selanjutnya, analisa regresi digunakan sebagai alat untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel dengan menggunakan beberapa variabel lain yang berhubungan
dengan variabel tersebut. Algafari, 2000 Secara umum, model regresi sederhana dapat dituliskan dalam bentuk :
=
Untuk Populasi 2.4
Model regresi sederhana 2.4 untuk populasi diatas dapat ditaksir berdasarkan sampel acak yang berukuran n dengan model regresi untuk sampel
yaitu :
⏞ =
Untuk Sampel 2.5
Dengan : = Variabel tak bebas
= Variabel bebas explonatory variable = Nilai intercept
= Koefisien regresi = Sisaan
2.1.1 Analisa Regresi Berganda
Dalam analisis regresi berganda terdapat satu variabel tak bebas dan dua atau lebih variabel bebas. Secara umum, persamaan regresi berganda dapat dibuat
dalam bentuk berikut :
Untuk Populasi 2.6
Universitas Sumatera Utara
⏞ =
Untuk Sampel 2.7
Namun dikarenakan adanya perbedaan satuan masing-masing variabel independen, maka analisis regresi dalam penelitian ini menggunakan model
persamaan regresi yang telah ditansformasikan ke dalam logaritma, sehingga persamaannya adalah sebagai betikut :
Log Y =
Alasan menggunakan analisis regresi dalam transformasi log adalah : 1. Parameter
dapat langsung menunjukkan koefisien elastisitas, yaitu persentase perubahan dalam variabel dependen untuk persentase
perubahan tertentu dalam variabel independent. 2. Gejala heteroskedastisitas dapat dikurangi karena transformasi logaritma
akan dapat memperkecil skala variabel-variabel yang diukur.
2.1.2 Metode Matriks 2.1.2.1 Konsep Dasar dan Definisi Matriks
Matriks ialah suatu kumpulan daripada angka-angkasering disebut elemen- elemen yang disusun menurut barisdan kolom sehingga dibentuk empat persegi
panjang, dimana panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom- kolom dan baris-baris. J. Supranto, 1974
Apabila suatu matriks A terdiri dari m baris dan nkolom, maka matriks A ditulis sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
[ ]
Atau disingkat dengan :
Disebut matriks tingkat , karena terdiri dari baris dan kolom.
Setiap disebut unsur dari matriks.
2.1.2.2 Transpose Suatu Matriks
Jika baris-baris dan kolom-kolom dari suatu matriks dipertukarkan baris
pertama menjadi kolom pertama dan seterusnya, maka diperoleh suatu matriks yang disebut tanspos matriks.
Transpos suatu matriks , dilambangkan dengan
, ialah matriks yang diperoleh
dengan mempertukarkan baris dengan lajurnya. Jadi bila,
[ ]
Maka :
[ ]
Universitas Sumatera Utara
2.1.2.3 Penjumlahan Matriks
Dua matriks yang berukuran sama dapat dijumlahkan maupun dikurangkan dengan menambahkan ataupun mengurangkan unsur yang sesuai.
2.1.2.4 Perkalian Matriks
Perkalian dua matriks hanya dapat dikerjakan bila keduanya memenuhi sifat tertentu dan perkalian ini dikerjakan dengan cara yang tertentu pula. Dua matriks
bujur sangkar yang berukuran sama selalu dapat diperkalikan. Sedangkan perkalian
hanya memenuhi arti bila banyaknya jalur sama dengan banyaknya baris
. Jadi bila dinyatakan dengan dengan dan unsur
dinyatakan dengan maka unsur
adalah :
∑
Perhatikan bahwa pada umumnya Bila :
[ ] dan [
]
Maka :
[ ]
Dalam perkalian ini, tidak dapat dilakukan tidak terdefenisi. Akan
tetapi bila dan setangkup dan perkalian terdefinisi maka .
Universitas Sumatera Utara
Perkalian suatu matriks dengan matriks satuan akan menghasilkan matriks itu sendiri.
2.1.2.5 Invers Suatu Matriks
Misalkan suatu matriks bujur sangkar . Suatu matriks ukuran
disebut invers balikan dari bila dipenuhi . Lambang yang biasa
digunakan untuk invers adalah
, jadi .
Tidak mudah menghitung invers suatu matriks kecuali bila ukurannya kecil seperti
, atau bila bentuknya amat sederhana. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar dan bentuknya tidak sederhana biasanya perhitungan
inversnya dikerjakan dengan komputer.
2.1.2.6 Determinan Matriks
Determinan adalah suatu skalar angka yang diperoleh dari suatu matriks bujur sangkar melalui operasi khusus. Disebut perasi khusus karena dalam proses
penurunan determinan dilakukan perkalian-perkalian. Determinan dinotasikan dengan tanda | |.
Salah satu cara dalam perhitungan determinan adalah dengan menggunakan metode Pivot.
Perhatikan determinan :
Universitas Sumatera Utara
|| ||
Elemen kolom ke-2, ke-3, ke-4, dan seterusnya dikalikan dengan dan
sebagai imbalannya dikalikan dengan , diperoleh :
|| ||
Sekarang gandakan elemen-elemen kolom 1 dari persamaan 1 dengan dan seterusnya, dan kurangkan pada kolom ke-2, ke-3, ke-4 dan
seterusnya dari persamaan 1, maka diperoleh :
| |
| |
Ekspansi menurut baris pertama :
| |
| |
| |
Universitas Sumatera Utara
| |
| |
| |
Sehingga diperoleh rumus dasar metode pivot seperti dibawah ini :
| |
Contoh penyelesaian mencari determinan matriks berordo 6 x 6 dengan menggunakan metode pivot,
| |
| |
|| ||
| |
| |
| |
Universitas Sumatera Utara
2.1.2.7 Minor dan Kofaktor suatu Determinan
Diketahui suatu determinan dari suatu matriks tingkat n. Jika elemen-elemen
dari baris ke- dan kolom ke- semuanya dikeluarkan akan terdapat suatu
determinan dari matriks tingkat , yang disebut minor pertama dari matriks
yang dituliskan dengan | |. Harga dari minor ditulis dengan
, disingkat dengan
dari elemen , jadi :
| |
Contoh :
Bila
[ ]
Minor dari adalah :
| | |
| |
| | |
| | |
|
dan seterusnya sampai |
| Sehingga kofaktornya adalah :
| |
| | = |
|
Universitas Sumatera Utara
| |
| | = - |
| |
| |
| =
| | dan seterusnya sampai |
|
2.1.3 Penaksiran Parameter dengan Metode Matriks
Untuk mendapatkan taksiran parameter dari sampel dapat dilakukan dengan taksiran OLS Ordinary Least Square, yaitu dengan cara meminimumkan nilai
sisaan e. persamaan 2.6 ditulis kembali yaitu : 2.8
2.9 Untuk mencari
dilakukan dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat
∑
Dengan menurunkan S secara parsial terhadap dan
samakan dengan nol maka :
∑ = 0
∑ = 0
∑ = 0
…………………………………………………………………………………………………………………………
2.10
∑ = 0
Universitas Sumatera Utara
Setelah disusun kembali dan mengganti semua parameter dengan penaksirnya, sistem persamaan ini dapat ditulis dalam persamaan normal yaitu :
∑ ∑
∑ =
∑ ∑
∑ ∑
∑ =
∑ ∑
∑ ∑
∑ =
∑ …………………………………………………………………………………………………………..
2.11
∑ ∑
∑ ∑
= ∑
Jika persamaan normal dibentuk dalam bentuk matriks maka persamaan 2.11 menjadi :
2.12 Dengan menyelesaikan persamaan 2.12 diperoleh :
Dalam bentuk matriks dapat dituliskan :
[ ]
[ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
] [
∑ ∑
∑
∑ ]
Universitas Sumatera Utara
2.2 Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi adalah ukuran variabel total pada peubah tak bebas yang dapat dijelaskan oleh hubungannya dengan peubah bebas. Koefisien determinasi
dilambangkan dengan R
2
yang bernilai antara 0 – 1. Apabila terdapat suatu
hubungan linear yang sempurna diantara peubah makan koefisien determinasi akan bernilai 1. R
2
sering digunakan sebagai ukuran untuk mengindikasikan seberapa baik garis linear terhadap data. Semakin baik maka R
2
akan mendekati nilai 1 dan sebaliknya.
Untuk menghitung nilai R
2
digunakan rumus :
∑
2.3 Indeks Pembangunan Manusia
Ukuran pembangunan yang digunakan selama ini, yaitu PDB dalam konteks nasional dan PDRB dalam konteks regiobal, hanya mampu memotret
pembangunan ekonomi saja. Oleh karena itu, dibutuhkan suatu indikator yang lebih mampu tidak saja menangkap masalah perkembangan ekonomi saja akan
tetapi juga perkembangan aspek sosial dan kesejahteraan manusia. Pembangunan manusia memiliki banyak dimensi. Menurut Badan Pusat Statistika 2007, Indeks
Pembangunan Manusia IPM merupakan ukuran capaian pembangunan manusia berbasis sejumlah komponen dasar kualitas hidup. Indeks Pembangunan Manusia
IPM menggambarkan beberapa komponen, yaitu capaian umur panjang dan sehat yang mewakili bidang kesehatan, angka melek huruf, partisipasi sekolah dan
rata-rata lamanya bersekolah mengukur kinerja pembangunan bidang pendidikan,
Universitas Sumatera Utara
