Dimana minx dan maxx adalah variabel maksimum dan minimum x yang dapat diperoleh.
Prof. Dr. Sudjana, M.A, M.Sc akan ditentukan hubungan antara Y dan
X
1
, X
2
, … , X
k
sehingga didapat regresi Y atas X
1
, X
2
, … , X
k
. Yang akan ditinjau disini hanyalah garis regresi sederhana ialah yang dikenal dengan nama regresi
linear berganda. Model regresi linear ganda atas X
1
, X
2
, … , X
k
akan ditaksir oleh :
̂ Metode Pivot mengevaluasi sebuah determinan melalui urutan determinan
secara sistematis dikurangi langkah demi langkah, unsur utama memerankan peranan lebih penting daripada elemen lainnya. Perhatikan determinan berikut :
|| ||
Setelah dievaluasi dengan Metode Pivot, maka diperoleh rumus dasar Metode Pivot sebagai berikut :
| |
1.7 Metodologi Penelitian
Adapun metodologi penelitian yang dilakukan adalah : 1. Melakukan pengumpulan data dari Badan Pusat Statistik Padang Lawas
Universitas Sumatera Utara
2. Mencari sumber atau penelitian yang terkait 3. Mengutip teori-teori yang mendukung penelitian
4. Melakukan transformasi logaritma terhadap data tersebut 5. Melakukan analisis regresi linier bergadan dengan cara
5.1 Mencari nilai determinan dari data tersebut 5.2 Mencari nilai kofaktor
5.3 Melakukan kofaktor transpose 5.4 Mencari nilai inversnya dengan mengalikan determinan terhadap
kofaktor transpose 5.5 Mencari nilai koefisien regresi dengan nilai Y
5.6 Mendefinisikan hasil koefisien data tersebut 6. Menbuat kesimpulan dari data tersebut
6.1 mengalikan nilai invers
Universitas Sumatera Utara
BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Analisis Regresi
Hubungan antara variabel terikat Y dengan variabel bebas biasanya dilukiskan dalam sebuah garis, yang disebut dengan garis regresi. Garis regresi ada yang
berbentuk linear lurus dan juga berbentuk nonlinear Tidak lurus. Model matematis dalam menjelaskan hubungan amtarvariabel dalam
analisis regersi menggunakan persamaan regresi. “Persamaan regresi regressionequastionadalah suatu persamaan matematis yang mendefinisikan
hubungan anatara dua varia bel”. Mason, 1996. Hal: 490
Analisa Regresi berkenaan dengan studi ketergantungan satu variabel tak bebas pada satu atau lebih variabel bebas explanatory variable dengan maksud
menaksir atau meramalkan nilai rata-rata variabel tak bebas. Regersi pertama kali diperkenalkan pada tahun 1877 oleh Sir Francis
Galton, pada penelitiannya terhadap manusia. Penelitian tersebut membandingkan antara tinggi anak lak-laki dan tinggi badan orang tuanya. Istilah regresi pada
mulanya bertujuan untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel tinggi badan anak terhadap suatu variabel yang lain tinggi orangtua. Pada perkembangan
Universitas Sumatera Utara
selanjutnya, analisa regresi digunakan sebagai alat untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel dengan menggunakan beberapa variabel lain yang berhubungan
dengan variabel tersebut. Algafari, 2000 Secara umum, model regresi sederhana dapat dituliskan dalam bentuk :
=
Untuk Populasi 2.4
Model regresi sederhana 2.4 untuk populasi diatas dapat ditaksir berdasarkan sampel acak yang berukuran n dengan model regresi untuk sampel
yaitu :
⏞ =
Untuk Sampel 2.5
Dengan : = Variabel tak bebas
= Variabel bebas explonatory variable = Nilai intercept
= Koefisien regresi = Sisaan
2.1.1 Analisa Regresi Berganda
Dalam analisis regresi berganda terdapat satu variabel tak bebas dan dua atau lebih variabel bebas. Secara umum, persamaan regresi berganda dapat dibuat
dalam bentuk berikut :
Untuk Populasi 2.6
Universitas Sumatera Utara
⏞ =
Untuk Sampel 2.7
Namun dikarenakan adanya perbedaan satuan masing-masing variabel independen, maka analisis regresi dalam penelitian ini menggunakan model
persamaan regresi yang telah ditansformasikan ke dalam logaritma, sehingga persamaannya adalah sebagai betikut :
Log Y =
Alasan menggunakan analisis regresi dalam transformasi log adalah : 1. Parameter
dapat langsung menunjukkan koefisien elastisitas, yaitu persentase perubahan dalam variabel dependen untuk persentase
perubahan tertentu dalam variabel independent. 2. Gejala heteroskedastisitas dapat dikurangi karena transformasi logaritma
akan dapat memperkecil skala variabel-variabel yang diukur.
2.1.2 Metode Matriks 2.1.2.1 Konsep Dasar dan Definisi Matriks
Matriks ialah suatu kumpulan daripada angka-angkasering disebut elemen- elemen yang disusun menurut barisdan kolom sehingga dibentuk empat persegi
panjang, dimana panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom- kolom dan baris-baris. J. Supranto, 1974
Apabila suatu matriks A terdiri dari m baris dan nkolom, maka matriks A ditulis sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
[ ]
Atau disingkat dengan :
Disebut matriks tingkat , karena terdiri dari baris dan kolom.
Setiap disebut unsur dari matriks.
2.1.2.2 Transpose Suatu Matriks
Jika baris-baris dan kolom-kolom dari suatu matriks dipertukarkan baris
pertama menjadi kolom pertama dan seterusnya, maka diperoleh suatu matriks yang disebut tanspos matriks.
Transpos suatu matriks , dilambangkan dengan
, ialah matriks yang diperoleh
dengan mempertukarkan baris dengan lajurnya. Jadi bila,
[ ]
Maka :
[ ]
Universitas Sumatera Utara
2.1.2.3 Penjumlahan Matriks
Dua matriks yang berukuran sama dapat dijumlahkan maupun dikurangkan dengan menambahkan ataupun mengurangkan unsur yang sesuai.
2.1.2.4 Perkalian Matriks
Perkalian dua matriks hanya dapat dikerjakan bila keduanya memenuhi sifat tertentu dan perkalian ini dikerjakan dengan cara yang tertentu pula. Dua matriks
bujur sangkar yang berukuran sama selalu dapat diperkalikan. Sedangkan perkalian
hanya memenuhi arti bila banyaknya jalur sama dengan banyaknya baris
. Jadi bila dinyatakan dengan dengan dan unsur
dinyatakan dengan maka unsur
adalah :
∑
Perhatikan bahwa pada umumnya Bila :
[ ] dan [
]
Maka :
[ ]
Dalam perkalian ini, tidak dapat dilakukan tidak terdefenisi. Akan
tetapi bila dan setangkup dan perkalian terdefinisi maka .
Universitas Sumatera Utara
Perkalian suatu matriks dengan matriks satuan akan menghasilkan matriks itu sendiri.
2.1.2.5 Invers Suatu Matriks
Misalkan suatu matriks bujur sangkar . Suatu matriks ukuran
disebut invers balikan dari bila dipenuhi . Lambang yang biasa
digunakan untuk invers adalah
, jadi .
Tidak mudah menghitung invers suatu matriks kecuali bila ukurannya kecil seperti
, atau bila bentuknya amat sederhana. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar dan bentuknya tidak sederhana biasanya perhitungan
inversnya dikerjakan dengan komputer.
2.1.2.6 Determinan Matriks
Determinan adalah suatu skalar angka yang diperoleh dari suatu matriks bujur sangkar melalui operasi khusus. Disebut perasi khusus karena dalam proses
penurunan determinan dilakukan perkalian-perkalian. Determinan dinotasikan dengan tanda | |.
Salah satu cara dalam perhitungan determinan adalah dengan menggunakan metode Pivot.
Perhatikan determinan :
Universitas Sumatera Utara
|| ||
Elemen kolom ke-2, ke-3, ke-4, dan seterusnya dikalikan dengan dan
sebagai imbalannya dikalikan dengan , diperoleh :
|| ||
Sekarang gandakan elemen-elemen kolom 1 dari persamaan 1 dengan dan seterusnya, dan kurangkan pada kolom ke-2, ke-3, ke-4 dan
seterusnya dari persamaan 1, maka diperoleh :
| |
| |
Ekspansi menurut baris pertama :
| |
| |
| |
Universitas Sumatera Utara
| |
| |
| |
Sehingga diperoleh rumus dasar metode pivot seperti dibawah ini :
| |
Contoh penyelesaian mencari determinan matriks berordo 6 x 6 dengan menggunakan metode pivot,
| |
| |
|| ||
| |
| |
| |
Universitas Sumatera Utara
2.1.2.7 Minor dan Kofaktor suatu Determinan
Diketahui suatu determinan dari suatu matriks tingkat n. Jika elemen-elemen
dari baris ke- dan kolom ke- semuanya dikeluarkan akan terdapat suatu
determinan dari matriks tingkat , yang disebut minor pertama dari matriks
yang dituliskan dengan | |. Harga dari minor ditulis dengan
, disingkat dengan
dari elemen , jadi :
| |
Contoh :
Bila
[ ]
Minor dari adalah :
| | |
| |
| | |
| | |
|
dan seterusnya sampai |
| Sehingga kofaktornya adalah :
| |
| | = |
|
Universitas Sumatera Utara
| |
| | = - |
| |
| |
| =
| | dan seterusnya sampai |
|
2.1.3 Penaksiran Parameter dengan Metode Matriks
Untuk mendapatkan taksiran parameter dari sampel dapat dilakukan dengan taksiran OLS Ordinary Least Square, yaitu dengan cara meminimumkan nilai
sisaan e. persamaan 2.6 ditulis kembali yaitu : 2.8
2.9 Untuk mencari
dilakukan dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat
∑
Dengan menurunkan S secara parsial terhadap dan
samakan dengan nol maka :
∑ = 0
∑ = 0
∑ = 0
…………………………………………………………………………………………………………………………
2.10
∑ = 0
Universitas Sumatera Utara
Setelah disusun kembali dan mengganti semua parameter dengan penaksirnya, sistem persamaan ini dapat ditulis dalam persamaan normal yaitu :
∑ ∑
∑ =
∑ ∑
∑ ∑
∑ =
∑ ∑
∑ ∑
∑ =
∑ …………………………………………………………………………………………………………..
2.11
∑ ∑
∑ ∑
= ∑
Jika persamaan normal dibentuk dalam bentuk matriks maka persamaan 2.11 menjadi :
2.12 Dengan menyelesaikan persamaan 2.12 diperoleh :
Dalam bentuk matriks dapat dituliskan :
[ ]
[ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
] [
∑ ∑
∑
∑ ]
Universitas Sumatera Utara
2.2 Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi adalah ukuran variabel total pada peubah tak bebas yang dapat dijelaskan oleh hubungannya dengan peubah bebas. Koefisien determinasi
dilambangkan dengan R
2
yang bernilai antara 0 – 1. Apabila terdapat suatu
hubungan linear yang sempurna diantara peubah makan koefisien determinasi akan bernilai 1. R
2
sering digunakan sebagai ukuran untuk mengindikasikan seberapa baik garis linear terhadap data. Semakin baik maka R
2
akan mendekati nilai 1 dan sebaliknya.
Untuk menghitung nilai R
2
digunakan rumus :
∑
2.3 Indeks Pembangunan Manusia
Ukuran pembangunan yang digunakan selama ini, yaitu PDB dalam konteks nasional dan PDRB dalam konteks regiobal, hanya mampu memotret
pembangunan ekonomi saja. Oleh karena itu, dibutuhkan suatu indikator yang lebih mampu tidak saja menangkap masalah perkembangan ekonomi saja akan
tetapi juga perkembangan aspek sosial dan kesejahteraan manusia. Pembangunan manusia memiliki banyak dimensi. Menurut Badan Pusat Statistika 2007, Indeks
Pembangunan Manusia IPM merupakan ukuran capaian pembangunan manusia berbasis sejumlah komponen dasar kualitas hidup. Indeks Pembangunan Manusia
IPM menggambarkan beberapa komponen, yaitu capaian umur panjang dan sehat yang mewakili bidang kesehatan, angka melek huruf, partisipasi sekolah dan
rata-rata lamanya bersekolah mengukur kinerja pembangunan bidang pendidikan,
Universitas Sumatera Utara
dan kemampuan daya beli masyarakat terhadap sejumlah kebutuhan pokok yang dilihat dari rata-rata besarnya pengeluaran per kapita.
2.3.1 Konsep Pembangunan Manusia dan Pengukuran
United Nation Development Program UNDP mendefinisikan pembangunan manusia sebagai suatu proses tersebut penduduk. Dalam konsep tersebut
penduduk ditempatkan sebagai tujuan akhir sedangkan upaya pembangunan dipandang sebagai sarana untuk mencapai tujuan itu. Empat hal pokok yang perlu
diperhatikan untuk menjamin tercapainya tujuan pembangunan manusia adalah produktivitas, pemerataan, kesinambungan, pemberdayaan UNDP, 1995:12.
Secara singkat 4 empat hal pokok tersebut mengandung prinsip-prinsip sebagai berikut :
1. Produktivitas Penduduk harus diberdayakan untuk meningkatkan produktivitasnya dan
berpartisipasi penuh dalam proses penciptaan pendapatan nafkah dan lapangan pekerjaan. Pembangunan ekonomi, yang demikian merupakan
himpunan bagian dari model pembangunan manusia. 2. Pemerataan
Penduduk harus memiliki kesempatanpeluang yang sama untuk mendapatkan akses terhadap semua sumber daya ekonomi dan sosial. Semua hambatan yang
memperkecil kesempatan untuk memperoleh akses tersebut harus dihapus, sehingga mereka dapat mengambil manfaat dari kesempatan yang ada dan
berpartisipasi dalam kegiatan produktif yang dapat meningkatkan kualitas hidup.
3. Kesinambungan
Universitas Sumatera Utara
Akses terhadap sumber daya ekonomi dan sosial harus dipastikan tidak hanya untuk generasi-generasi yang akan datang. Semua sumber daya fisik, manusia
dan lingkungan harus selalu diperbaharui. 4. Pemberdayaan
Penduduk harus berpartisipasi penuh dalam keputusan dan proses yang akan menentukan bentukarah kehidupan mereka, serta untuk berpartisipasi dan
mengambil manfaat dari proses pembangunan. Dari 4 empat hal pokok diatas, diperoleh 3 komponen utama dalam
pengukuran indeks pembangunan manusia IPM yaitu indeks kesehatan, indeks pendidikan dan indeks ekonomi.
2.3.2 Komponen Indeks Pembangunan Manusia
Indeks Pembangunan Manusia IPM atau Human Development Index HDI merupakan suatu indeks komposit yang mencakup 3 tiga bidang pembangunan
manusia yang dianggap sangat mendasar yaitu usia hidup longetivity, pengetahuan knowledge, dan standar hidup layak decent living. Secara umum
metode perhitungan Indeks Pembangunan Manusia IPM yang disajikan dalam penelitian ini sesuai dengan metode yang digunakan The United Nations
Development Programme UNDP dalam menghitung Human Development Index HDI.
1. Angka Harapan Hidup Merupakan perkiraan rata-rata lamanya hidup sejak lahir yang mungkin akan
dicapai oleh sekelompok penduduk. Angka harapan hidup ini mencakup bidang kesehatan. Pada komponen angka umur harapan hidup, angka tertinggi
sebagai batas atas untuk perhitungan indeks dipakai 85 tahun dan terendah adalah 25 tahun. Namun melalui sensus penduduk angka harapan hidup di
Universitas Sumatera Utara
Indonesia hanya mencapai sebesar 65,43 tahun. Angka harapan hidup ini dapat dihitung dengan rumus.
Dimana : angka harapan hidup pada umur
hidup antara umur dan meninggal antara umur dan
2. Angka Melek Huruf dan Rata-Rata Lama Sekolah Untuk mengukur dimensi pengetahuan penduduk digunakan dua indikator
yaitu rata-rata lama sekolah dan angka melek huruf. Rata-rata lama sekolah menggambarkan jumlah tahun yang digunakan oleh penduduk usia 15 tahun
ke atas dalam menjalani pendidikan formal. Sedangkan angka melek huruf adalah persentase penduduk usia 15 tahun ke atas yang dapat membaca dan
menulis huruf latin dan huruf lainnya. Indeks pendidikan mempunyai batas maksimum 100 dan minimum 0.
3. Standar Hidup Layak Standar hidup layak dalah dimensi ketiga dari ukuran kualitas hidup manusia.
Dalam cakupan lebih luas standar hidup layak menggambarkan tingkat kesejahteraan yang dinikmati penduduk sebagai dampak semakin membaiknya
ekonomi. Di tabel 2.1 di bawah ini disajikan nilai maksimum dari ketiga komponen
pembentuk Indeks Pembangunan Manusia IPM yang akan membantu kita dalam menghitunng Indeks Pembangunan Manusia IPM.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.1 Tabel Nilai Maksimum dan Minimum Perhitungan Komponen IPM
IndikatorKompone n IPM
NilaiMinimu n
NilaiMaksimu n
Catatan
AngkaHarapanHidu p
25 85
Sesuaistandarnasiona l
AngkaMelekHuruf 100
Sesuaistandarnasiona l
Rata-Rata Lama Sekolah
15 SesuaiStandarnasion
al DayaBeli
732.720 300.000
Sesuaistandarnasiona l
2.3.3 Pemanfaatan Indeks Pembangunan Manusia dalam Perencanaan Pembangunan Daerah
Konsep pembangunan manusia mempunyai cakupan yang sangat luas, melingkupi hampir seluruh aspek kehidupan manusia mulai dari kebebasan untuk menyatakan
pendapat, untuk menyatakan kesetaraan gender, untuk memperoleh pekerjaan, untuk menjaga gizi anak, untuk dapat membaca dan menulis. Indeks
Pembangunan Manusia dilain pihak mempunyai cakupan yang sangat sempit. Meskipun IPM mencoba untuk mengukur tingkat pembangunan manusia, indeks
ini hanya mampu mengukur sebagian saja. Kondisi ini disebabkan berbagai aspek sangat sulit untuk diukur atau dikumpulkan datanya. Namun, IPM lebih memadai
dan lebih menyeluruh sebagai ukuran pembangunan dibanding ukuran tunggal pertumbuhan PDRB per kapita.
Universitas Sumatera Utara
Sebagai ukuran komposit tunggal, IPM antara 0-100 mengartikan tingkatan status pembangunan manusia di suatu wilayah yang kemudian akan
berfungsi sebagai patokan dasar perencanaan jika dibandingkan; 1. Antar waktu untuk memberikan gambaran kemajuan setelah suatu periode,
atau 2. Antar wilayah untuk memberikan gambaran tentang tingkat kemajuan
suatu wilayah relatif terhadap wilayah lain. Untuk lebih memberikan petunjuk tentang status pembangunan manusia
suatu wilayah, sebagai alat ukur komposit, IPM harus dikaitkan dengan setiap indikator dengan setiap indikator komponennya dan berbagai indikator lain yang
relevan. Di sektor perencanaan, pemanfaatan IPM terbatas hanya sebagai patokan dasar. Oleh karena itu, perumusan kebijakan yang lebih terarah, suatu kajian
tentang situasi pembangunan manusia perlu dilakukan di suatu wilayah untuk memberikan petunjuk yang lebih jelas tentang arah kebijakan pembangunan
dimasa yang akan datang. Dalam rumusan kebijakan pembangunan, perlu diperhatikan tingkat
pencapaian setiap tahun. Karena itu kajian tentang pencapaian upaya pembangunan manusia perlu dilakukan suatu periode tertentu, yang memberi
kesempatan untuk mengkaji dampak dari program bagi peningkatan kapasitas dasar penduduk. Tingkat pencapaian setiap tahun menuju status pembangunan
manusia yang ideal yang telah dihasilkan pada suatu periode merupakan validasi bagi kebijakan pembangun yang telah diputuskan pada periode tersebut.
2.4 Kemiskinan
Menurut Badan Pusat Statistik 2010, penetapan perhitungan garis kemiskinan dalam masyarakat adalah masyarakat yang berpenghasilan di bawah Rp. 7.507 per
Universitas Sumatera Utara
orang per hari. Penetapan angka Rp. 7.507 per orang per hari tersebut berasal dari perhitungan garis kemiskinan yang mencakup kebutuhan makanan dan non
makanan. Untuk kebutuhan minimum makanan digunakan patokan 2.100 kilokalori per kapita per hari. Sedang untuk pengeluaran kebutuhan mnimum
bukan makanan meliputi pengeluaran untuk perumahan, pendidikan dan kesehatan.
2.5 Pengeluaran Pemerintah
Pengeluaran pemerintah telah memiliki aturan yang jelas dalam setiap tahunnya yang dianggarkan dalam belanja daerah. Terkhusus untuk bidang pendidikan dan
kesehatan, UU No. 20 tahun 2003 menyebutkan bahwa dana pendidikan selain gaji pendidik dan biaya pendidik dan biaya pendidikan kedinasan dialokasikan
minimal 20 persen dari Anggaran Pendapatan dan Belanja Nasional APBN pada sektor pendidikan dan minimal 20 persen dari APBD.
Dan untuk kesehatan yang diatur pada UU No. 36 Tahun 2009 menyebutkan bahwa besar anggaran kesehatan pemerintah dialokasikan minimal
menyebutkan 5 persen dari APBN diluar gaji, sementara besar anggaran kesehatan pemerintah daerah provinsi dan kabupaten kota dialokasikan sebesar 10 persen
dari APBD diluar gaji. Oleh karena itu, sudah semestinya pemerintah harus dapat menyediakan publik yang memadai dalam rangka peningkatan kualitas
pembangunan manusia yang selanjutnya dapat meningkatkan IPM.
Universitas Sumatera Utara
2.6 PDRB