3.3. Metode Cutting Plane
Metode cutting plane merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan program linier bilangan bulat, baik bilangan bulat murni maupun campuran
dengan penambahan batasan baru yang disebut gomory. Batasan gomory diberikan jika nilai dari variabel keputusan belum bulat bernilai pecahan.
Batasan-batasan tersebut secara efektif akan menyingkirkan beberapa ruang penyelesaian yang tidak berisi titik bilangan bulat yang layak, tetapi tidak pernah
menyingkirkan satupun titik bilangan bulat yang layak Taha, 1996.
Metode cutting plane dikembangkan untuk menemukan jawaban optimal bagi program integer. Metode ini dilakukan dengan menambahkan suatu batasan
yang dinamakan batasan gomory. Penambahan batasan gomory dilakukan pada tabel optimal sehingga dapat mempersingkat perhitungan Siagian, 2006.
Metode cutting plane digunakan untuk permasalahan yang variabel keputusannya harus bulat. Program linier tidak efektif untuk menyelesaikan
permasalahan tersebut sehingga dikembangkan metode cutting plane yang lebih efektif dan memberikan hasil yang lebih baik Dimyati dan Dimyati, 1992.
Langkah-langkah prosedur gomory diringkas seperti berikut : 1.
Selesaikan masalah program integer dengan menggunakan metode simpleks. Jika masalah sederhana, ia dapat diselesaikan dengan pendekatan grafik,
sehingga pendekatan gomory kurang efisien. 2.
Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memiliki nilai integer, solusi optimum integer telah diperoleh dan proses solusi telah berakhir. Jika
satu atau lebih variabel basis masih memiliki nilai pecah, teruskan ke tahap 3. 3.
Buatlah suatu batasan gomory dan cari solusi optimum melalui prosedur dual simpleks. Kembali ke tahap 2 Taha, 1996, Dimyati dan Dimyati, 1992.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 3.1. Optimum Masalah Program Linier Basis
x
1
... x
i
... x
m
w
1
... w
j
... w
n
Hasil z
... ...
1
c
...
j
c
...
n
c
x
1
1 ...
... 1
1
... j
1
... n
1
1
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
x
i
... 1
... 1
i
... j
i
... n
i
i
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
x
m
... ...
1 1
m
... j
m
... n
m
m
dimana : Variabel x
i
i = 1, …, m adalah variabel basis.
Variabel w
j
j = 1, ..., n adalah variabel nonbasis.
Tentukan baris sumber dengan menentukan baris variabel keputusan yang akan dibulatkan. Jika lebih dari satu, dipilih nilai pecahan terbesar.
j n
j j
i i
i
w x
1
,
i
tidak integer baris sumber
Anggaplah :
i i
i
f
]
[
ij j
i j
i
f
]
[
dimana : ]
[
i
adalah integer terbesar sehingga ]
[
i
i
] [
j i
adalah integer terbesar sehingga
] [
j i
j i
Universitas Sumatera Utara
Disimpulkan bahwa 0 f
i
1 dan 0 f
ij
1, yaitu f
i
dan f
ij
adalah pecahan positif sehingga
j n
j j
i i
i
w x
1
j n
j ij
j i
i i
i
w f
f x
1
] [
] [
j n
j ij
j n
j j
i i
i i
w f
w f
x
1 1
] [
] [
j n
j j
i i
i j
n j
ij i
w x
w f
f
1 1
] [
] [
Agar semua variabel x
i
dan w
j
adalah integer, maka sisi kanan dari persamaan di atas haruslah integer yang berakibat sisi kiri juga harus integer.
Dengan diketahui f
ij
0 dan w
j
0 untuk semua i dan j dapat disimpulkan bahwa
1
j
n j
ij
w f
Akibatnya,
1
1
i
j n
j ij
i
f w
f f
Karena
j n
j ij
i
w f
f
1
haruslah integer berdasarkan pengembangannya, satu kondisi untuk memenuhi sifat integer ini menjadi :
1
j
n j
ij i
w f
f
1
i
j n
j ij
i
S w
f f
Batasannya dapat ditulis dalam bentuk :
n j
i j
ij i
f w
f S
1
atau
n j
i j
ij i
f w
f S
1
Universitas Sumatera Utara
Tabel 3.2. Setelah Penambahan Pemotongan Fraksional Basis
x
1
... x
i
... x
m
w
1
... w
j
... w
n
S
i
Hasil z
... ...
1
c
...
j
c
...
n
c
x
1
1 ...
... 1
1
... j
1
... n
1
1
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. x
i
... 1
... 1
i
... j
i
... n
i
i
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. x
m
... ...
1 1
m
... j
m
... n
m
m
S
i
... ...
-f
i1
... -f
ij
... -f
in
1 -f
i
Dimana S
i
adalah variabel slack nonnegatif yang berdasarkan definisinya haruslah integer. Persamaan batasan ini mendefinisikan pemotong fraksional. Dari
tabel 3.2., w
j
= 0 dan S
i
= -f
i
tidak layak. Ini berarti bahwa batasan baru tersebut tidak dipenuhi oleh solusi yang diberikan. Metode dual simpleks dapat
dipergunakan untuk mengatasi ketidaklayakan ini yang setara dengan memotong bidang solusi ke arah solusi integer optimal.
Jika solusi baru setelah menerapkan metode dual simpleks adalah integer, proses berakhir. Jika tidak, sebuah gomory baru ditambahkan dari tabel yang
dihasilkan dan metode dual simpleks digunakan sekali lagi untuk mengatasi ketidaklayakan. Prosedur ini dilakukan sampai solusi integer dicapai. Tetapi, jika
di salah satu iterasi metode dual simpleks menunjukkan bahwa tidak ada solusi layak, berarti masalah itu tidak memiliki solusi integer yang layak Taha, 1996,
Dimyati dan Dimyati, 1992.
Universitas Sumatera Utara
Metode cutting plane ini mempunyai dua kelemahan : 1.
Kesalahan pembulatan yang muncul dalam perhitungan otomatis akan mendistorsi data semula terutama dengan bertambahnya ukuran masalah.
2. Solusi masalah tetap tidak layak, artinya tidak ada solusi integer yang dapat
diperoleh sampai solusi integer optimal dicapai. Ini berarti bahwa tidak ada solusi integer yang baik jika perhitungan dihentikan sebelum mencapai solusi
integer yang optimal Taha, 1996, Dimyati dan Dimyati, 1992.
Kelemahan pertama dapat diatasi dengan penggunaan integer murni. Metode ini dimulai dengan tabel awal yang semuanya terdiri dari integer yang
sesuai dengan metode dual simpleks. Kemudian dilakukan penambahan gomory sehingga penambahannya ke tabel akan mempertahankan sifat integer dari semua
koefisien Taha, 1996, Dimyati dan Dimyati, 1992.
Kelemahan kedua dapat menggunakan metode cutting plane yang dimulai dengan integer dan layak, tetapi tidak optimal. Iterasi yang berlanjut tetap layak
dan integer sampai solusi optimum dicapai Taha, 1996, Dimyati dan Dimyati, 1992.
3.4. Metode Dual Simpleks
Kategori