Institutional Repository | Satya Wacana Christian University: Aplikasi Pembelajaran Matematika dengan Menggunakan Microsoft XNA T1 612010706 BAB II

6

Microsoft XNA adalah sebuah program untuk pengembangan game yang pertama kali dirilis pada tahun 2004. Microsoft XNA terus berkembang, hingga saat ini telah muncul versi 4.00. Perkembangan aplikasi ini memudahkan pengembang game untuk membuat sebuah game.

Microsoft XNA mengatur runtime environment yang biasa digunakan untuk komputer game development dan management. Saat ini Microsoft XNA banyak digunakan untuk membuat game yang bisa dimainkan dengan menggunakan Xbox 360™ and Windows Vista™.

2.1. XNA Framework [1]

XNA Framework dibuat dengan berdasarkan pada implementasi asli .NET Framework. 2.0 Compact untuk pengembangan Xbox 360 dan NET Framework. 2.0 pada Windows. Framework ini mencakup serangkaian luas perpustakaan kelas, khusus untuk pengembangan game, untuk mempromosikan penggunaan kembali kode maksimum di seluruh platform target. Framework ini berjalan pada versi

Common Language Runtime yang dioptimalkan untuk game untuk menyediakan lingkungan eksekusi yang maksimal. Common Language Runtime tersedia untuk Windows XP, Windows Vista, Windows 7, Windows Phone 7 dan Xbox 360. Karena XNA adalah _{permainan yang ditulis untuk runtime, maka XNA dapat berjalan pada} setiap platform yang mendukung XNA Framework dengan modifikasi minimal atau tidak ada.

XNA Framework merangkum rincian tingkat rendah teknologi yang terlibat dalam koding game, memastikan bahwa kerangka itu sendiri mengurus perbedaan antara platform ketika permainan dimainkan dari satu platform yang kompatibel ke

platform yang lain, dan dengan demikian memungkinkan developer game untuk lebih fokus pada konten dan pengalaman gaming. XNA Framework terintegrasi dengan sejumlah alat, seperti Alat Cross-platform Penciptaan Audio (XACT), untuk membantu dalam pembuatan konten

2.2. XNA Build [1]

XNA Build adalah satu set alat manajemen aset permainan, yang membantu dengan mendefinisikan, memelihara, debugging, dan mengoptimalkan aset permainan upaya pengembangan permainan individu. Sebuah aset permainan menggambarkan proses dimana permainan konten, seperti tekstur dan model 3D, dimodifikasi ke bentuk yang cocok untuk digunakan oleh mesin game. XNA Build membantu mengidentifikasi dependensi permainan, dan juga menyediakan akses application programming interface (API) untuk memungkinkan pengolahan lebih lanjut dari ketergantungan data. Ketergantungan data dapat dianalisis untuk membantu mengurangi ukuran permainan dengan menemukan konten yang tidak benar-benar digunakan. Misalnya, XNA Build analisis mengungkapkan bahwa 40% dari tekstur yang dikirimkan bersama sebuah permainan tidak terpakai dan bisa saja dihilangkan. Berikut adalah setting default untuk sebuah program XNA:

Gambar 2.3. Gambar Setting Default untuk Build Events

2.3. Contoh Program

Pada XNA, terdapat 5 buah fungsi utama, berikut adalah salah satu dari 5 fungsi tersebut, yaitu fungsi untuk memasukkan nilai ke sebuah variabel.

01.protectedoverridevoidLoadContent() 02.{

03. spriteBatch = newSpriteBatch(GraphicsDevice); 04. balamb = this.Content.Load<Song>(@"lagu/balamb") 05. // tambahkan statemen berikut

06. // pastikan ada folder dengan nama Images dan berisi file //gambar pada node Content

07. // yang telah diset dengan nama file referensinya //misalnya moto pada Asset Name-nya

08. tekstur = Content.Load<Texture2D>("Images/moto"); 09.}

Pada kode 2.1, fungsi pada baris ke 8 adalah fungsi untuk menentukan lokasi file citra apa yang akan digunakan serta penamaannya. “tekstur” adalah nama variabel yang digunakan untuk menyimpan data gambar pada folder “Images/moto” dimana moto adalah file citra yang nantinya akan digunakan. Lalu fungsi pada baris ke 3 adalah fungsi untuk menentukan lokasi file audio apa yang akan digunakan serta penamaannya. “balamb” adalah nama variabel yang digunakan untuk menyimpan data gambar pada folder “lagu/balamb” dimana balamb adalah file audio yang nantinya akan digunakan. Microsoft XNA dapat memanggil file citra dengan format JPG, PNG, GIF, dan BMP. Sedangkan untuk file audio, Microsoft XNA dapat memanggil file dengan format MP3, WAV, XAP, WMV, dan WMA. Namun pada saat dicoba, ternyata XNA juga bisa memanggil file audio dengan format AMR. File dengan format AMR ini didapat saat merekam suara dengan menggunakan Mobile Phone (Hand Phone).

Kode untuk memanggil gambar atau audio tersebut dapat dilihat pada kode 2.2:

01.protectedoverridevoidDraw(GameTime gameTime) 02.{

03. GraphicsDevice.Clear(Color.CornflowerBlue); 04.

05. // tiga statemen berikut adalah statement untuk //menampilkan gambar

06. spriteBatch.Begin(); 07. MediaPlayer.Play(balamb);

08. // argumen : variabel tekstur gambar, koordunat posisi //penggambaran, modulasi chanel pewarnaan

09. spriteBatch.Draw(tekstur, Vector2.Zero, Color.White); 10. spriteBatch.End();

11.

12. base.Draw(gameTime); 13.}

Kode 2.2. Bagian Kode XNA untuk Menaruh Tampilan yang Diinginkan.

Kode pada baris ke 3 digunakan pada awal program untuk membersihkan semua gambar dan mewarnai layar dengan warna “CornflowerBlue”. Lalu

baris ke 9 digunakan untuk memangil gambar yang telah disimpan di variabel, dengan susunan penulisan : spriteBatch.Draw ( variabel tekstur gambar, koordinat posisi penggambaran, modulasi channel pewarnaan). Lalu Baris ke 7 adalah fungsi untuk memanggil file audio yang tadi telah disimpan ke variabel “_balamb”.

Kode untuk menghapus gambar atau audio yang ada dapat dilihat pada kode 2.3:

01. protected override void UnloadContent() 02. {

03. // TODO: Unload any non ContentManager content here 04. try {s12.Dispose(); s12 = null; }

05.

06. catch { } 07. }

Kode 2.3. Bagian Kode XNA untuk Menghapus Nilai Pada Variabel

Kode pada baris ke 4 adalah kode yang digunakan untuk menghapus nilai pada sebuah variabel. Dalam contoh pada Kode 2.3. nilai yang dihapus adalah nilai pada variabel “s12”.

Kode untuk menginisialisasi dapat dilihat pada kode 2.4: 01. protected override void Initialize() 02. {

03. // TODO: Add your initialization logic here 04. textBox = new Rectangle(250, 150, 300, 30); 05. base.Initialize();

06. }

Kode 2.4. Bagian Kode XNA untuk menginisialisasi nilai

Kode pada baris ke 4 adalah kode yang digunakan untuk menginisialisasi nilai pada sebuah variabel. Dalam contoh pada Kode 2.4. nilai yang diinisialisasi adalah nilai pada variabel “textBox”, variabel tersebut memiliki format “rectangle” dimana variabel tersebut digunakan untuk membentuk sebuah persegi. Variabel tersebut diisi dengan 4 buah nilai, yaitu posisi x, posisi y, panjang, dan lebar.

Kode untuk menginisialisasi dapat dilihat pada Kode 2.5:

01._{protected override void Update(GameTime gameTime)} 02.{

03. _{// Allows the game to exit}

04. // TODO: Add your update logic here

05. base.Update(gameTime);

06._}

Kode 2.5. Bagian Kode XNA untuk fungsi yang terpanggil pada saat update

Perintah yang nantinya ditulis diantara baris ke 2 dan ke 5 pada Kode 2.5. adalah perintah yang nantinya akan dipanggil terus menerus tanpa henti,

2.4. Cara Kerja [2,10]

Secara garis besar, Kode yang tertulis di XNA dibedakan menjadi 5 bagian, yaitu:

a. Load, yaitu bagian untuk memasukkan data dari luar ke dalam variabel, seperti pada Kode 2.1. Cara kerjanya adalah dengan menaruh lokasi dari file yang ingin dimasukkan ke variabel. Perlu diingat bahwa jenis file dengan variabel yang digunakan haruslah sama, misalnya saja variabel “song” harus diisi dengan lokasi yang menunjukkan file audio.

b. Unload, yaitu bagian untuk menghapus data yang berada pada variabel, seperti pada Kode 2.3. Cara kerjanya adalah dengan menghapus nilai variabel yang lama dan menggantinya dengan NULL.

c. Inisialisasi, yaitu bagian dimana programmer melakukan inisialisasi, seperti pada Kode 2.4. Cara kerjanya adalah dengan mengisi nilai kedalam sebuah variabel, perlu diingat bahwa setiap jenis variabel memiliki format penulisan nilai yang berbeda-beda.

d. Update, yaitu bagian dimana programmer memasukkan perintah-perintah atau fungsi-fungsi yang nantinya akan dipanggil secara terus menerus. Urutan pemanggilan perintah di update untuk setiap putarannya adalah :

Gambar 2.4. Gambar Langkah Pemanggilan Perintah pada Update [10]

Keterangan:

Update Input : Memeriksa apakah ada input baru yang masuk, misalnya saja input dari keyboard, mouse, dan lain-lain.

Update Game Objects : Menjalankan fungsi-fungsi yang dipanggil terus- menerus. Biasanya fungsi ini memiliki kondisi input tertentu agar bisa dipanggil.

Update Graphics : Memperbaharui tampilan yang dikeluarkan sebagai reaksi apabila terdapat perubahan input.

e. Draw, yaitu bagian dimana programmer menaruh tampilan dari program XNA yang dibuat, seperti pada Kode 2.2. Caranya adalah dengan mengambil variabel yang ada dan menaruhnya sesuai kondisi yang sudah ditentukan.

2.5. Bilangan Bulat [5, 8, 14]1

Bilangan bulat terdiri dari:

 Bilangan asli

Bilangan asli adalah himpunan bilangan yang terdiri dari (1, 2, 3, …)

 Bilangan asli negatif

Bilangan asli negatif adalah bilangan yang terdiri dari (…, -3, -2, -1)

 Bilangan 0

Himpunan bilangan bulat tidak memuat nilai desimal atau pecahan. Jadi himpunan bilangan bulat terdiri dari (… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …). Kalau dilihat pada garis bilangan satu arah, bentuknya seperti Gambar 2.5.

Gambar 2.5. Gambar Garis Bilangan Bulat[5]

Cara untuk menuliskan lambang bilangan bulat adalah dengan notasi desimal (basis sepuluh). Lambang dasar yang digunakan dalam basis sepuluh adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Lambang bilangan-bilangan bulat lainnya dituliskan dengan menerapkan nilai tempat dengan menggunakan lambang dasar tersebut.

Contoh:

4275 = 4 . 1000 + 2 . 100 + 7 . 10 + 5

1 _{Teori matematika ini ditujukan untuk pembaca dengan tingkat pendidikan minimal SMU atau}

Sifat bilangan bulat

Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan

1. Bila ditambahkan dua bilangan bulat, hasilnya juga bilangan bulat Contoh : 3 + (-7) = -4

2. Tidak masalah bagaimana urutan penjumlahan, hasilnya tetap sama Contoh : 4 + (-5) = (-5) + 4

3. Saat menambahkan tiga bilangan bulat, tidak masalah dikerjakan pasangan pertama atau pasangan terakhir, jawabannya tetap sama. Contoh : (4 + (-2)) + (-5) = 4 + ((-2) + (-5))

4. Nol adalah unsur identitas penjumlahan. Dengan menambahkan nol, bilangan tersebut tidak berubah.

Contoh : (-5) + 0 = 0 + (-5) = -5

5. dikalikan tiap bilangan didalam kurung dengan bilangan di luarnya, tambah dan kurang tetap di tengah.

Contoh : 3(2 + (-4)) = 3 x 2 + 3 x (-4) (-2)(5–7) = ((-2) x 5) – ((-2) x 7) Sifat-sifat perkalian

1. Bila dikalikan dua bilangan bulat, hasilnya juga bilangan bulat Contoh : (-5) x (-3) = 15

2. Tidak masalah bagaimana urutan perkalian, hasilnya tetap sama Contoh : 2 x (-5) = (-5) x 2

3. Saat mengalikan tiga bilangan bulat, tidak masalah dikalikan pasangan pertama atau pasangan terakhir dahulu, jawabannya tetap sama.

Contoh : (4 x (-2)) x (-5) = 4 x ((-2) x (-5))

4. Satu adalah unsur identitas perkalian. Dengan mengalikan bilangan dengan 1, nilai bilangan tersebut tidak berubah

Sifat-sifat pembagian

1. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif (+) : (+) = (+)

Contoh : 8 : 2 = 4

2. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif (-) : (-) = (+)

Contoh : (-10) : (-5) = 2

3. Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif (+) : (-) = (-)

(-) : (+) = (-)

Contoh : 6 : (-2) = (-3) (-12) : 3 = (-4)

4. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi a : 0 tidak terdefinisi (~)

0 : a 0 (nol) Contoh :

5 / 0 = ~ (Tidak terdefinisi)

5. Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif a : b tidak sama dengan b : a

(a:b):c ≠ a : (b:c) 6. Bersifat tidak tertutup

Jika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga contoh : 6 : 2 = 3 bilangan bulat

7 : 2 = 3 ½ bukan bilangan bulat (bilangan pecahan)

Tanda tambah, kurang, kali, dan bagi memiliki prioritas yang berbeda pada pengerjaannya, dimana tanda kali dan bagi memiliki prioritas yang lebih tinggi dibandingkan tanda tambah dan kurang.

Namun prioritas tertinggi pada perhitungan matematika adalah menghitung yang berada di dalam tanda kurung terlebih dahulu.

Contoh : (3 + 2) . 4 = 5 . 4 = 20

2.6. Kelipatan Dan Faktor [5, 14]2

Kelipatan adalah hasil kali dari sebuah bilangan. Misalnya saja kelipatan dari 3 adalah :

3 x 1 = 3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 3 x n = 3n

Jadi kelipatan dari 3 adalah 3, 6, 9, dan seterusnya.

Faktor adalah bagian dari sebuah bilangan yang apabila dikalikan dengan bilangan lainnya nilainya sama dengan bilangan yang dicari. Misalnya saja bilangan 12 bisa dicari faktornya dengan menggunakan pohon faktor, yaitu:

12 / \

2 6

/ \ 2 3

Pembagi yang digunakan di dalam pohon faktor adalah bilangan prima dimulai dari yang terkecil, yaitu 2, 3, 5, dan seterusnya. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri.

Dari pohon faktor di atas, dapat dilihat bahwa faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12. Nilai 1 dan 12 didapat karena 1 adalah faktor dari semua bilangan, dan 12 adalah nilai bilangan itu sendiri. Nilai 4 berasal dari 2², nilai itu didapat karena nilai 2 keluar sebanyak 2 kali. Dan nilai 6 didapat dari 2 x 3.

2 _{Teori matematika ini ditujukan untuk pembaca dengan tingkat pendidikan minimal SMU atau}

2.7. KPK dan FPB [8, 14]3 KPK

Dalam aritmetika dan teori bilangan, kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi habis oleh kedua bilangan itu.

Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari KPK dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara faktorial.

Cara sederhana

Cara sederhana adalah dengan mencoba mencari semua kelipatan dari bilangan yang dicari dan kemudian mencari kelipatan yang sama.

Mencari KPK dari 12 dan 6:

 Kelipatan dari 12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...

 Kelipatan dari 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, …

 Himpunan persekutuan dari kelipatan 6 dan 12 adalah 12, 24, 36, …

 Lalu dari persekutuan antara 6 dan 12 diambil nilai yang terkecil, yaitu 12. Jadi KPK dari 6 dan 12 adalah 12

Cara faktorisasi

Mencari KPK dari bilangan 147, 189 dan 231:

 Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan: 147 189 231

/\ /\ /\

3 49 3 63 3 77

/\ /\ /\ 7 7 7 9 7 11 /\

3 3

3 _{Teori matematika ini ditujukan untuk pembaca dengan tingkat pendidikan minimal SMU atau}

Sebagai pembagi dari pohon faktor digunakanlah bilangan prima, yaitu bilangan yang hanya bisa dibagi oleh bilangan itu sendiri dan bilangan 1.

 Susun bilangan dari pohon faktor untuk mendapatkan faktor-faktornya:

Faktor 147 = 31 x 72 Faktor 189 = 33 x 71 Faktor 231 = 31 x 71 x 111

 Ambil faktor-faktor yang memiliki pangkat terbesar, dalam hal ini 33, 72 dan 111.

 Kalikan faktor-faktor tersebut: 33 x 72 x 111 = 14553.

 Maka KPK dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 14553. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih kecil dari 14553 yang dapat dibagi habis oleh bilangan 147, 189 dan 231.

FPB

Dalam matematika, Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu.

Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara faktorial.

Cara sederhana

Cara sederhana adalah dengan mencoba mencari semua faktor dari bilangan yang dicari dan kemudian mencari faktor yang sama.

Mencari FPB dari 12 dan 20:

 Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12

 Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20

 Lalu FPB bisa dicari dari himpunan persekutan antara dua bilangan tersebut yang nilainya paling besar, yaitu 4

Cara faktorisasi

Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:

 Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:

147 189 231 /\ /\ /\ 3 49 3 63 3 77 /\ /\ /\ 7 7 7 9 7 11 /\

3 3

 Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktor-faktornya: Faktor 147 = 31 x 72

Faktor 189 = 33 x 71 Faktor 231 = 31 x 71 x 111

 Ambil faktor-faktor yang bersekutu (sama) dari ketiga faktor tersebut, dalam hal ini 3 dan 7.

 Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini 31 x 71 = 21.

 Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 21. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231.

2.8. Keliling, Luas dan Volume [5, 8, 14]4

Keliling adalah jumlah total dari semua sisi dari suatu bidang geometri.

4 _{Teori matematika ini ditujukan untuk pembaca dengan tingkat pendidikan minimal SMU atau}

Luas, luasan, atau area adalah besaran yang menyatakan besaran suatu bagian

permukaan dua dimensi yang dibatasi dengan suatu bidang, luas dapat digambarkan seperti Gambar 2.6.

Gambar 2.6. Gambar Luas Persegi yang Dibentuk Dari Banyak Kotak-Kotak Kecil

Misal pada Gambar 2.6, luas dari persegi panjang adalah bagian yang berwarna abu-abu, kemudian persegi panjang tersebut dibagi menjadi kotak-kotak kecil yang ukurannya sama besar. 1 buah kotak-kotak kecil yang berwarna abu-abu memiliki luas 1 satuan persegi, maka luas dari bidang persegi panjang yang berwarna abu-abu adalah 70 satuan persegi. Luas tersebut didapat dengan menjumlahkan semua kotak-kotak kecil yang berwarna abu-abu.

Volume atau bisa juga disebut kapasitas adalah penghitungan seberapa

banyak atau besar sebuah ruang yang bisa ditempati dalam suatu objek. Objek itu bisa berupa benda yang beraturan ataupun benda yang tidak beraturan. Benda yang beraturan misalnya kubus, balok, silinder, limas, kerucut, dan bola. Benda yang tidak beraturan misalnya batu yang ditemukan di jalan.

RUMUS-RUMUS

Segitiga :

Gambar 2.7. Gambar Serta Rumus Luas dan Keliling Segitiga

Luas segitiga adalah bagian dari segitiga yang diarsir diatas, dimana a adalah alas dari segitiga, dan t adalah tinggi dari segitiga.

Luas = ½ x alas x tinggi = ½ x a x t

Keliling = sisi AB + sisi BC + sisi CA

Gambar 2.8. Gambar Cara Mencari Rumus Segitiga

Rumus luas segitiga dapat digambarkan dengan langkah pada Gambar 2.8. Dimana segitiga dipotong searah dengan garis CD. Sehingga menjadi segitiga BCD dan ACD. Kemudian segitiga itu digabung kembali sehingga membentuk sebuah persegi dengan AB = ½ dari alas segitiga ABC. Dan BC adalah tinggi dari segitiga ABC

Persegi panjang dan persegi:

RUMUS:

Gambar 2.9. Gambar Serta Rumus Luas dan Keliling Persegi

Luas persegi panjang adalah bagian dari persegi panjang yang diarsir pada Gambar 2.9, dimana p adalah panjang dari persegi panjang, dan l adalah lebar dari persegi panjang.

Gambar 2.10. Gambar Serta Rumus Luas dan Keliling Persegi Panjang

Luas = panjang x lebar = p x l

Keliling = panjang + lebar + panjang + lebar

= 2 panjang + 2 lebar

= 2 ( p + l )

Panjang:

AB = BC = CD = DA Rumus:

Luas = sisi x sisi

Keliling = sisi + sisi + sisi + sisi = 4 x sisi

Panjang :

AB = CD

Lebar :

AD = BC

Gambar 2.11. Gambar Langkah Mencari Rumus Luas Persegi

Rumus luas persegi dan persegi panjang bisa dikatakan mirip. Apabila persegi atau persegi panjang dibagi dengan kotak-kotak kecil yang ukurannya sama,yaitu 1 satuan persegi, maka luas permukaan persegi dan persegi panjang tersebut adalah jumlah kotak kecil yang membentuk persegi atau persegi panjang tersebut. Untuk memudahkan menghitung luas persegi panjang atau persegi, maka dibuatlah rumus untuk menghitung luasnya. Yaitu luas sama dengan panjang dikalikan dengan lebar.

Jajaran genjang:

Gambar 2.12. Gambar Jajaran Genjang Serta Rumus Luas dan Kelilingnya

Luas jajaran genjang adalah bagian dari jajaran genjang yang diarsir pada gambar 2.12, dimana p adalah alas dari jajaran genjang, dan t adalah tinggi dari jajaran genjang.

Luas = alas x

tinggi →

(alas = p)

Keliling = 2 (p + l)

Gambar 2.13. Gambar Langkah Mencari Rumus Luas Jajaran Genjang

Rumus untuk mencari luas jajaran genjang juga mirip dengan rumus mencari segitiga, dimana jajaran genjang ABCD pertama-tama dibagi menjadi 2 buah bidang yang terpisah sesuai dengan garis DE sehingga menjadi bidang BCDE dan ADE. Kemudian 2 bidang yang terpisah tersebut digabung kembali menjadi persegi ABCD dengan panjang AB sama dengan alas jajaran genjang ABCD dan BC sama dengan tinggi jajaran genjang ABCD. Sehingga rumus luas jajaran genjang adalah alas dikalikan dengan tinggi. Selain dengan merubah jajaran genjang menjadi sebuah persegi, luas jajaran genjang juga bisa dicari dengan memotong jajaran genjang menjadi 2 buah segitiga seperti

pada gambar diatas. Kemudian luas jajaran genjang bisa dicari dengan menjumlahkan luas dari masing-masing segitiga.

Layang-layang dan belah ketupat:

Gambar 2.14. Gambar Layang-Layang dan Belah Ketupat Serta Rumus Luas dan Kelilingnya

AB = BC = CD = DA

Luas = ½ x diagonal 1 x diagonal 2

= ½ x AC x BD

Keliling = AB + BC + CD + DA

= 4 x sisi

AD = DC

AB = BC

Luas = ½ x diagonal 1 x diagonal 2

= ½ x AC x BD

Luas layang-layang dan belah ketupat adalah bagian dari layang-layang dan belah ketupat yang diarsir pada Gambar 2.14.

Asal dari rumus luas layang-layang dan belah ketupat dapat dicari dengan cara, layang-layang dan belah ketupat pertama-tama dibagi menjadi bidang-bidang kecil terlebih dahulu sebelum kemudian dirangkai kembali menjadi bidang yang lebih mudah untuk dihitung. Layang-layang dan belah ketupat bisa dihitung dengan mudah dengan membaginya terlebih dahulu menjadi 4 buah segitiga sesuai dengan garis diagonal dari layang-layang dan belah ketupat. Atau pada Gambar 2.14 diatas adalah garis AC dan BD. Baru kemudian 4 buah bagian tersebut dirangkai kembali menjadi sebuah persegi. Dari cara diatas didapatkanlah rumus luas layang-layang dan belah ketupat yaitu ½ dikalikan diameter horisontal dan diameter vertikal dari layang-layang dan belah ketupat

Lingkaran:

Gambar 2.15. Gambar Lingkaran Serta Rumus Luas dan Kelilingnya

D = diameter r = jari-jari D = 2r

Luas = π x

r²

= 3,14 x r²

Keliling = 2 x π x

r

= 2 x 3,14 x r

π = 3,14

Luas lingkaran adalah bagian dari lingkaran yang diarsir Gambar 2.15, dimana r adalah jari-jari dari lingkaran dan π adalah 22/7 atau 3,14.

Gambar 2.16. Langkah-Langkah Mencari Rumus Luas Lingkaran

Rumus luas lingkaran didapatkan dengan cara memotong lingkaran menjadi banyak bagian dan menyusunnya kembali sehingga memiliki bentuk mendekati persegi. Dari bentuk itu didapatlah rumus luas lingkaran, dimana lebarnya adalah jari-jari lingkaran, dan panjangnya adalah 3,14 x jari-jari lingkaran. Sehingga rumus luas lingkaran adalah:

L = 3,14 x jari-jari x jari-jari

Nilai 3,14 didapat dengan mengukur keliling lingkaran yang memiliki jari-jari 1 satuan

Trapesium:

Gambar 2.17. Gambar Trapesium Serta Rumus Luasnya

Luas trapesium adalah bagian dari trapesium yang diarsir pada Gambar 2.17, dimana AB dan CD adalah rusuk yang sejajar dari trapesium dan t adalah tinggi dari trapesium.

Gambar 2.18. Langkah-Langkah Mencari Rumus Luas Trapesium

Rumus luas trapesium juga bisa dicari dengan memisah-misahkannya terlebih dahulu sebelum kemudian merangkainya kembali menjadi bidang yang lebih mudah. Misalnya saja trapesium ABCD dibagi sesuai garis DE menjadi bidang BCDE dan ADE. Kemudian bidang tersebut digabung lagi menjadi persegi ABCD, dimana AB persegi sama dengan (AB+CD trapesium) / 2 . Dan BC persegi sama dengan tinggi dari trapesium. Selain dengan memotong trapesium menjadi segitiga dan persegi, luas trapesium juga dapat dicari dengan memotongnya menjadi jajaran genjang dan segitiga, kemudian luas dari trapesium tersebut adalah jumlah dari luas jajaran genjang dan segitiga.

Volume kubus, balok, dan tabung:

Gambar 2.19. Gambar Volume Kubus, Balok, dan Tabung

Volume kubus, balok, dan tabung adalah hasil kali dari luas alas dengan tinggi. Bagian yang diasir dari kubus, balok, dan tabung adalah luas alas dari kubus, balok, dan tabung. Dan t adalah tinggi dari kubus, balok, dan tabung Luas kubus, balok, dan tabung adalah jumlah dari luas seluruh permukaan bidang tersebut, misalnya saja untuk luas kubus. Kubus terbentuk dari 6 buah

persegi yang memiliki ukuran yang sama besar, sehingga luas dari kubus tersebut adalah jumlah dari luas semua persegi yang ada.

2.9. Pengukuran Sudut [5]5

Sudut adalah ukuran jumlah rotasi antar dua potongan garis. Gambar 2.20 adalah contoh dari sudut yang terbentuk dari dua buah garis tersebut.

Gambar 2.20. Gambar Contoh Dari Bentuk Sudut

Sudut diukur dalam satuan derajat atau radian.

Jenis – jenis sudut

1. Sudut lancip adalah sudut

2. yang besarnya antara 0° dan 90° (0° < x < 90°)

3. Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90° (x = 90°)

4. Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya antara 90° dan 180° (90° < x < 180°)

5. Sudut lurus adalah sudut yang besarnya 180° (x = 180°)

6. Sudut refleks adalah sudut yang besarnya antara 180° dan 360° (180° < x < 360°)

7. Sudut putaran penuh adalah sudut yang besarnya 360° ( x = 360°)

5 _{Teori matematika ini ditujukan untuk pembaca dengan tingkat pendidikan minimal SMU atau}

Posisi standar sebuah sudut

Gambar 2.21. Contoh Dari Bentuk Sudut pada Sumbu Koordinat X,Y

Sebuah sudut ada pada posisi standar jika sisi awal ada di sumbu x positif dan titik sudutnya ada di origin (titik (0,0)).

Hubungan antar sudut

1. Sudut saling berpelurus (suplemen)

Gambar 2.22. Gambar Sudut Saling Berpelurus [14]

2. Sudut saling berpenyiku (komplemen)

3. Sudut saling bertolak belakang

Gambar 2.24. Gambar Sudut Saling Bertolak Belakang [14]

4. Sudut sehadap

5. Sudut berseberangan

Gambar 2.26. Gambar Sudut Berseberangan [14]

Sudut dalam berseberangan : b = g ; c = f Sudut luar berseberangan : a = h ; d = e

6. Sudut sepihak

Sudut bisa diukur dengan menggunakan busur derajat. Cara menggunakan busur derajat adalah:

Gambar 2.28. Gambar Langkah-Langkah Mencari Sudut Dengan Busur Derajat

Pertama-tama titik tengah pada busur derajat diletakkan pada titik sudut yang ingin diukur, seperti pada Gambar 2.28, yaitu titik C. Setelah itu salah satu dari garis yang membentuk sudut (garis BC pada sudut ABC) diletakkan sesuai dengan garis yang menunjuk kepada nilai 0 derajat pada busur derajat (pada Gambar 2.28 garis yang menunjuk kepada nilai 0 derajat diwarnai dengan warna merah). Lalu nilai yang ditunjuk dari garis lainnya yang menbentuk sudut adalah besar dari sudut yang dicari. Pada Gambar 2.28, besar sudut yang dicari adalah 45 derajat.

2.10. Pengukuran Jarak dan Kecepatan [5]6

Jarak, waktu, dan kecepatan adalah satuan yang saling berkaitan, karena bisa

dicari satuan yang lain apabila mengetahui paling tidak 2 satuan (dari satuan jarak, waktu, dan kecepatan). Misalnya bisa dicari kecepatan dari jarak dan waktu yang dibutuhkan, selain itu juga bisa dicari jarak dari kecepatan dan waktu, dan mencari waktu dari jarak dan kecepatan.

Jarak adalah angka yang menunjukkan seberapa jauh suatu titik koordinat (posisi) dengan titik koordinat yang lain.

Kecepatan adalah besaran vektor yang menunjukkan seberapa cepat benda berpindah. Besar dari vektor ini disebut dengan kelajuan dan dinyatakan dalam satuan meter per sekon (m/s atau ms-1).

Rumus kecepatan yang paling sederhana adalah :

Keterangan: V = Kecepatan

S = Jarak atau perpindahan t = Waktu

2.11. Geometri [5]7

Geometri adalah cabang pembelajaran dari matematika yg menerangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang, dan ruang, misalnya saja : persegi, segitiga, lingkaran, dan lain-lain. Bangun-bangun yang barusan disebut adalah bangun-bangun 2 dimensi. Selain bangun-bangun 2 dimensi ada juga bangun-bangun 3 dimensi, seperti : kubus, balok, tabung, dan lain-lain

6 _{Teori matematika ini ditujukan kepada pembaca dengan tingkat pendidikan minimal SMU atau}

sederajat

7 _{Teori matematika ini ditujukan kepada pembaca dengan tingkat pendidikan minimal SMU atau}

Gambar bangun 2 dimensi

dimensi

Gambar bangun 3 dimensi

Gambar 2.31. Contoh Bangun Geometri 3 Dimensi

2.12. Pecahan [5, 8]8

Pecahan adalah hasil bagi antara 2 bilangan yg bernilai bulat (pembilang), dengan nilai penyebut tidak sama dengan 0. Pecahan bisa ditulis sebagai: _a_

b

8 _{Teori matematika ini ditujukan untuk pembaca dengan tingkat pendidikan minimal SMU atau}

Misal ada persegi yang dibagi 4 dengan ukuran masing-masing sama besar, maka salah satu bagian dari persegi tersebut bisa ditulis dengan pecahan ¼, karena ukuran dari 4 bagian tersebut sama besar.

Nilai pada pecahan bisa diganti dengan pecahan lain yang memiliki nilai yang sama besar. Caranya adalah dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut dengan sebuah nilai yang sama. Contohnya adalah :

Penjumlahan dan pengurangan pecahan

Pengurangan dan penjumlahan pecahan mirip dengan penjumlahan dan pengurangan biasa. Hanya saja sebelum menjumlah atau mengurangi pembilangnya, terlebih dahulu penyebutnya harus disamakan. Berikut adalah contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan

Perkalian dan pembagian pecahan

Pada perkalian dan pembagian pecahan, penyebutnya tidak perlu disamakan. Pada perkalian pecahan A dan B (AxB), perkalian tersebut dilakukan dengan mengalikan pembilang pecahan A dengan pembilang pecahan B. Serta dengan mengalikan penyebut pecahan A dengan penyebut pecahan B. Lalu

pada pembagian pecahan A dan B (A : B), pertama-tama pembilang dan penyebut pada pecahan B dibalik terlebih dahulu, baru kemudian dikalikan seperti perkalian pecahan biasa. Contoh perkalian dan pembagian tersebut adalah:

2.13. Perbandingan dan Skala [5]9

Skala di definisikan sebagai perbandingan antara ukuran pada gambar dengan ukuran sebenarnya. Misalnya saja untuk :

A : B

Misal, dengan perbandingan A : B = 1 : 2, apabila nilai A adalah 5, maka nilai B adalah 10. Dimana 1 : 2 = 5 : 10

Skala sering digunakan untuk mengukur perbandingan antara dua buah nilai. Selain itu, skala juga bisa digunakan untuk mengubah satuan suatu nilai menjadi satuan yang lain, walaupun satuannya berbeda namun tetap memiliki nilai yang sama, misalnya saja 1 Km dapat di ubah menjadi 1000 m, meskipun besar dan satuannya berbeda, namun kedua nilai tersebut sama. Contoh perbandingan tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.32 dan Gambar 2.33. dimana Gambar 2.32 menunjukkan tangga perbandingan untuk ukuran skala jarak, dan Gambar 2.33 menunjukkan tangga perbandingan untuk ukuran skala berat.

9 _{Teori matematika ini ditujukan untuk pembaca dengan tingkat pendidikan minimal SMU atau}

Gambar 2.32. Gambar Tangga Perbandingan untuk Ukuran Skala Jarak

Dimana : 1 km = 10hm = 100dam = 1000m = 10000dm = 100000cm = 1000000mm

Gambar 2.33. Gambar Tangga Perbandingan untuk Ukuran Skala Berat

Dimana : 1 kg = 10hg = 100dag = 1000g = 10000dg = 100000cg = 1000000mg

Selain satuan jarak dan berat, juga terdapat satuan-satuan yang lain, misalnya

saja: satuan luas, satuan isi atau volume, satuan suhu, satuan energi, dan lain-lain.

2.14. Mean, Media, Modus [5,14]10

Mean bisa disebut juga dengan rata-rata, nilai mean atau nilai rata-rata dapat

dicari dengan menjumlahkan nilai dari semua data yang ada, baru kemudian dibagi dengan jumlah data yang ada.

Median adalah salah satu ukuran pemusatan data, yaitu, jika segugus data

diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau yang terbesar sampai yang terkecil, nilai pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila jumlah datanya ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila banyaknya pengamatan genap. Sehingga bisa dikatakan bahwa median adalah titik tengah dari data yang ada.

Modus adalah data yang paling sering muncul, atau data yang mempunyai

frekuensi terbesar. Jika semua data mempunai frekuensi yang sama berarti data-data tersebut tidak mempunyai memiliki modus, tetapi jika terdapat dua buah data yang mempunyai frekuensi terbesar, maka data-data tersebut memiliki dua buah modus, dan seterusnya.

Contoh Mean, Median, Modus :

Misal ada sekumpulan data sebagai berikut: 5, 7, 8, 5, 9, 6, 5

Mean dari data diatas adalah:

(5+7+8+5+9+6+5) / 7 = 45 / 7 = 6,43 Median dari data diatas adalah: 5, 5, 5, 6, 7, 8, 9

6 (didapat setelah mengurutkan nilai dari data yang ada dan mengambil nilai tengah dari data yang sudah diurutkan. Apabila data genap, maka akan ada 2 nilai tengah, sehingga nilai mediannya adalah rata-rata dari kedua nilai tersebut)

Modus dari data diatas adalah: 5 (memiliki frekuensi muncul terbesar)

10 _{Teori matematika ini ditujukan untuk pembaca dengan tingkat pendidikan minimal SMU atau}

Gambar bangun 3 dimensi

Gambar 2.31. Contoh Bangun Geometri 3 Dimensi

2.12. Pecahan [5, 8]8

Pecahan adalah hasil bagi antara 2 bilangan yg bernilai bulat (pembilang), dengan nilai penyebut tidak sama dengan 0. Pecahan bisa ditulis sebagai: _a_

b

8 _{Teori matematika ini ditujukan untuk pembaca dengan tingkat pendidikan minimal SMU atau}

Misal ada persegi yang dibagi 4 dengan ukuran masing-masing sama besar, maka salah satu bagian dari persegi tersebut bisa ditulis dengan pecahan ¼, karena ukuran dari 4 bagian tersebut sama besar.

Nilai pada pecahan bisa diganti dengan pecahan lain yang memiliki nilai yang sama besar. Caranya adalah dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut dengan sebuah nilai yang sama. Contohnya adalah :

Penjumlahan dan pengurangan pecahan

Pengurangan dan penjumlahan pecahan mirip dengan penjumlahan dan pengurangan biasa. Hanya saja sebelum menjumlah atau mengurangi pembilangnya, terlebih dahulu penyebutnya harus disamakan. Berikut adalah contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan

Perkalian dan pembagian pecahan

pada pembagian pecahan A dan B (A : B), pertama-tama pembilang dan penyebut pada pecahan B dibalik terlebih dahulu, baru kemudian dikalikan seperti perkalian pecahan biasa. Contoh perkalian dan pembagian tersebut adalah:

2.13. Perbandingan dan Skala [5]9

Skala di definisikan sebagai perbandingan antara ukuran pada gambar dengan ukuran sebenarnya. Misalnya saja untuk :

A : B

Misal, dengan perbandingan A : B = 1 : 2, apabila nilai A adalah 5, maka nilai B adalah 10. Dimana 1 : 2 = 5 : 10

Skala sering digunakan untuk mengukur perbandingan antara dua buah nilai. Selain itu, skala juga bisa digunakan untuk mengubah satuan suatu nilai menjadi satuan yang lain, walaupun satuannya berbeda namun tetap memiliki nilai yang sama, misalnya saja 1 Km dapat di ubah menjadi 1000 m, meskipun besar dan satuannya berbeda, namun kedua nilai tersebut sama. Contoh perbandingan tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.32 dan Gambar 2.33. dimana Gambar 2.32 menunjukkan tangga perbandingan untuk ukuran skala jarak, dan Gambar 2.33 menunjukkan tangga perbandingan untuk ukuran skala berat.

9 _{Teori matematika ini ditujukan untuk pembaca dengan tingkat pendidikan minimal SMU atau}

Gambar 2.32. Gambar Tangga Perbandingan untuk Ukuran Skala Jarak

Dimana : 1 km = 10hm = 100dam = 1000m = 10000dm = 100000cm = 1000000mm

Gambar 2.33. Gambar Tangga Perbandingan untuk Ukuran Skala Berat

Dimana : 1 kg = 10hg = 100dag = 1000g = 10000dg = 100000cg = 1000000mg

Selain satuan jarak dan berat, juga terdapat satuan-satuan yang lain, misalnya

lain-2.14. Mean, Media, Modus [5,14]10

Mean bisa disebut juga dengan rata-rata, nilai mean atau nilai rata-rata dapat

dicari dengan menjumlahkan nilai dari semua data yang ada, baru kemudian dibagi dengan jumlah data yang ada.

Median adalah salah satu ukuran pemusatan data, yaitu, jika segugus data

diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau yang terbesar sampai yang terkecil, nilai pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila jumlah datanya ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila banyaknya pengamatan genap. Sehingga bisa dikatakan bahwa median adalah titik tengah dari data yang ada.

Modus adalah data yang paling sering muncul, atau data yang mempunyai

frekuensi terbesar. Jika semua data mempunai frekuensi yang sama berarti data-data tersebut tidak mempunyai memiliki modus, tetapi jika terdapat dua buah data yang mempunyai frekuensi terbesar, maka data-data tersebut memiliki dua buah modus, dan seterusnya.

Contoh Mean, Median, Modus :

Misal ada sekumpulan data sebagai berikut: 5, 7, 8, 5, 9, 6, 5

Mean dari data diatas adalah:

(5+7+8+5+9+6+5) / 7 = 45 / 7 = 6,43 Median dari data diatas adalah: 5, 5, 5, 6, 7, 8, 9

6 (didapat setelah mengurutkan nilai dari data yang ada dan mengambil nilai tengah dari data yang sudah diurutkan. Apabila data genap, maka akan ada 2 nilai tengah, sehingga nilai mediannya adalah rata-rata dari kedua nilai tersebut)

Modus dari data diatas adalah: 5 (memiliki frekuensi muncul terbesar)

10 _{Teori matematika ini ditujukan untuk pembaca dengan tingkat pendidikan minimal SMU atau}