Fungsi Autokorelasi Parsial PACF Autoregresif AR

Nilai harapan t Υ pada persamaan 2.25 dapat dicari dengan mengingat syarat pertama white noise adalah 2.26 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Υ + =       Ε + Υ Ε +       Ε =       + Υ + Ε = Υ Ε ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − = − = − − = − = − − = t t i i t i i t i t t i i t i i t i t t i i t φ φ φ ε φ φ φ φ ε φ φ φ φ Sedangkan nilai harapan dari k t − Υ dengan mengingat syarat pertama white noise adalah 2.27 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Υ + =       Ε + Υ Ε +       Ε =       + Υ + Ε = Υ Ε − − − = − − = − − − − − = − − = − − = − − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ k t k t i i k t i i k t i k t k t i i k t i k t i i k t i k t i k t φ φ φ ε φ φ φ φ ε φ φ φ φ Persamaan 2.26 dan 2.27 keduanya dependen terhadap waktu. Karena k t t − Υ Ε ≠ Υ Ε maka { } t Υ tidak stasioner. Teorema 2.5 bila 1 1 〈 φ maka I. k t − 1 φ akan konvergen ke nol untuk t mendekati tak hingga ∞ → t 2.28 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI II. ... 1 3 1 2 1 1 1 1 + + + + = ∑ − − = φ φ φ φ φ φ k t i i konvergen ke 1 1 φ φ − o 2.29 Bukti: I. Karena 1 1 〈 φ maka lim 1 = − ∞ → k t t φ II. Karena ... 1 3 1 2 1 1 1 1 + + + + = ∑ − − = φ φ φ φ φ φ k t i i merupakan deret geometri yang konvergen dengan 1 dan φ φ = = r a maka 1 1 1 φ φ − = − r a ■ Jadi untuk ∞ → t dan 1 1 〈 φ , 2.30 1 lim lim 1 1 1 1 1 1 1 ∑ ∑ ∑ ∞ = − − = − − = ∞ → ∞ → + − =       + Υ + = Υ i i t i t i i t i t t i i t t t ε φ φ φ ε φ φ φ φ Nilai harapan t Υ dengan menggunakan persamaan 2.30 dan mengingat syarat pertama white noise adalah 2.31 1 1 1 1 1 1 1 1 φ φ ε φ φ φ ε φ φ φ − =       Ε +       − Ε =       + − Ε = Υ Ε ∑ ∑ ∞ = − ∞ = − i i t i i i t i t Terlihat bahwa rata-rata dari t Υ berhingga dan independen terhadap waktu. Jadi . semua untuk 1 1 t k t t φ φ − = Υ Ε = Υ Ε − Nilai variansi t Υ dengan menggunakan persamaan 2.30, 2.31 dan mengingat syarat kedua white noise adalah 2.32 1 ... ... 1 1 2 1 2 2 4 1 2 2 1 2 2 2 4 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 φ σ σ φ σ φ σ ε φ ε φ ε ε φ φ φ ε φ φ φ − = + + + = + Ε + Ε + Ε =       Ε =       − − + − Ε = Υ Ε − Υ Ε = Υ − − ∞ = − ∞ = − ∑ ∑ t t t i i t i i i t i t t t Var yang juga berhingga dan independen terhadap waktu. Nilai kovariansi t Υ dengan mengingat persamaan 2.30, syarat kedua white noise dan persamaan 2.31 adalah                   Ε =               − − + −       − − + − Ε = Υ Ε − Υ Υ Ε − Υ Ε = Υ Υ ∑ ∑ ∑ ∑ ∞ = − − ∞ = − ∞ = − − ∞ = − − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , i i k t i i i t i i i k t i i i t i k t k t t t k t t Kov ε φ ε φ φ φ ε φ φ φ φ φ ε φ φ φ K K K K + Ε + Ε + Ε = + + + + + + + + + + + Ε = Υ Υ − − + − − + − − − + − − − − − − − − + − − − − 2 2 4 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 , k t k k t k k t k k t k k t k k t k t k t k t k k t k t t t k t t Kov ε φ ε φ ε φ ε φ ε φ ε φ ε φ ε ε φ ε φ ε φ ε φ ε 2.33 1 1 2 1 1 2 4 1 2 1 1 2 φ φ σ φ φ φ σ − = + + + = k k K Ternyata nilai kovariansinya berhingga dan tidak berubah terhadap waktu. Jadi bila nilai limit 2.30 digunakan maka deret { } t Υ akan menjadi stasioner. Fungsi Autokorelasi ACF untuk AR 1 dapat dicari dengan menggunakan persamaan 2.32 dan 2.33 sebagai berikut 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 untuk φ φ σ φ σ φ γ γ ρ φ φ σ φ σ φ γ γ ρ γ γ ρ = − − = = = = − − = = = = = = k k k M n n n n n k 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 φ φ σ φ σ φ γ γ ρ = − − = = = Bila . semua untuk maka 1 1 k k 〉 〈 〈 ρ φ Bila 1 1 〈 〈 − φ maka k ρ akan berubah tanda dari negatif ke positif untuk semua . 1 ≥ k Fungsi Autokorelasi Parsial PACF untuk AR 1 Untuk , 1 = k 1 1 11 φ ρ φ = = , 2 = k 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 = − − = − − = φ φ φ ρ ρ ρ φ Karena AR 1 persamaannya hanya berhubungan dengan 1 − Υ t maka untuk 2 ≥ k nilai kk φ bernilai nol. Secara umum dapat ditulis menjadi    ≥ = 2 untuk 1 untuk 1 k k kk φ φ Pada proses ini autokorelasi parsial bernilai tidak nol pada lag pertama, yang juga merupakan order dari proses, tetapi bernilai nol untuk lag yang lain. Bila persamaan 2.23 variabel sebelah kanan hanya dipengaruhi oleh nilai sebelumnya dari variabel tak bebas t Υ yang ketinggalan p perioda maka persamaannya disebut autoregresif orde p AR p. Persamaan AR p adalah 2.34 1 t i t p i i t ε φ φ + Υ + = Υ − = ∑ Nilai harapan t Υ persamaan 2.34 dengan mengingat syarat pertama white noise adalah t 1 1 ε φ φ ε φ φ Ε +       Υ Ε + Ε =       + Υ + Ε = Υ Ε ∑ ∑ = − = − p i i t i t p i i t i t 2.35 1 ∑ = − Υ + = p i i t i φ φ sedangkan nilai harapan k t − Υ adalah 2.36 1 k t 1 1 ∑ ∑ ∑ = − − − = − − − = − − − Υ + = Ε +       Υ Ε + Ε =       + Υ + Ε = Υ Ε p i i k t i p i i k t i k t p i i k t i k t φ φ ε φ φ ε φ φ Persamaan 2.35 dan 2.36 keduanya dependen terhadap waktu. Karena k t t − Υ Ε ≠ Υ Ε maka { } t Υ tidak stasioner. Persamaan 2.34 dapat ditulis menjadi 1 t p i i t i t ε φ φ + = Υ − Υ ∑ = − 2.37 2 2 1 1 t p t p t t t ε φ φ φ φ + = Υ − − Υ − Υ − Υ − − − K Apabila persamaan 2.37 ditulis dalam bentuk operator pergeseran mundur dengan i t t i B − Υ = Υ maka persamaannya menjadi t p i i i t t p i i i t t t p p t t t B B B B B ε φ φ ε φ φ ε φ φ φ φ + =       Υ + = Υ       − Υ + = Υ − − Υ − Υ − Υ ∑ ∑ = = 1 t 1 2 2 1 - 1 K 2.38 1 - 1 1 1 t ∑ ∑ = = − + = Υ p i i t p i i i B B φ ε φ φ dengan 1 1 ≠ ∑ = p i i i B φ . Nilai harapan t Υ persamaam 2.38 dengan mengingat syarat pertama white noise adalah 1 1 1 1             − + − Ε = Υ Ε ∑ ∑ = = p i i i t p i i i t B B φ ε φ φ 2.39 1 1 1 1 1 1 ∑ ∑ ∑ = = = − =             − Ε +             − Ε = p i i i p i i i t p i i i B B B φ φ φ ε φ φ Nilai variansi t Υ persamaam 2.38 dengan mengingat syarat kedua white noise adalah 2 1 1 1 2 1 1 1             − − − + − Ε = Υ Ε − Υ Ε = Υ ∑ ∑ ∑ = = = p i i i p i i i t p i i i t t t B B B Var φ φ φ ε φ φ 2.40 1 1 2 1 2 2 1 2       − =                     − Ε = ∑ ∑ = = p i i i p i i i t B B φ σ φ ε Nilai kovariansi k t t − Υ Υ , dengan mengingat syarat ketiga white noise adalah k t k t t t k t t Kov − − − Υ Ε − Υ Υ Ε − Υ Ε = Υ Υ ,                   − − − + −                   − − − + − Ε = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = − = = = = p i i i p i i i k t p i i i p i i i p i i i t p i i i B B B B B B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 φ φ φ ε φ φ φ φ φ ε φ φ                         −             − Ε = Υ Υ ∑ ∑ = − = − p i i i k t p i i i t k t t B B Kov 1 1 1 1 , φ ε φ ε 2.41 1 2 1 =                     − Ε = ∑ = − p i i i k t t B φ ε ε Jadi autoregresi orde p merupakan runtun waktu yang stasioner. Bila persamaan 2.34 dikalikan k t − Υ dengan 0 〉 k maka persamaannya menjadi 2.42 1 1 k t t k t p t p k t t k t k t t − − − − − − − Υ + Υ Υ + + Υ Υ + Υ = Υ Υ ε φ φ φ K dan dengan mengambil nilai harapannya diperoleh 2.43 1 1 k t t k t p t p k t t k t k t t − − − − − − − Υ Ε + Υ Υ Ε + + Υ Υ Ε + Υ Ε = Υ Υ Ε ε φ φ φ K Persamaan 2.43 menurut definisi 2.2 dan dengan menggunakan persamaan 2.39 serta syarat ketiga white noise dapat ditulis menjadi 2.44 1 1 1 1 2 p k p k p i i i k B − − = + + + − = ∑ γ φ γ φ φ φ γ K Bila persamaan 2.44 dibagi γ maka diperoleh fungsi autokorelasi AR p sebagai berikut 2.45 1 1 1 2 1 2 p k p k p i i i k B − − = + + +       − = ∑ ρ φ ρ φ σ φ φ ρ K PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Persamaan 2.45 merupakan persamaan yule-walker. 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1, k untuk φ ρ φ φ σ φ φ ρ ρ φ ρ φ φ σ φ φ ρ − + + +                   − = + + + +       − = = − = − = ∑ ∑ p p p i i i p p p i i i B B K K M K 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2, k − = + + + +       − = = ∑ p p p i i i B ρ φ φ ρ φ σ φ φ ρ p p p p i i i p B p φ ρ φ ρ φ σ φ φ ρ + + + +       − = = − − = ∑ K 2 2 1 1 2 1 2 1 , k Fungsi Autokorelasi Parsial PACF untuk AR p 2 1 1 2 1 2 1 11 1 1 1, k untuk φ ρ φ φ σ φ φ ρ φ − + + +                   − = = = − = ∑ p p p i i i B K M PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 1 1 1 1 1 , 3 2 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 1 1 1 2 1 L M L M M M L L L M M M M M L L − − − − − − − − = = p p p p p p p p p pp p k ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ . untuk , p k kk 〉 = φ Autokorelasi parsial akan nol setelah lag p atau kurva akan terputus setelah suku ke- p . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 32

BAB III MODEL ARCH

A. ARCH

Autoregressive Conditional Heteroscedastic ARCH merupakan model autoregresif dalam keadaan variansi tidak konstan. Masalah yang dihadapi ketika berhadapan dengan data runtun waktu adalah masalah variabilitas, yang menentukan seberapa cepat data berubah menurut waktu. Variabilitas menjadi bagian sangat penting ketika sebuah sistem lebih bersifat stokastik dari pada deterministik. Dalam sistem stokastik sendiri juga masih dibedakan antara data runtun waktu dengan variabilitas konstan atau variabilitas tidak konstan. Suatu besaran yang dapat mengukur variabilitas adalah variansi. Variansi mengukur harapan seberapa besar nilai suatu data runtun waktu berbeda terhadap rata-rata data keseluruhan. Engle 1982 menunjukkan bahwa model runtun waktu, rata-rata dan variansinya dapat dicari secara bersamaan. Dengan manunjukkan bahwa ramalan bersyarat lenih unggul dari pada yang tidak bersyarat. Sebagai contoh, kita miliki AR1 3.1 1 1 t t t ε φ φ + Υ + = Υ − dan ingin meramalkan 1 + Υ t yaitu ramalan satu langkah kedepan. Ramalan bersyarat untuk 1 1 1 + + + Υ + = Υ t t t ε φ φ dapat dinyatakan sebagai berikut: 1 1 1 + + + Υ + Ε = Υ Υ Ε t t t t ε φ φ 3.2 1 1 1 t t t Υ + = Ε + Υ Ε + Ε = + φ φ ε φ φ Sedangkan bila digunakan ramalan tak bersyarat dengan memperhatikan persamaan 2.16 maka nilai harapan adalah 3.3 1 1 1 φ φ − = Υ Ε + t Bila kita gunakan rata-rata bersyarat 3.2 untuk mencari nilai variansi bersyarat, akan diperoleh [ ] [ ] [ ] 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 + + + + + + Ε = Υ − − + Υ + Ε = Υ − − Υ Ε = Υ Υ Ε − Υ Ε = Υ Υ t t t t t t t t t t t Var ε φ φ ε φ φ φ φ karena = Ε t ε maka 3.4 2 1 2 1 2 1 2 1 σ ε ε ε ε = = Ε − Ε = Ε + + + + t t t t Var Sedangkan bila digunakan ramalan tak bersyarat dengan memperhatikan persamaan 2.11 maka variansi tidak bersyarat dari 3.5 1 2 1 2 1 φ σ − = Υ + t Var PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Bila 1 1 1 maka 1 2 1 1 ≥ − 〈 〈 φ φ sehingga ramalan tidak bersyarat mempunyai variansi yang lebih besar, dengan alasan inilah ramalan bersyarat lebih digemari. Bila variansi bersyarat t Υ dependen terhadap waktu maka disebut heteroskedastisitas. Suatu pendekatan menggambarkan kuadrat dari t ε dapat ditulis dalam proses AR 1 sebagai berikut 3.6 2 1 1 2 t t t u + + = − ε α α ε Dengan t u merupakan white noise baru, 〉 α dan . 1 ≥ α Persamaan 3.6 merupakan pesamaan Autoregressive Conditional Heteroscedastic orde 1 ARCH 1. Sebagai alternatif persamaan 3.6, dapat dinyatakan dalam bentuk multiplikatif yang diusulkan Engle 1982 sebagai berikut 3.7 t t t h v = ε dengan 2 1 1 − + = t t h ε α α dan t v berdisribusi normal standar. Bila persamaan 3.7 kedua sisi dikuadratkan dan 2 t ε menggunakan persamaan 3.6 maka persamaannya menjadi 1 2 2 − = + = t t t t t t t v h u u h v h Berikut ini beberapa sifat yang dimiliki oleh model ARCH 1: a. Nilai harapan t ε sama dengan nol. Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan persamaan 3.9, sehingga akan diperoleh nilai harapan galat sebagai berikut 2 1 1 2 1 1 2 1 1 t = + Ε = + Ε Ε = + Ε = Ε − − − t t t t t v v ε α α ε α α ε α α ε b. Bila 1 1 〈 α maka galat t ε mempunyai variansi tidak bersyarat yang konstan. Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan 2 t t t Var ε ε ε Ε − Ε = 2 t ε Ε = 2 3 2 2 2 1 3 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − + + + Ε = + + + Ε = + + Ε = + + Ε = + Ε = + Ε Ε = + Ε = t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t v v v v v v v v v v v v v ε α α α α α α ε α α α α α α ε α α α α ε α α α α ε α α ε α α ε α α PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI