Teorema 2.2
Bila
t
ε white noise maka
t
ε stasioner. Bukti:
Pertama karena =
Ε
t
ε dan 0 suatu konstanta maka syarat pertama stasioner
dipenuhi. Kedua karena
= Ε
t
ε dan
2 2
σ ε =
Ε
t
maka
2 2
2 2
σ ε
ε ε
ε ε
= Ε
= −
Ε =
Ε −
Ε =
t t
t t
t
Var
Yang berarti syarat kedua stasioner dipenuhi. Ketiga karena
t
t
setiap untuk
= Ε
ε dan
s t
s t
≠ =
Ε setiap
untuk ε
ε maka
,
= Ε
= −
− Ε
= Ε
− Ε
− Ε
=
− −
− −
−
k t
t k
t t
k t
k t
t t
k t
t
Kov
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
Yang berarti syarat ketiga stasioner dipenuhi. Jadi terbukti bahwa
t
ε stasioner. ■ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
B. Fungsi Autokovariansi dan Fungsi Autokorelasi ACF
Definisi 2.2:
Autokovariansi antara
t
Υ dan
k t
−
Υ didefinisikan sebagai 2.18
,
k k
t k
t t
t k
t t
Kov γ
= Υ
Ε −
Υ Υ
Ε −
Υ Ε
= Υ
Υ
− −
−
Teorema 2.3
Bila
t
Υ runtun waktu stasioner maka
t
Var Υ
= γ
dan
k k
−
= γ
γ .
Bukti:
t t
t t
t t
t t
t
Var Kov
Υ =
Υ Ε
− Υ
Ε =
Υ Ε
− Υ
Υ Ε
− Υ
Ε =
Υ Υ
= ,
2
γ
dengan mengingat syarat ketiga stasioner sehingga
, ,
k t
t k
t t
k
Kov Kov
+ −
Υ Υ
= Υ
Υ =
γ
k −
= γ
■
Fungsi autokovariansi merupakan plot dari
k
γ terhadap lag
. k
Fungsi korelasi digunakan untuk mengetahui sejauh mana hubungan antara satu kelompok data dengan satu kelompok data lainnya. Sedangkan fungsi autokorelasi
merupakan perkembangan lebih lanjut dari fungsi korelasi. Fungsi autokorelasi digunakan untuk mengetahui apakah suatu data pada waktu tertentu dipengaruhi oleh
data pada waktu sebelumnya dan juga digunakan untuk mengetahui apakah suatu data stasioner atau tidak stasioner. Stasioneritas sangat diperlukan karena untuk
mempermudah melakukan peramalan.
Definisi 2.3 :
Didalam runtun waktu korelasi antara
t
Υ dan
k t
−
Υ disebut autokorelasi bila
2.19 ,
,
2 2
k t
k t
t t
k t
k t
t t
k t
t k
t t
k t
t
Var Var
Kov Korr
− −
− −
− −
−
Υ Ε
− Υ
Ε Υ
Ε −
Υ Ε
Υ Ε
− Υ
Υ Ε
− Υ
Ε =
Υ Υ
Υ Υ
= Υ
Υ
Karena syarat kedua stasioner dan sifat pertama autokovariansi persamaan 2.19 menjadi
2.20 ,
2
k k
t t
k t
k t
t t
k t
t
Korr ρ
γ γ
= =
Υ Ε
− Υ
Ε Υ
Ε −
Υ Υ
Ε −
Υ Ε
= Υ
Υ
− −
−
Teorema 2.4
Bila
t
Υ runtun waktu stasioner maka 1
= ρ
dan
k k
−
= ρ
ρ .
Bukti:
1 =
=
γ γ
ρ
Menggunakan Teorema 2.3 maka diperoleh
γ γ
γ γ
ρ
k k
k −
= =
k −
= ρ ■
Fungsi autokorelasi merupakan plot dari
k
ρ terhadap lag
. k
Dalam praktek kita bisa menggunakan autokorelasi sampel, dengan mengasumsikan
t
Υ stasioner sehingga
1 −
Υ =
Υ =
Υ
t t
dan
k t
t
Var Var
−
Υ =
Υ sebagai berikut:
1 1
,
1 2
1
− Υ
− Υ
−
Υ
− Υ
Υ −
Υ =
Υ Υ
Υ Υ
=
∑ ∑
= +
= −
− −
n n
Var Var
Kov
n t
t n
k t
k t
t k
t t
k t
t k
ρ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2.21
1 2
1
∑ ∑
= +
= −
Υ −
Υ Υ
− Υ
Υ −
Υ =
n t
t n
k t
k t
t k
ρ
C. Fungsi Autokorelasi Parsial PACF
Fungsi autokorelasi parsial PACF digunakan untuk menunjukkan keeratan hubungan antara
. dan
k t
t −
Υ Υ
Definisi 2.4 :
Autokorelasi parsial didefinisikan sebagai berikut: 2.22
k k
kk
Μ Η
= φ
dengan
k k
Η Μ dan
adalah matriks autokorelasi
k k
×
, yaitu
= Μ
− −
− −
− −
1 1
1 1
3 2
1 3
1 2
2 1
1 1
2 1
L M
M M
M M
L L
L
k k
k k
k k
k
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
Sedangkan
k
Η adalah
k
Μ yang kolom terakhirnya diganti
k
ρ ρ
ρ
M
2 1
dapat ditulis
menjadi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI