Pengujian Adanya Efek ARCH Dalam Data Runtun Waktu

85811 , 33 10 355 229349 , 10 420 ˆ ˆ 1 1 = − = Υ − Υ = ∑ ∑ − n n t t β β 1 1 1 ˆ 22935 , 85811 , 33 ˆ ˆ ˆ ˆ − − Υ + = Υ + = Υ t t t β β Nilai galat dapat dihitung dengan t t t Υ − Υ = ˆ ε t t Υ 1 − Υ t t Υˆ t ε 2 t ε 1 30 33,85811 -3,85811 14,88501 2 20 30 40,73861 -20,73861 430,08994 3 45 20 38,44511 6,55489 42,96658 4 35 45 44,17886 -9,17886 84,25147 5 30 35 41,88536 -11,88536 141,26178 6 60 30 40,73861 19,26139 371,00114 7 40 60 47,61911 -7,61911 58,05084 8 50 40 43,03211 6,96789 48,55149 9 45 50 45,32561 -0,32561 0,10602 10 65 45 44,17886 20,82114 433,51987 2. Regresi kuadrat galat { } 2 t ε dalam persamaan 2 1 1 2 − + = t t ε α α ε t 2 t ε 2 1 − t ε 2 1 2 − t t ε ε 4 1 − t ε 1 14,88501 - - - 2 430,08994 14,88501 6401,89432 221,56361 3 42,96658 430,08994 18.479,49527 18.4977,36056 4 84,25147 42,96658 3.619,99781 1.846,12725 5 141,26178 84,25147 11.901,51294 7.098,31035 6 371,00114 141,26178 52.408,28295 19.954,89115 7 58,05084 371,00114 21.536,92705 137.641,84939 8 48,55149 58,05084 2.818,45470 3.369,89970 9 0,10602 48,55149 5,14752 2.357,24728 10 433,51987 0,10602 45,96259 0,01124 ∑ = 68416 , 624 . 1 2 t ε ∑ = − 16429 , 191 . 1 2 1 t ε ∑ = − 67516 , 217 . 117 2 1 2 t t ε ε ∑ = − 26052 , 467 . 357 4 1 t ε Nilai α dapat diduga dengan 35397 , 16429 , 191 . 1 26052 , 467 . 357 10 16429 , 191 . 1 68416 , 624 . 1 67516 , 217 . 117 10 ˆ 2 2 2 1 4 1 2 1 2 2 2 1 1 − = − − = − − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − − − t t t t t t n n ε ε ε ε ε ε α PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 63208 , 204 10 16429 , 191 . 1 35397 , 10 68416 , 624 . 1 ˆ ˆ 2 1 1 2 = − = − = ∑ ∑ − n n t t ε α ε α 2 1 2 1 1 2 ˆ 35397 , 63208 , 204 ˆ ˆ ˆ ˆ − − − = + = t t t ε ε α α ε 46842 , 162 10 68416 , 1624 2 2 = = = ∑ n t t ε ε t 2 t ε 2 1 − t ε 2 ˆ t ε 2 2 2 ˆ t t ε ε − 2 2 2 t t ε ε − 1 14,88501 - 204,63208 1.777,77457 21.780,86089 2 430,08994 14,88501 199,36323 1.361,22745 71.621,28267 3 42,96658 430,08994 52,39314 12.116,56587 14.280,68810 4 84,25147 42,96658 189,42320 726,56031 6.117,89049 5 141,26178 84,25147 174,80959 152,30450 449,72131 6 371,00114 141,26178 154,62965 61,44630 43.485,89898 7 58,05084 371,00114 73,30880 7.949,43626 10.903,03075 8 48,55149 58,05084 184,08383 467,22592 12.977,06578 9 0,10602 48,55149 187,44631 623,89513 26.361,54701 10 433,51987 0,10602 204,59455 1.774,61129 73.468,89124 09597 , 87721 , 446 . 281 04760 , 011 . 27 ˆ 2 2 2 2 2 2 2 = = − − = ∑ ∑ t t t t R ε ε ε ε 9597 , 09597 , 10 2 = = TR 84 , 3 1 2 05 . = χ Karena 2 2 χ 〈 TR maka Η diterima. Jadi tidak terdapat efek ARCH dalam data runtun waktu tersebut.

C. Fungsi Likelihood ARCH

Bila persamaan 3.9 t ε diasumsikan berdistribusi normal dengan t ψ adalah himpunana informasi yang diketahui pada waktu t maka asumsi normalitasnya dengan menggunakan densitas bersyarat adalah sebagai berikut 3.11 , 1 t t t h Ν ≈ − ψ ε Sedangkan fungsi densitasnya dengan q α α α γ , , , 1 K = adalah t t t t t t t t h h f v v f f 1 ; 1         = ∂ ∂ = − ε ε γ ψ ε PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 3.12 2 exp 2 1 2 exp 2 1 ; 2 2 1 2 1       − =                     − = − − t t t t t t t t h h h h f ε π ε π γ ψ ε Fungsi likelihood untuk sampel berukuran T dinyatakan sebagai berikut 3.13 ; , , 2 exp 2 ; , ; ; , , , 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 γ ε ε ε π γ ε ε γ ψ ε γ ε ε ε q T q t t t t q T q t t t T T f h h f f f K K K               − =       = ∏ ∏ + = − + = − − Bila t L fungsi log likelihood untuk observasi ke t dari sampel berukuran T maka                       − = ∏ + = − γ ε ε ε π ; , , 2 exp 2 ln 1 1 2 2 1 q T q t t t t t f h h L K 3.14 ; , , ln ln 2 1 2 ln 2 1 ; , , ln 2 ln 2 1 2 ln 2 1 1 1 2 1 1 2 1 γ ε ε ε π γ ε ε ε π q T q t t t t q T q t t t t T q t f h h q T f h h q T K K +               + − + − − = + − − + − − = ∑ ∑ ∑ + = + = + = Dalam praktek γ ε ε ; , , ln 1 q f K biasanya diabaikan sehingga bentuk log likelihood menjadi 3.15 ln 2 1 2 ln 2 1 1 2               + − + − − = ∑ + = T q t t t t t h h q T L ε π Persamaan 3.15 disebut maksimum likelihood. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Contoh 3.2 Diberikan nilai-nilai galat 1 , 1 = ε , 2 , 2 = ε , 1 , 3 − = ε . Dengan menggunakan fungsi maksimum likelihood tentukan persamaan ARCH 1. Penyelesaiannya sebagai berikut : Fungsi maksimum likelihood ARCH 1 adalah 3.16 ln 2 1 2 ln 2 3 3 2 2 1 1 2 2 1 1               + + + − − = ∑ = − − t t t t t L ε α α ε ε α α π Parameter α dapat diduga dengan mencari turunan pertama t L terhadap α sebagai berikut : Turunan pertama t L terhadap α adalah ∑ ∑ = − − = − −         + − + − =               + + + − − ∂ ∂ = ∂ ∂ 3 2 2 2 1 1 2 2 1 1 3 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 ln 2 1 2 ln 2 3 ˆ ˆ t t t t t t t t t L ε α α ε ε α α ε α α ε ε α α π α α Karena ˆ = ∂ ∂ α t L maka 3.17 1 2 1 3 2 2 2 1 1 2 2 1 1 =         + − + − ∑ = − − t t t t ε α α ε ε α α PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Turunan pertama t L terhadap 1 α adalah ∑ ∑ = − − − − = − −         + − + − =               + + + − − ∂ ∂ = ∂ ∂ 3 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 3 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 ln 2 1 2 ln 2 3 ˆ ˆ t t t t t t t t t t t L ε α α ε ε ε α α ε ε α α ε ε α α π α α Karena ˆ 1 = ∂ ∂ α t L maka 3.18 2 1 3 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 =         + − + − ∑ = − − − − t t t t t t ε α α ε ε ε α α ε Persamaan 3.17 dapat ditulis menjadi 0,000001 - 0,000004 0,0001 0,0002 - 0,0008 0,02 0,01 - 0,04 0,000064 - 0,000016 0,0016 0,0032 - 0,0008 0,08 0,04 - 0,01 0001 , 02 , 01 , 04 , 0016 , 08 , 04 , 01 , 04 , 01 , 04 , 01 , 04 , 01 , 2 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 3 2 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 3 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 3 2 2 1 1 2 2 1 1 = + + + + + + + + + + + = + + − + + + + − + = + − + + + − + =       + − + ∑ = − − α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α ε α α ε ε α α t t t t 0,000065 - 00002 , 0,0034 - 0,0033 0,15 05 , 2 2 1 3 1 1 2 1 1 2 2 3 = + + + − α α α α α α α α α α 3.19 000065 , 0,00002 0034 , 0033 , 0,15 05 , 2 2 1 1 1 1 2 = − + − + + − α α α α α α α α