juga bisa dicari dengan memisah-misahkannya terlebih dahulu sebelum kemudian merangkainya kembali menjadi bidang yang lebih mudah. Misalnya saja trapesium ABCD dibagi sesuai garis DE menjadi bidang BCDE dan ADE. Kemudian bidang tersebut digabung lagi menjadi persegi ABCD, dimana AB persegi sama dengan AB+CD trapesium 2 . Dan BC persegi sama dengan tinggi dari trapesium. Selain dengan memotong trapesium menjadi segitiga dan persegi, luas trapesium juga dapat dicari dengan memotongnya menjadi jajaran genjang dan segitiga, kemudian luas dari trapesium tersebut adalah jumlah dari luas jajaran genjang dan segitiga. Volume kubus, balok, dan tabung: Gambar 2.19. Gambar Volume Kubus, Balok, dan Tabung Volume kubus, balok, dan tabung adalah hasil kali dari luas alas dengan tinggi. Bagian yang diasir dari kubus, balok, dan tabung adalah luas alas dari kubus, balok, dan tabung. Dan t adalah tinggi dari kubus, balok, dan tabung Luas kubus, balok, dan tabung adalah jumlah dari luas seluruh permukaan bidang tersebut, misalnya saja untuk luas kubus. Kubus terbentuk dari 6 buah persegi yang memiliki ukuran yang sama besar, sehingga luas dari kubus tersebut adalah jumlah dari luas semua persegi yang ada. 2.9. Pengukuran Sudut [5]