Solusi Optimal Model Total Biaya Integrasi

���, � = �� 2�+�� 2�� � � + �� + ��� + �� + �� � 2 − � + � 2 2� � � � + � � �� + �� 2 2� + �� � + � � �� � � � − 1 2 + � 2 − �� 2� �� 3.19

3.3.1 Solusi Optimal

Apabila sebuah fungsi bidang berupa cekungan parabola ke atas atau cembungan parabola ke bawah atau yang lebih dikenal dengan nama fungsi bidang konveks atau fungsi bidang konkav, maka fungsi bidang tersebut akan memiliki nilai minimum atau maksimum. Titik optimal tersebut dikatakan sebagai titik balik atau titik kritis atau saddle point. Pada titik ini, maka nilai derajat kemiringan bidang singgungnya adalah nol atau memiliki gradien atau tangen sudutnya sama dengan nol, yang jumlahnya mengikuti jumlah variabel keputusan yang ada. Gradien bidang singgung di titik kritis diperoleh dengan cara menurunkan fungsi yang bersangkutan terhadap masing-masing variabel keputusannya. Fungsi yang terdiri dari satu variabel bebas, maka digunakan turunan biasa untuk memperoleh nilai minimum atau maksimumnya. Sedangkan untuk fungsi yang terdiri dari dua variabel bebas, maka digunakan turunan parsial untuk memperoleh nilai minimum atau maksimumnya. Menurut teorema Gazali, W dan Soedadyatmodjo, 2007, jika ��, � kontinu untuk variabel bebas � dan � dalam daerah �, maka: 1. Syarat perlu ��, � mencapai ekstrembelok bila � �� ��, � = 0 dan � �� ��, � = 0 2. Syarat cukup bila � � 2 �� 2 ��, �� . � � 2 �� 2 ��, �� − � � 2 ���� ��, �� 2 0, sehingga diperoleh: 1. Maksimum bila � � 2 �� 2 ��, �� 0 atau � � 2 �� 2 ��, �� 0 2. Minimum bila � � 2 �� 2 ��, �� 0 atau � � 2 �� 2 ��, �� 0 Dari persamaan 3.19 dapat diketahui bahwa �� merupakan fungsi dengan dua variabel bebas � dan �, sehingga adapun tujuan yang ingin dicapai adalah menentukan � ∗ optimal dan � ∗ optimal untuk memperoleh �� ∗ optimal. Hal tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan teorema di atas yaitu dengan aturan derivative pertama dari fungsi, sehingga persamaan ���, � diturunkan secara parsial terhadap � dan terhadap �, kemudian menyamakannya dengan nol. Syarat perlu yaitu � �� ���, � = 0 dan � �� ���, � = 0, sehingga diperoleh: � �� ���, � = � −��+�+�� �� 2 + �� 2 � + � � � +� � � 2 − � 2 � � +� � � 2� 2 � − �� 2 2� 2 + �� � + � � � � 2�−�+��−�� 2� �� 3.20 � �� ���, � = �−� � + � � � + � � � � + � � �� + �� � 3.21 Syarat cukup ���, � diperoleh dengan uji turunan parsial kedua diperoleh: � 2 �� 2 ���, � = 2��+�+�� �� 3 + � 2 � � +� � � � 3 + �� 2 � 3 � 2 �� 2 ���, � = � � +� � � � + � � � 2 ���� ���, � = − � � 2 − �� � 2 Sehingga, � � 2 �� 2 ���, �� . � � 2 �� 2 ���, �� − � � 2 ���� ���, �� 2 = � 2��+�+�� �� 3 + � 2 � � +� � � � 3 + �� 2 � 3 � . � � � +� � � � + � � � − �− � � 2 − �� � 2 � 2 Dari persamaan 3.20, � �� ���, � = 0, maka diperoleh: ��+�+�� �� 2 + � 2 � � +� � � 2� 2 + �� 2 2� 2 = �� 2 + � � +� � � 2 + � � +� � �2�−�+��−�� 2� 2��+�+�� 2�� 2 + � 2 �� � +� � � 2�� 2 + ��� 2 2�� 2 = �� 2 + � � +� � � 2 + � � +� � �2�−�+��−�� 2� 1 2 � 2��+�+�� �� 2 + � 2 �� � +� � � �� 2 + ��� 2 �� 2 � = 1 2 ��� + � � + � � � + � � + � � � 2 �−�+��−�� 2 � � 2��+�+��+� 2 �� � +� � �+��� 2 �� 2 = �� + � � + � � � + � � +� � �2�−�+��−�� � � 2 = 2��+�+��+� 2 �� � +� � �+��� 2 ����+� � +� � �+� � +� � �� 2−�� � +�−1�� Sehingga nilai optimal � ∗ adalah: � ∗ = � 2��+�+��+� 2 �� � +� � �+��� 2 ����+� � +� � �+� � +� � �� 2−�� � +�−1�� 3.22 Berdasarkan teorema tersebut, jika � �� ���, � = 0, � 2 �� 2 ���, � 0 dan � � 2 �� 2 ���, �� . � � 2 �� 2 ���, �� − � � 2 ���� ���, �� 2 0, maka � ∗ bernilai minimum sehingga �� akan minimum. Dari persamaan 3.21, � �� ���, � = 0, maka diperoleh: �� � + � � � � + � � � = � � + � � � �� + �� � + � � � = �� � + � � � ��� + � � + � � �� = �� � + � � � Sehingga nilai optimal � ∗ adalah: � ∗ = �� � + � � � � + � � + � � � 3.23 Berdasarkan teorema tersebut, jika � �� ���, � = 0, � 2 �� 2 ���, � 0 dan � � 2 �� 2 ���, �� . � � 2 �� 2 ���, �� − � � 2 ���� ���, �� 2 0, maka � ∗ bernilai minimum sehingga �� akan minimum. Dengan mensubstitusi nilai � ∗ pada 3.23 ke persamaan 3.22, maka diperoleh nilai optimal � ∗ menjadi seperti berikut: � 2 = 2��+�+��+� ���� + ���� � + �� + ��� � 2 �� � +� � �+��� ���� + ���� � + �� + ��� � 2 ����+� � +� � �+� � +� � �� 2−�� � +�−1�� � ��� + � � + � � � + �� � + � � � � 2−�� � + � − 1��� = 2��+�+�� � 2 + � � � � +� � � 2 � � +� � �+� � 2��+�+�� � 2 = � ��� + � � + � � � + �� � + � � � � 2−�� � + � − 1��� − � � � � +� � � 2 � � +� � �+� � � 2 = 2��+�+�� ����+� � +� � �+�� � +� � �� 2−�� � +�−1��−� ���+���� 2 ��+���+� �� Sehingga nilai optimal � ∗ menjadi seperti berikut: � ∗ = � 2��+�+�� ����+� � +� � �+�� � +� � �� 2−�� � +�−1��−� ���+���� 2 ��+���+� �� 3.24 Jadi, nilai �� ∗ dapat diperoleh dengan mensubstitusi nilai � ∗ pada 3.24 dan nilai � ∗ pada 3.23 ke persamaan 3.19, sehingga diperoleh: �� ∗ � ∗ , � ∗ = �� 2�+�� ∗ 2�� ∗ � � + �� + ��� ∗ + �� + �� � ∗ 2 − � ∗ + � ∗2 2� ∗ � � � + � � �� + �� ∗2 2� ∗ + �� � + � � �� ∗ � � � − 1 2 + � 2 − �� 2� �� 3.25

3.3.2 Interval Optimal �