Vehicle Routing Problem Metode Pemilihan Rute Prototype Problema Dynamic programming

5. Rute yang paling dekat efisien dibangun menggunakan kendaraan terbesar yang tersedia. 6. Pengangkutan lebih baik digabungkan dengan rute pendistribusian daripada diletakkan pada akhir rute. 7. Sebuah perhentian yang dipindahkan dari sebuah klaster rute adalah sebuah alternatif yang baik untuk alternatif-alternatif pendistribusian. 8. Pembatasan jendela untuk waktu perhentian terdekat harus dihindari 3

3.3. Vehicle Routing Problem

Vehicle Routing Problem terkait dengan permasalahan bagaimana mendatangi pelanggan dengan menggunakan peralatan yang ada. Istilah lain untuk masalah ini adalah Vehicle Sceduling Problem, Vehicle Dispatching Problem, Delivery Problem. Vehicle Routing Problem adalah sebuah hard combinatorial optimisation problem. Permasalahan ini erat kaitannya dengan permasalahan Travelling Salesman Problem. Vehicle Routing Problem menjadi Travelling Salesman Problem pada saat hanya terdapat satu alat angkut yang kapasitasnya tak hingga. Dalam permasalahan vehicle routing, jika setiap alat angkut dapat menempuh triprute majemuk selama horizon perencanaan maka ini disebut sebagai Multi Trip Vehicle Routing Problem. . 3 Ballou, Ronald, Buniess Logistics Management new jersey : Prentice-hall International, Inc 1999 hal 191 Universitas Sumatera Utara

3.4. Metode Pemilihan Rute

Masalah pencaraian solusi yang baik dalam penentuan rute dan penjadwalan kendaraan menjadi sulit dengan adanya pembatas-pembatas tambahan dari masalah. Time windows, jumlah truk yang banyak dengan perbedaan kapasitas, total maksimum waktu distribusi yang diizinkan dalam rute, perbedaan kecepatan dalam zona yang berbeda, rintanganpenghalang dalam perjalanan sungai, belokan , gunung, dan waktu istirahat untuk pengemudi adalah beberapa pertimbangan yang diperlukan dalam penentuan rancangan rute

3.5. Dynamic programming

4 Dynamic programming adalah teknik manajemen sains yang diaplikasikan kepada persoalan yang melibatkan keputusan berurutan yang saling berkaitan. Dengan kata lain, awalnya program dinamis membagi masalah asli ke dalam sub masalah dan kemudian menentukan solusi optimal masalah asli ke dalam sub masalah dan kemudian menentukan solusi optimal masalah asli dengan pemecahan rekursif sub masalah ini. Program ini dikembangkan oleh richard bellman dan G.B Dantzig pada tahun 1940-1950. Sebagai sebuah konsep, Dynamic programming lebih luwes dibanding program-program optimasasi lainnya. Aplikasi Dynamic programming telah terbukti baik pada pengolahan persediaan, jaringan, penjadwalan kerja untuk karyawan, pengendalian produksi, perencanaan penjualan dan lain-lain. Formulasi model dilakukan dengan unik 4 Lieberman, J Gerald, Introduction To Operations Research Ninth Edition : McGraw-Hill Companies, Inc 2010 424 Universitas Sumatera Utara sesuai dengan persoalaannya. Pada penyelesaian dengan metode ini ada beberapa hal yang harus diperhatikan, yaitu: 1. Terdapat sejumlah berhingga pilihan yang mungkin. 2. Solusi pada setiap tahap dibangun dari hasil solusi tahap sebelumnya. 3. Persyaratan optimasasi dan kendala digunakan untuk membatasi sejumlah pilihan yang harus dipertimbangkan pada suatu tahap.

3.5.1. Konsep Dasar dalam Dynamic programming

Konsep – konsep dasar dalam dynamic programming, yaitu: 1. Dekomposisi Persoalan dynamic programming dapat dipecah-pecah menjadi sub-persoalan atau tahapan yang lebih kecil dan berurutan. Setiap tahap disebut juga sebagai titik keputusan. Setiap keputusan yang dibuat pada suatu tahap akan mempengaruhi keputusan-keputusan pada tahap berikutnya. 2. Status Status adalah kondisi awal S n dan kondisi akhir S n-1 pada setiap tahap, di mana pada tahap tersebut keputusan dibuat D n . Status akhir pada sebuah tahap tergantung keadaan status awal dan keputusan yang dibuat pada tahap tersebut. Status akhir pada suatu tahap merupakan input bagi tahap berikutnya. 3. Variabel keputusan dan hasil Keputusan yang dibuat pada setiap tahap D n merupakan keputusan yang berorientasi kepada return yang diakibatkannya R n |D n . Universitas Sumatera Utara 4. Fungsi transisi Fungsi transisi menejelaskan secara pasti bagaimana tahap-tahap saling berhubungan. Fungsi ini berbentuk fungsi hubungan antar status pada setiap tahap berurutan. Fungsi transisi secara umum berbentuk berikutnya: S n-1 = S n -D n . . . hal Dimana Sn-1 = status pada tahap n-1, atau status akhir pada tahap-n. Sn adalah status awal pada tahap n. 5. Optimisasi tahap Optimisasi tahap dalam dynamic programming adalah menentukan keputusan optimal pada setiap tahap dari berbagai kemungkinan nilai status inputnya. Fungsi umum dari keputusan optimal, yaitu: fnS n , D n = Return pada tahap n dari nilai status input S n , keputusan D n . fnS n = Return optimal pada tahap n dari nilai input status S n . 6. Fungsi Rekursif Fungsi rekursif biasanya digunakan pada berbagai program komputer, di mana nilai sebuah variabel pada fungsi itu merupakan nilai kumulatif dari nalai variabel tersebut pada tahap sebelumnya. Pada dynamic programming, fungsi umum dituliskan sebagai: f n S n , D n = R n + f n-1 S n-1 , D n-1 .....

3.5.2. Kriteria Dynamic programming

Asumsi-asumsi dalam dynamic programming sebagai berikut: 1. Setiap persoalan memliki nilai atau konstanta yang berhingga. Universitas Sumatera Utara 2. Setiap bagian dari persoalan merupakan satu kesatuan yang utuh. 3. Persoalannya diasumsikan bersifat dependen. 4. Kedatangan pesanan bersifat dinamis atau berubah-ubah. Persyaratan dari dynamic programming sebagai berikut: 1. Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap yang pada setiap tahap hanya diambil satu keputusan. 2. Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status yang berhubungan dengan tahap tersebut. Secara umum, status merupakan bermacam-macam kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut. 3. Hasil keputusan yang diambil pada setiap tahap ditansformasikan dari status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya. 4. Ongkos pada suatu tahap meningkat secara teratur dengan bertambahnya jumlah tahapan. 5. Ongkos pada suatu tahap bergantung pada ongkos tahap-tahap yang sudah berjalan ditambah dengan ongkos pada tahap tersebut. 6. Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan yang dilakukan pada tahap sebelumnya.

3.5.3. Prosedur solusi

5 Ketika keberuntungan pencari hanya memiliki satu tahap untuk pergi n = 4, rutenya kemudian ditentukan sepenuhnya oleh negara yang sekarang ini baik H atau I dan x4 tujuan akhirnya = J, sehingga rute untuk ini akhir kereta pos run 5 Lieberman, J Gerald, hal 426 Universitas Sumatera Utara adalah s = J. Oleh karena itu, sejak f 4 s = f4 s, J = cs, J, solusi langsung ke n = 4 masalah adalah Ketika keberuntungan pencari memiliki dua tahap lagi untuk pergi n = 3, prosedur solusi memerlukan beberapa perhitungan. Misalnya, bahwa keberuntungan pencari dalam keadaan F. Kemudian, seperti yang digambarkan di bawah ini, ia harus selanjutnya pergi ke salah satu negara H atau I dengan biaya langsung dari CF, H = 6 atau CF, I = 3, masing-masing. Jika ia memilih negara H, biaya tambahan minimal setelah ia mencapai ada diberikan dalam tabel sebelumnya seperti f 4 H = 3, seperti yang ditunjukkan di atas simpul H dalam diagram. Oleh karena itu, total biaya untuk keputusan ini adalah 6 = 3 = 9. Jika ia memilih negara saya sebaliknya, total biaya adalah 3 + 4 = 7, yang lebih kecil. Oleh karena itu, pilihan yang optimal adalah yang terakhir ini satu, x3 = I, karena memberikan biaya f minimal 3 F = 7. “Karena prosedur ini melibatkan bergerak panggung mundur demi tahap, beberapa penulis juga menghitung n mundur untuk menunjukkan jumlah tahap yang tersisa ke tujuan. Kami menggunakan maju lebih alami menghitung untuk kesederhanaan yang lebih besar.” Universitas Sumatera Utara Perhitungan serupa perlu dilakukan ketika Anda mulai dari dua negara lain yang mungkin s = E dan s = G dengan dua tahap untuk pergi. Cobalah, melanjutkan baik grafis Gbr. 10.1 dan aljabar menggabungkan cij dan f 4 s nilai], untuk memverifikasi hasil lengkap berikut untuk n = 3 masalah. Solusi untuk masalah kedua tahap n = 2, di mana ada tiga tahap untuk pergi, diperoleh dengan cara yang sama. Dalam hal ini, f2 s, x2 = csx2 = f 3 x2. Misalnya, bahwa keberuntungan pencari dalam keadaan C, seperti yang digambarkan di bawah ini. Universitas Sumatera Utara Dia harus selanjutnya pergi ke negara E, F, G atau dengan biaya segera cC, E = 3, cC, F = 2, atau cC, G = 4, masing-masing. Setelah sampai ke sana, biaya tambahan minimum untuk tahap 3 sampai akhir diberikan oleh n = 3 tabel sebagai f 3 E = 4, f 3 F = 7, atau f 3 G = 6, masing-masing, seperti yang ditunjukkan di atas E dan F node dan di bawah node G dalam diagram sebelumnya. Sehingga perhitungan untuk tiga alternatif adalah sebagai berikut. x2 = E: f2C, E = cC,E + f 3E = 3 + 4 = 7. x2 = F: f2C, F = cC,F + f 3F = 2 + 7 = 9. x2 = G: f2C, G = cC,G + f 3G = 4 + 6 = 10. Minimum tiga angka ini adalah 7, sehingga total biaya minimum dari negara C sampai akhir adalah f 2 C = 7, dan tujuan yang harus segera diwujudkan x2 = E. Membuat perhitungan yang sama ketika Anda mulai dari negara B atau D coba menghasilkan hasil sebagai berikut untuk n = 2 masalah: Universitas Sumatera Utara Pada bagian pertama dan ketiga baris tabel ini, diketahui bahwa E dan F dasi sebagai nilai minimalisasi x2, sehingga tujuan langsung baik dari B atau D negara harus x2 = E atau F. Pindah ke masalah tahap pertama n = 1, dengan semua empat tahap untuk pergi, kita melihat bahwa perhitungan adalah sama dengan yang ditampilkan hanya untuk masalah tahap kedua n = 2, kecuali sekarang hanya ada satu kemungkinan mulai negara s = A, seperti yang digambarkan di bawah ini. Perhitungan ini dirangkum berikutnya untuk tiga alternatif untuk tujuan langsung: x1 = B: f1A, B =cA,B + f 2B = 2 + 11 = 13. x1 = C: f1A, C = cA,C + f 2C= 4 + 7 = 11. x1 = D: f1A, D = cA,D + f 2D = 3 + 8 = 11. Sejak 11 adalah minimum, f 1 A = 11 dan x1 = C atau D, seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut. Universitas Sumatera Utara Solusi optimal untuk seluruh masalah sekarang dapat diidentifikasi dari empat meja. Hasil untuk n = 1 masalah menunjukkan bahwa keberuntungan pencari harus pergi awalnya baik negara C atau D. negara Misalkan ia memilih x1 = C. Untuk n = 2, hasil untuk s = C adalah x2 = E. Hasil ini mengarah ke n = 3 masalah, yang memberikan x3 = H s = E, dan n = 4 masalah menghasilkan x4 = J untuk s = H. Oleh karena itu, salah satu rute yang optimal adalah A = C = E = H = J. Memilih x1 = D mengarah ke dua rute yang optimal lainnya A = D = E = H = J dan A = D = F = I = J. Mereka semua menghasilkan total biaya f 1 A = hasil 11. Analisis program dinamis juga dirangkum dalam Gambar. 3.1. Perhatikan bagaimana dua panah untuk tahap 1 berasal dari kolom pertama dan terakhir dari n = 1 meja dan biaya yang dihasilkan berasal dari kolom berikutnya-untuk- terakhir. Masing-masing dari yang lain Gambar 3.1 Tampilan Grafis Dari Solusi Dynamic programming Masalah Perhentian Universitas Sumatera Utara Setiap panah menunjukkan keputusan kebijakan yang optimal tujuan langsung terbaik dari keadaan, di mana jumlah oleh negara adalah biaya yang dihasilkan dari sana sampai akhir. Setelah panah tebal dari A ke T memberikan tiga solusi optimal tiga rute yang memberikan total biaya minimum 11. Panah dan biaya yang dihasilkan berasal dari satu baris di salah satu meja lain dengan cara yang sama. Anda akan melihat di bagian berikutnya bahwa istilah khusus yang menggambarkan konteks tertentu ini masalah-tahap, negara, dan kebijakan-benar merupakan bagian dari terminologi umum Dynamic programming dengan penafsiran analog dalam konteks lain.

3.6. Prototype Problema Dynamic programming

6 6 Ukurta tarigan. Riset Operasi Lanjutan Handout-UT hal 26-34. Dalam pemecahan problema menurut metode dynamic programming tidak ada suatu formulasi penyelesaian yang standart sebagaimana halnya didalam penyelesaian linear programming ataupun interger programming. Dynamic programming adalah problema dan model matematik tertentu harus diformulasikan untuk setiap bentuk problema. Metode dynamic programming didasarkan kepada pengertian matematis yang disebut “recursion”. Untuk menjelaskan pengertian ini baiklah diberikan suatu contoh prototype problema dari dynamic programming yaitu stage coach problem seperti diuraikan berikut ini. Universitas Sumatera Utara Seorang salesman ingin mengembara dari kota asalnya ke suatu kota tujuan yang agak jauh. Untuk mencapai kota tujuan tersebut ada beberapa pilihan rute yang dilaluinya seperti terlihat dalam diagram dibawah ini. Dalam diagram ini terlihat bahwa, salesman dapat berangkat dari kota asalnya blok 1 melalui kota 2, atau kota 3 atau pun kota yang masing-masing digambarkan sebagai blok 2, blok 3 dan blok 4. Dari masing-masing kota singgahan ini, dia dapat meneruskan ke kota 5, atau ke kota 6 atau kota 7 dan seterusnya, sehingga dia mencapai tujuan yaitu kota 10. karena daerah yang dilalui cukup membahayakan bagi keselamatan maka perusahaan asuransi telah menawarkan suatu kebijaksanaan tentang keselamatan orang yang melintas kepada setiap orang dibebankan premi yang sebanding dengan besarnya tingkat bahaya pada rute bersangkutan. Adapun besarnya premi tersebut adalah sebagai berikut : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 4 3 2 7 4 6 5 1 4 8 3 3 3 2 4 6 6 3 9 4 4 4 1 5 7 3 3 Angka-angka dalam kolom adalah besarnya premi yang harus dibayarkan. Disini terlihat bahwa dari setiap kota, salesman mempunyai sejumlah pilihan sebagai kota persinggahan sebelum melangkah ke kota singgahan tersebut dia harus lebih dahulu mengambil keputusan ke kota mana sebaiknya dia pergi. Dalam dynamic programming, tahapan dimana keputusan harus diambil disebut stage dan masing-masing pilihan tersebut disebut state. Jadi dalam problema Universitas Sumatera Utara diatas, terlihat 10 state yaitu sama dengan banyaknya kota yang tersedia untuk dipilih dan ada 4 stage pengambilan keputusan yaitu: Stage 1 : Memilih rute dari kota 1 ke kota 2 atau dari kota 1 ke kota 3 atau dari kota 1 ke kota 4. Stage 2 : Bila pada stage 1, telah dipilih salah satu dari ketiga kota tersebut, selanjutnya dari kota pilihan ini dia harus pula memilih kota singgahan berikutnya yaitu salah satu dari kota 5, kota 6, dan kota 7. Stage 3 : Dari kota singgahan yang terpilih pada stage 2, kota singgahan selanjutnya adalah salah satu dari kota 8 dan kota 9. Stage 4 : Dari kota singgahan yang terpilih pada stage 3, perjalanan dapat diteruskan ke kota tujuan yaitu kota 10. Seperti sudah diuraikan dimuka, bahwa dengan memilih rute pada setiap stage yang didasarkan pada biaya yang terkecil pada rute tersebut belumlah menjamin total biaya menjadi minimum. Sebagai bukti, dapat dilihat salah satu alternatif penyelesaian yang didasarkan kepada biaya minimum pada setiap stage. Tabel 3.1. Alternatif Biaya Minumum Stage Dari Ke Biaya 1 Stage 1 Stage 2 2 2 Stage 2 Stage 6 4 3 Stage 6 Stage 9 3 4 Stage 9 Stage 10 4 Total 13 Universitas Sumatera Utara Menurut penyelesaian diatas, salesman berangkat dari kota asalnya melalui rute 1-2-6-9-10 dengan total biaya 13. total ini tidaklah minim karena masih ada rute yang lebih baik yaitu 1-4-6-9-10 dengan total biaya 11. Disini terlihar dengan mengorbankan sedikit lebih besar biaya pada stage 1 akan diperoleh total yang lebih kecil. Problema diatas dapat diselesaikan dengan metode trial and error. tetapi metode ini hanya mungkin digunakan apabila banyaknya stage dan state cukup kecil. Menurut metode dynamic programming, pertama-tama dicari penyelesaian optimum dari bagian kecil dari problema ini secara sistematis diperbesar dan dicari penyelesaian optimumnya. Demikian seterusnya sehingga problema secara keseluruhan telah terselesaikan. Penyelesaian yang demikian disebut “ recursion”. Secara umum dynamic programming system dapat digambarkan sebagai berikut. Stage 1 Stage 2 Stage 3 Stage 4 S 1 g 1 x 1 x 2 g 2 x 3 g 3 x 4 g 4 S 3 S 2 S 4 S 5 Gambar 3.2. Dynamic Programming System Dimana : Xn = Decision variable pada stage n gn = Biaya yang harus ditanggung return sebagai akibat dari keputusan yang diambil pada stage n. Untuk Memudahkan penyelesaian problema, maka dalam dynamic programming perhitungan dilakukan secara mundur back ward computation Universitas Sumatera Utara system menurut cara ini, pertama-tama dihitung besarnya biaya minimum yang ditimbul pada stage terakhir. Karena hanya ada satu stage dalam perhitungan ini, yaitu stage terakhir yang disebut problema 2 stage. Demikian seterusnya sehingga yang terakhir adalah perhitungan biaya minimum yang ditimbulkan pada seluruh stage yang ada yang disebut sebagai problema N- Stage. Perhitungan menurut Backward system dapat dijelaskna dengan diagram dibawah ini. Stage 1 Stage 2 Stage 3 Stage 4 S 1 g 1 x 1 xn gn Xn+1 Gn+1 xN gN Sn+1 Sn SN SN+1 N-n+1-Stage N-n-Stage 1-Stage N-Stage Gambar 3.3. Backward System Misalkan decision variable xn n=1,2, . . . N adalah state yang terpilih pada stage n. Misalkan pula bahwa : fnsn,xn adalah total biaya pada stage – stage yang belum dilalui apabila salesman berada di state s, dimana xn adalah merupakan state berikutnya. Bila dimisalkan bahwa xn adalah harga dari xn yang memberikan fnsn,xn yang optimum yaitu fnsn,xn, maka fnsn,xn = fnsn,xn. Perhitungan baiaya optimum pada stage by stage dapat diformulasikan sebagai berikut: Problema 1-stage : f N s N ,x N = g N s N ,x N Universitas Sumatera Utara Problema 2-stage : f N-1 s N-1 ,x N-1 = opt x N-1 [f N-1 s N-1 ,x N-1 ] opt x N-1 [g N-1 s N- 1 ,x N-1 f N s N ,x N ] Problema n-stage : f N s N ,x N = opt x N [f N s N ,x N ] = opt x N-1 [g N s N ,x N f N+1 s N+1 ,x N+1 ] Problema N-stage : f 1 s 1 ,x 1 = opt x 1 [f 1 s 1 ,x 1 ]= opt x 1 [g 1 s 1 ,x 1 + f 2 s 2 ,x 2 ] Untuk lebih jelasnya, maka pertama-tama baiklah problema stage coach tersebut diatas diselesaikan lebih dahulu dengan menggunakan metode dynamic programming. Stage 1 Stage 2 Stage 3 Stage 4 S 1 g 1 x 1 xn g 2 x 3 g 3 x 4 g 4 S 3 S 2 S 4 S 5 3-stage 2-stage 1-Stage 4-stage Gambar 3.4. Problema Stage Coach Problema 1-stage Problema biaya dimulai dari stage paling akhir yaitu akhir perjalanan salesman. Stage terakhir yaitu stage 4 adalah set dari kota-kota yang paling deket ke kota tujuan. Bila salesman telah sampai dalam stage 4 ini, maka ada kemungkinan di kota state mana dia berada. Jika salesman berada di state 8, maka untuk pergi ke state 10, dia harus mengeluarkan biaya 3, tetapi jika dia berapa pada di state 9 maka biaya tersebut adalah 4. Universitas Sumatera Utara Tabel 3.2. Problema 1-Stage S � � ∗ S4 � � ∗ 8 3 10 9 4 10 Problema 2-stage : Bila salesman berada pada stage 3 maka ada 2 stage lagi baru sampai pada kota tujuannya. Misalkan dia sekarang berada di stage 3 untuk perjalanan selanjutnya dia dapat pergi ke salah satu dari state 8 atau state 9. Bila dia memilih state 8, maka biaya minimum yang akan dikeluarkannya adalah biaya dari state 5 ke state 8 ditambah dengan biaya dari state 8 ke state 10 yaitu sama dengan 1+3= 4. Tetapi apabila dia memilih state 9 maka total biaya minimum tersebut adalah 4+4=8. Karena biaya pada alternatif yang kedua ini lebih besar maka dia akan memilih state 8. Dengan demikian dapat ditulis pada s 3 =5,f 3 s 3 = 4 dan x 3 = 8. Dengan cara yang sama dapat ditentukan biaya optimum pada s 3 = 6 dan s 3 = 7 seperti terlihat dibawah ini. Tabel 3.3. Problema 2-Stage S � � s 3 ,x 3 = g 3 s 3 ,x 3 + � � � � ∗ s 3 � � ∗ 8 9 5 4 8 4 8 6 9 7 7 9 7 6 7 6 8 Universitas Sumatera Utara Problema 3-Stage : Dengan cara yang sama, penyelesaian untuk problema 3 stage dapat diperoleh. Pada problema ini total biaya adalah f 2 s 2 ,x 2 =g 2 s 2 ,x 2 +f 3 s 3 . Sebagai contoh, apabila salesman berada pada state 2, dan memilih pergi ke state 5, maka total biaya minimum adalah biaya pada rute 2-5 ditambah biaya minimum dari state 5 ke state 10. Tabel 3.4. Problema 3-Stage S � � s 2 ,x 2 = g 2 s 2 ,x 2 + � � ∗ s 3 � � ∗ s 2 � � ∗ 5 6 7 2 11 11 12 11 5,6 3 7 9 10 7 5 4 8 8 11 8 5,6 Problema 4-Stage: Problema 4-stage ini telah mencakup seluruh stage karena problema ini hanya terdiri dari 4 stage. Disini hanya ada satu kemungkinan asal dari salesman yaitu state 1 dengan 3 alternatif tujuan yaitu state 2, state 3 dan state 4. total biaya minimum dari ketiga alternatif ini adalah sebagai berikut: Tabel 3.5. Problema 4-Stage S � � s 1 ,x 1 = g 1 s 1 ,x 1 + � � ∗ s 2 � � ∗ s 1 � � ∗ 2 3 4 1 13 11 11 11 3,4 Hasil dari problema 4-stage memperlihatkan bahwa salesman pertama- tama harus pergi ke salah satu dari kota 3 atau kota 4. Misalkan dia memilih kota Universitas Sumatera Utara 3. Pada problema 3 state untuk s2=3, diperoleh x2=5. Dengan demikian pada problema 2 stage 2, untuk s3=5, diperoleh x3=8 dan pada problema 1 stage untuk s4= 8 diperoleh x4 = 10. Jika salah satu dari rute yang optimum adalah 1- 3-5-8-10. apabila dipilih 1-4-5-8-10 dan 1-4-6-9-10. Masing-masing dari ketiga rute tersebut akan memberikan total biaya minimum yang sama yaitu 11.

3.6. Teknik Sampling