Fungsi Likelihood ARCH MODEL ARCH

Turunan pertama t L terhadap 1 α adalah ∑ ∑ = − − − − = − −         + − + − =               + + + − − ∂ ∂ = ∂ ∂ 3 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 3 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 ln 2 1 2 ln 2 3 ˆ ˆ t t t t t t t t t t t L ε α α ε ε ε α α ε ε α α ε ε α α π α α Karena ˆ 1 = ∂ ∂ α t L maka 3.18 2 1 3 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 =         + − + − ∑ = − − − − t t t t t t ε α α ε ε ε α α ε Persamaan 3.17 dapat ditulis menjadi 0,000001 - 0,000004 0,0001 0,0002 - 0,0008 0,02 0,01 - 0,04 0,000064 - 0,000016 0,0016 0,0032 - 0,0008 0,08 0,04 - 0,01 0001 , 02 , 01 , 04 , 0016 , 08 , 04 , 01 , 04 , 01 , 04 , 01 , 04 , 01 , 2 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 3 2 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 3 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 3 2 2 1 1 2 2 1 1 = + + + + + + + + + + + = + + − + + + + − + = + − + + + − + =       + − + ∑ = − − α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α ε α α ε ε α α t t t t 0,000065 - 00002 , 0,0034 - 0,0033 0,15 05 , 2 2 1 3 1 1 2 1 1 2 2 3 = + + + − α α α α α α α α α α 3.19 000065 , 0,00002 0034 , 0033 , 0,15 05 , 2 2 1 1 1 1 2 = − + − + + − α α α α α α α α Bila persamaan 3.19 diturunkan terhadap α maka persamaannya menjadi 3.20 0034 , 0033 , 1 , 2 0034 , 0033 , 15 , 15 , 2 05 , 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 = + − + − = − + − + − − α α α α α α α α α α α α Sedangkan persamaan 3.18 dapat ditulis menjadi 3.21 3 2 2 1 1 2 1 2 4 1 1 2 1 =       + − + ∑ = − − − − t t t t t t ε α α ε ε ε α ε α 0,00000004 - 0,00000016 0,000004 0,000008 - 0,000032 0,0008 0,0004 - 0,0016 04 , 0,00000064 - 0,00000016 0,000016 0,000032 - 0,000008 0,0008 0,0004 - 0,0001 01 , 0001 , 02 , 0004 , 0016 , 04 , 0016 , 08 , 0004 , 0001 , 01 , 04 , 0004 , 0016 , 04 , 01 , 0004 , 0001 , 01 , 2 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 3 2 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 3 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 = + + + + + + + + + + + = + + − + + + + − + = + − + + + − + α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α 0,00000068 - 00000032 , 0,00004 - 0,00006 0,0033 0008 , 0,05 2 1 3 1 1 2 1 1 2 2 3 = + + + − α α α α α α α α α α 3.22 00000068 , 0,00000032 00004 , 00006 , 0,0033 0008 , 0,05 2 1 1 1 1 2 = − + − + + − α α α α α α α α Bila persamaan 3.22 diturunkan terhadap 1 α maka persamaannya menjadi 3.23 00000136 , 00000032 , 00004 , 0033 , 2 00000068 , 00000032 , 00000032 , 00004 , 0006 , 0033 , 0006 , 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 = + − + − = − − + − + − α α α α α α α α α α α α Bila persamaan 3.20 dan 3.23 dibentuk eliminasi dengan mengalikan 2500 pada persamaan 2.23 maka persamaannya menjadi 0034 , 0033 , 1 , 2 1 2 1 2 = + − + − α α α α 0034 , 0008 , 1 , 25 , 8 1 2 1 2 = + − + − α α α α 0025 , 25 , 6 2 1 2 = − α α 02 , 0,0004 6,25 0,0025 1 2 1 2 1 2 α α α α α = = = Subtitusikan 1 02 , α α = kedalam persamaan 3.20 sehingga diperoleh 317 , 1 0041 , 0054 , atau 0054 , 0041 , 0054 , 0041 , 0034 , 0033 , 002 , 0008 , 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 = = = = + − = + − = + − + − α α α α α α α α α α 02634 , 317 , 1 02 , = = α Jadi persamaan model ARCH 1 adalah 2 1 317 , 1 02634 , − + = t t t v ε ε 53

BAB IV Penerapan Model ARCH Pada Data Harga Saham Composite Index

Studi kasus ini menggunakan data harga saham Composite Index , dari tanggal 03 januari 2005 sampai dengan 29 desember 2005. Data tercantum dalam lampiran diambil dari situs http: finance.yahoo.com banyaknya observasi yang digunakan sebanyak 243. Analisis data menggunakan program eviws dan minitab.

A. Identifikasi Model Awal

Langkah awal dari pembentukan model yaitu dengan mengenali sifat data asli. Gambar 1 merupakan plot dari data asli saham Composite Index . Sumbu y menyatakan harga saham, sedangkan sumbu x menyatakan waktu atau tanggal. Data asli saham Composite Index dinotasikan dengan t Υ . 2 4 0 2 1 6 1 9 2 1 6 8 1 4 4 1 2 0 9 6 7 2 4 8 2 4 1 1 2 0 0 1 1 5 0 1 1 0 0 1 0 5 0 1 0 0 0 Gambar 1 Pada gambar 1 terlihat bahwa data asli memiliki bentuk trend. Kemudian plot ACF data asli. Lag Au to c o rr e la ti o n 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Autocorrelation Function for y w ith 5 significance limits for the autocorrelations Gambar 2 Gambar 2 terlihat bahwa nilai autokorelasi setelah lag kedua atau ketiga jauh diatas garis batas toleransi. Hal ini menandakan bahwa data asli tidak stasioner. Untuk me- rubah kebentuk stasioner maka data asli perlu dilakukan differencing. Sehingga diperoleh data runtun waktu baru. Data runtun waktu hasil differencing pertama dari t Υ dinotasikan t W dengan 4.1 1 − Υ − Υ = t t t W PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Gambar 3 dibawah ini merupakan plot dari data setelah dilakukan differencing satu kali. 2 4 0 2 1 6 1 9 2 1 6 8 1 4 4 1 2 0 9 6 7 2 4 8 2 4 1 5 0 2 5 - 2 5 - 5 0 Gambar 3 Pada gambar 3 memperlihatakan bahwa data setelah dilakukan differencing satu kali sudah stasioner. Kemudian kita lihat plot ACF dan PACF dari t W . Gambar 4 merupakan plot ACF dari t W . Terlihat setelah lag pertama semua lag berada dibawah batas toleransi. L a g A u to c o rrel a ti o n 2 4 0 2 2 0 2 0 0 1 8 0 1 6 0 1 4 0 1 2 0 1 0 0 8 0 6 0 4 0 2 0 1 1 , 0 0 , 8 0 , 6 0 , 4 0 , 2 0 , 0 - 0 , 2 - 0 , 4 - 0 , 6 - 0 , 8 - 1 , 0 A u t o c o r r e l a t i o n F u n c t i o n f o r w w i t h 5 s i g n i f i c a n c e l i m i t s f o r t h e a u t o c o r r e l a t i o n s Gambar 4 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Gambar 5 dibawah ini menunjukkan plot PACF untuk W. Terlihat hampir semua lag berada dibawah batas toleransi. Hal ini menunjukkan datanya stasioner. Ada tiga lag yang melewati garis toleransi, ini menunjukkan adanya proses AR 3. La g P a rt ia l A u to c o rr e la ti o n 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 P ar tial Autocor r elation F unction for w w ith 5 significance lim its for the partial autocorrelations Gambar 5 Sebelum mencari model sesungguhnya dari proses ARCH, harus diduga terle- bih dahulu model awal dari data. Sehingga menghasilkan galat yang digunakan untuk menduga nilai parameter dari model ARCH. Pada data diasumsikan model awal se- bagai proses dari AR3. Dari lampiran 2 dapat dibentuk model awal sebagai berikut 4.2 0,106073 075319 , 167782 , 531874 , 3 2 1 − − − + − + = t t t t W W W W Bila persamaan 4.2 t W menggunakan persamaan 4.1 maka persamaannya menjadi 4.3 0,106073 075319 , 167782 , 531874 , 4 3 3 2 2 1 1 − − − − − − − Υ − Υ + Υ − Υ − Υ − Υ + = Υ − Υ t t t t t t t t