Fungsi Autokorelasi Parsial PACF Autoregresif AR
Nilai harapan
t
Υ pada persamaan 2.25 dapat dicari dengan mengingat syarat pertama white noise adalah
2.26
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
Υ +
=
Ε
+ Υ
Ε +
Ε =
+ Υ
+ Ε
= Υ
Ε
∑ ∑
∑ ∑
∑
− =
− =
− −
= −
= −
− =
t t
i i
t i
i t
i t
t i
i t
i i
t i
t t
i i
t
φ φ
φ ε
φ φ
φ φ
ε φ
φ φ
φ
Sedangkan nilai harapan dari
k t
−
Υ dengan mengingat syarat pertama white noise adalah
2.27
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
Υ +
=
Ε
+ Υ
Ε +
Ε =
+ Υ
+ Ε
= Υ
Ε
− −
− =
− −
= −
− −
− −
= −
− =
− −
= −
− −
−
∑ ∑
∑ ∑
∑
k t
k t
i i
k t
i i
k t
i k
t k
t i
i k
t i
k t
i i
k t
i k
t i
k t
φ φ
φ ε
φ φ
φ φ
ε φ
φ φ
φ
Persamaan 2.26 dan 2.27 keduanya dependen terhadap waktu. Karena
k t
t −
Υ Ε
≠ Υ
Ε maka
{ }
t
Υ tidak stasioner.
Teorema 2.5
bila
1
1
〈
φ maka
I.
k t
−
1
φ akan konvergen ke nol untuk t mendekati tak hingga
∞ →
t
2.28 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
II. ...
1
3 1
2 1
1 1
1
+ +
+ +
=
∑
− −
=
φ φ
φ φ
φ φ
k t
i i
konvergen ke
1
1
φ φ
−
o
2.29 Bukti:
I. Karena
1
1
〈
φ maka
lim
1
=
− ∞
→ k
t t
φ
II. Karena ...
1
3 1
2 1
1 1
1
+ +
+ +
=
∑
− −
=
φ φ
φ φ
φ φ
k t
i i
merupakan deret geometri yang
konvergen dengan
1
dan φ
φ =
= r
a maka
1
1 1
φ φ
− =
− r a
■
Jadi untuk
∞ →
t
dan
1
1
〈
φ ,
2.30 1
lim lim
1 1
1 1
1 1
1
∑ ∑
∑
∞ =
− −
= −
− =
∞ →
∞ →
+ −
=
+
Υ +
= Υ
i i
t i
t i
i t
i t
t i
i t
t t
ε φ
φ φ
ε φ
φ φ
φ
Nilai harapan
t
Υ dengan menggunakan persamaan 2.30 dan mengingat syarat pertama white noise adalah
2.31 1
1 1
1 1
1 1
1
φ φ
ε φ
φ φ
ε φ
φ φ
− =
Ε +
− Ε
=
+
− Ε
= Υ
Ε
∑ ∑
∞ =
− ∞
= −
i i
t i
i i
t i
t
Terlihat bahwa rata-rata dari
t
Υ berhingga dan independen terhadap waktu. Jadi
. semua
untuk 1
1
t
k t
t
φ φ
− =
Υ Ε
= Υ
Ε
−
Nilai variansi
t
Υ dengan menggunakan persamaan 2.30, 2.31 dan mengingat syarat kedua white noise adalah
2.32 1
... ...
1 1
2 1
2 2
4 1
2 2
1 2
2 2
4 1
2 1
2 1
2 2
1 2
1 1
1 2
φ σ
σ φ
σ φ
σ ε
φ ε
φ ε
ε φ
φ φ
ε φ
φ φ
− =
+ +
+ =
+ Ε
+ Ε
+ Ε
=
Ε
=
−
− +
− Ε
= Υ
Ε −
Υ Ε
= Υ
− −
∞ =
− ∞
= −
∑ ∑
t t
t i
i t
i i
i t
i t
t t
Var
yang juga berhingga dan independen terhadap waktu. Nilai kovariansi
t
Υ dengan mengingat persamaan 2.30, syarat kedua white noise dan persamaan 2.31 adalah
Ε =
− −
+ −
− −
+ −
Ε =
Υ Ε
− Υ
Υ Ε
− Υ
Ε =
Υ Υ
∑ ∑
∑ ∑
∞ =
− −
∞ =
− ∞
= −
− ∞
= −
− −
−
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
,
i i
k t
i i
i t
i i
i k
t i
i i
t i
k t
k t
t t
k t
t
Kov
ε φ
ε φ
φ φ
ε φ
φ φ
φ φ
ε φ
φ φ
K K
K K
+ Ε
+ Ε
+ Ε
= +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
Ε =
Υ Υ
− −
+ −
− +
− −
− +
− −
− −
− −
− −
+ −
− −
−
2 2
4 1
2 1
2 1
2 1
1 2
1 1
2 1
2 2
1 1
1 1
1 1
1 2
2 1
1 1
,
k t
k k
t k
k t
k k
t k
k t
k k
t k
t k
t k
t k
k t
k t
t t
k t
t
Kov
ε φ
ε φ
ε φ
ε φ
ε φ
ε φ
ε φ
ε ε
φ ε
φ ε
φ ε
φ ε
2.33 1
1
2 1
1 2
4 1
2 1
1 2
φ φ
σ φ
φ φ
σ
− =
+ +
+ =
k k
K
Ternyata nilai kovariansinya berhingga dan tidak berubah terhadap waktu. Jadi bila nilai limit 2.30 digunakan maka deret
{ }
t
Υ akan menjadi stasioner. Fungsi Autokorelasi ACF untuk AR 1 dapat dicari dengan menggunakan
persamaan 2.32 dan 2.33 sebagai berikut
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
1 2
2 1
2 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1 untuk
φ φ
σ φ
σ φ
γ γ
ρ φ
φ σ
φ σ
φ γ
γ ρ
γ γ
ρ
= −
− =
= =
= −
− =
= =
= =
=
k k
k
M
n n
n n
n k
1 2
1 2
2 1
2 1
1 1
φ φ
σ φ
σ φ
γ γ
ρ
= −
− =
= =
Bila . semua
untuk maka
1
1
k
k
〉 〈
〈 ρ
φ Bila
1
1
〈 〈
−
φ maka
k
ρ akan berubah tanda
dari negatif ke positif untuk semua
. 1
≥ k
Fungsi Autokorelasi Parsial PACF untuk AR 1 Untuk
, 1
= k
1 1
11
φ ρ
φ
= =
, 2
= k
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 22
= −
− =
− −
= φ
φ φ
ρ ρ
ρ φ
Karena AR 1 persamaannya hanya berhubungan dengan
1
−
Υ
t
maka untuk
2 ≥
k
nilai
kk
φ bernilai nol. Secara umum dapat ditulis menjadi
≥
= 2
untuk 1
untuk
1
k k
kk
φ φ
Pada proses ini autokorelasi parsial bernilai tidak nol pada lag pertama, yang juga merupakan order dari proses, tetapi bernilai nol untuk lag yang lain.
Bila persamaan 2.23 variabel sebelah kanan hanya dipengaruhi oleh nilai sebelumnya dari variabel tak bebas
t
Υ yang ketinggalan p perioda maka persamaannya disebut autoregresif orde p AR p. Persamaan AR p adalah
2.34
1 t
i t
p i
i t
ε φ
φ
+ Υ
+ =
Υ
− =
∑
Nilai harapan
t
Υ persamaan 2.34 dengan mengingat syarat pertama white noise adalah
t 1
1
ε φ
φ ε
φ φ
Ε +
Υ Ε
+ Ε
=
+
Υ +
Ε =
Υ Ε
∑ ∑
= −
= −
p i
i t
i t
p i
i t
i t
2.35
1
∑
= −
Υ +
=
p i
i t
i
φ φ
sedangkan nilai harapan
k t
−
Υ adalah
2.36
1 k
t 1
1
∑ ∑
∑
= −
− −
= −
− −
= −
− −
Υ +
= Ε
+
Υ
Ε +
Ε =
+ Υ
+ Ε
= Υ
Ε
p i
i k
t i
p i
i k
t i
k t
p i
i k
t i
k t
φ φ
ε φ
φ ε
φ φ
Persamaan 2.35 dan 2.36 keduanya dependen terhadap waktu. Karena
k t
t
−
Υ Ε
≠ Υ
Ε maka
{ }
t
Υ tidak stasioner. Persamaan 2.34 dapat ditulis menjadi
1
t p
i i
t i
t
ε φ
φ +
= Υ
− Υ
∑
= −
2.37
2 2
1 1
t p
t p
t t
t
ε φ
φ φ
φ +
= Υ
− −
Υ −
Υ −
Υ
− −
−
K Apabila persamaan 2.37 ditulis dalam bentuk operator pergeseran mundur dengan
i t
t i
B
−
Υ =
Υ maka persamaannya menjadi
t p
i i
i t
t p
i i
i t
t t
p p
t t
t
B B
B B
B
ε φ
φ ε
φ φ
ε φ
φ φ
φ
+ =
Υ +
= Υ
− Υ
+ =
Υ −
− Υ
− Υ
− Υ
∑ ∑
= =
1 t
1 2
2 1
- 1
K
2.38 1
- 1
1 1
t
∑ ∑
= =
− +
= Υ
p i
i t
p i
i i
B B
φ ε
φ φ
dengan
1
1
≠
∑
= p
i i
i
B
φ .
Nilai harapan
t
Υ persamaam 2.38 dengan mengingat syarat pertama white noise adalah
1 1
1 1
− +
− Ε
= Υ
Ε
∑ ∑
= =
p i
i i
t p
i i
i t
B B
φ ε
φ φ
2.39 1
1 1
1 1
1
∑ ∑
∑
= =
=
− =
− Ε
+
− Ε
=
p i
i i
p i
i i
t p
i i
i
B B
B
φ φ
φ ε
φ φ
Nilai variansi
t
Υ persamaam 2.38 dengan mengingat syarat kedua white noise adalah
2
1 1
1 2
1 1
1
− −
− +
− Ε
= Υ
Ε −
Υ Ε
= Υ
∑ ∑
∑
= =
= p
i i
i p
i i
i t
p i
i i
t t
t
B B
B Var
φ φ
φ ε
φ φ
2.40 1
1
2 1
2 2
1 2
− =
− Ε
=
∑ ∑
= =
p i
i i
p i
i i
t
B B
φ σ
φ ε
Nilai kovariansi
k t
t −
Υ Υ ,
dengan mengingat syarat ketiga white noise adalah
k t
k t
t t
k t
t
Kov
− −
−
Υ Ε
− Υ
Υ Ε
− Υ
Ε =
Υ Υ ,
− −
− +
−
− −
− +
− Ε
=
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
= =
− =
= =
=
p i
i i
p i
i i
k t
p i
i i
p i
i i
p i
i i
t p
i i
i
B B
B B
B B
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
φ φ
φ ε
φ φ
φ φ
φ ε
φ φ
−
− Ε
= Υ
Υ
∑ ∑
= −
= −
p i
i i
k t
p i
i i
t k
t t
B B
Kov
1 1
1 1
, φ
ε φ
ε
2.41 1
2 1
=
− Ε
=
∑
= −
p i
i i
k t
t
B
φ ε
ε
Jadi autoregresi orde p merupakan runtun waktu yang stasioner. Bila persamaan 2.34 dikalikan
k t
−
Υ dengan 0 〉
k maka persamaannya menjadi
2.42
1 1
k t
t k
t p
t p
k t
t k
t k
t t
− −
− −
− −
−
Υ +
Υ Υ
+ +
Υ Υ
+ Υ
= Υ
Υ ε
φ φ
φ K
dan dengan mengambil nilai harapannya diperoleh
2.43
1 1
k t
t k
t p
t p
k t
t k
t k
t t
− −
− −
− −
−
Υ Ε
+ Υ
Υ Ε
+ +
Υ Υ
Ε +
Υ Ε
= Υ
Υ Ε
ε φ
φ φ
K
Persamaan 2.43 menurut definisi 2.2 dan dengan menggunakan persamaan 2.39 serta syarat ketiga white noise dapat ditulis menjadi
2.44 1
1 1
1 2
p k
p k
p i
i i
k
B
− −
=
+ +
+ −
=
∑
γ φ
γ φ
φ φ
γ
K
Bila persamaan 2.44 dibagi γ maka diperoleh fungsi autokorelasi AR p sebagai
berikut
2.45 1
1 1
2 1
2 p
k p
k p
i i
i k
B
− −
=
+ +
+
−
=
∑
ρ φ
ρ φ
σ φ
φ ρ
K PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Persamaan 2.45 merupakan persamaan yule-walker.
2 1
1 2
1 2
1 1
1 2
1 2
1 2
1
1 1
1 1,
k untuk
φ ρ
φ φ
σ φ
φ
ρ ρ
φ ρ
φ φ
σ φ
φ ρ
− +
+ +
−
= +
+ +
+
−
= =
− =
− =
∑ ∑
p p
p i
i i
p p
p i
i i
B B
K K
M K
2 2
1 1
2 1
2 2
1 2,
k
− =
+ +
+ +
− =
=
∑
p p
p i
i i
B
ρ φ
φ ρ
φ σ
φ φ
ρ
p p
p p
i i
i p
B p
φ ρ
φ ρ
φ σ
φ φ
ρ +
+ +
+
−
= =
− −
=
∑
K
2 2
1 1
2 1
2
1 ,
k Fungsi Autokorelasi Parsial PACF untuk AR p
2 1
1 2
1 2
1 11
1 1
1, k
untuk
φ ρ
φ φ
σ φ
φ
ρ φ
− +
+ +
−
= =
=
− =
∑
p p
p i
i i
B K
M PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1 1
1 1
1
,
3 2
1 2
1 1
1 2
1 3
2 1
2 1
1 1
2 1
L M
L M
M M
L L
L M
M M
M M
L L
− −
− −
− −
− −
= =
p p
p p
p p
p p
p pp
p k
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ
φ
. untuk
, p
k
kk
〉 =
φ Autokorelasi parsial akan nol setelah lag p atau kurva akan terputus setelah suku ke-
p . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32