Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.
Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks terlebih dahulu menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan ke dalam model matematik persamaan
linier, caranya adalah sebagai berikut :
1. Konversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan.
Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian pada daerah kelayakan feasible maka untuk model program linier diubah menjadi suatu model
yang sama dengan menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan artificial variable pada tiap batasan constraint serta memberi harga nol kepada tiap koefisien
c -nya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut : 1
Untuk batasan bernotasi ≤ dapat dimodifikasi kepada bentuk persamaan
dengan menambahkan variabel slack kedalamnya. 2
Untuk batasan bernotasi ≥ dapat dimodifikasi kepada bentuk persamaan
dengan mengurangkan variabel surplus dan kemudian menambahkan variabel buatan artificial variabel kedalamnya.
3 Untuk batasan bernotasi = diselesaikan dengan menambahkan variabel
buatan artificial variabel kedalamnya. Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal
ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Jika persoalan maksimal maka dibuat – M
sebagai harga, dan jika persoalan minimal dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar Big M method.
Penambahan variabel slack dan variabel buatan artificial variable pada tiap batasan constraint untuk persoalan maksimal dapat dirumuskan sebagai berikut :
Maksimalkan :
∑ ∑
+ =
=
− =
m m
i i
n j
j j
B M
x c
Z
1 1
1
2.10 Dengan batasan :
i i
n j
j ij
b x
x a
= +
∑
=1
,
1
,..., 2
, 1
m i
= untuk batasan bernotasi
≤
2.11
i i
n j
j ij
b B
x a
= +
∑
=1
,
2 1
1
,..., 1
m m
m i
+ +
= untuk batasan bernotasi = 2.12
Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.
i i
j n
j j
ij
b B
x x
a =
+ −
∑
=1
, m
m m
i ,...,
1
2 1
+ +
= untuk batasan bernotasi
≥2.13 ,
, ,
≥ ≥
≥ ≥
i i
i j
b B
x x
untuk semua harga
i
dan j
m m
i b
B m
i b
x n
j x
i i
i i
j
,..., 1
, ,...,
2 ,
1 ,
,..., 2
, 1
,
1 1
+ =
= =
= =
=
2. Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel awal simpleks
Tabel 2.2 Bentuk tabel awal simpleks sebelum pivoting
j
C
1
c
r
c
m
c
j
c
k
c
Jawab Basis
Variabel Basis
Harga Basis
1 B
x
...
Br
x
...
Bm
x
...
j
x
...
k
x
1 B
x
1 B
c
1
... ...
...
j
a
1
...
k
a
1 1
b
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Br
x
Br
c
... 1.
... ...
rj
a
...
rk
a
r
b
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Bm
x
Bm
c
... ...
1 ...
mj
a
...
mk
a
m
b
j j
c z
−
j j
c z
−
k k
c z
− b
c
B
Langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan suatu tabel simpleks adalah sebagai berikut :
Langkah 1 :
Mengecek nilai optimal imbalan. Untuk persoalan maksimal :
k k
c z
− = minimal {
j j
c z
−
: R
j ∈ }
Jika
k k
c z
−
≥
maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal.
Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.
Untuk persoalan minimal :
k k
c z
− = maksimal{
j j
c z
−
: R
j ∈ }
Jika
k k
c z
−
≤
maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal.
Harga-harga imbalan
j j
c z
−
dapat diperoleh dengan rumus :
j j
c z
− =
j m
j ij
Bi
c a
c −
∑
=1
2.14 Untuk :
j
c
= Harga dari semua variabel dalam z .
ij
a = Koefisien dari semua variabel dalam sistem batasan.
Bi
c = Harga dari variabel basis.
Langkah 2 :
Menentukan variabel yang akan masuk dalam basis.
Untuk persoalan maksimalkan jika terdapat beberapa
j j
c z
−
≤
maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan
j j
c z
−
terkecil, dan variabel yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk ke dalam basis.
Untuk persoalan minimal jika terdapat beberapa
j j
c z
− ≥
maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan
j j
c z
− terbesar, dan variabel yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk ke dalam basis.
Jika pada baris
j j
c z
−
terdapat lebih dari satu kolom yang mempunyai nilai negatif yang angkanya terbesar dan sama pada persoalan maksimal atau terdapat lebih
dari satu kolom yang mempunyai nilai positif terbesar dan sama pada persoalan minimal maka terdapat dua kolom yang bisa terpilih menjadi kolom pivot. Untuk
mengatasi hal ini, dapat dipilih salah satu dari
j j
c z
−
secara sembarang.
Langkah 3 :
Menentukan variabel yang akan keluar dari basis.
Menetapkan variabel yang keluar dari basis yaitu :
= :
min
ik ik
i rk
r
a a
b imum
a b
Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.
Variabel yang sehubungan dengan baris pivot yang demikian adalah variabel yang keluar dari basis.
Jika terdapat dua baris atau lebih nilai
rk r
a b
maka ada beberapa baris yang dapat terpilih sebagai baris pivot. Dapat dipilih baris pivot secara bebas diantara keduanya
dan hasilnya akan sama.
Langkah 4 :
Menyusun tabel simpleks baru .
Untuk menyusun tabel simpleks yang baru, maka harus mencari koefisien elemen pivot dari tabel simpleks sebelumnya. Koefisien elemen pivot dapat
dicari dengan menghubungkan kolom pivot dengan baris pivot sedemikian rupa sehingga titik potong kedua pivot ini menunjukkan koefisien, yang disebut elemen
pivot. Koefisien-koefisien baris pivot baru dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai
berikut :
rk rj
a a
2.15 Untuk menghitung nilai baris baru lainnya dilakukan dengan menggunakan rumus
sebagai berikut :
ik rk
rj ij
a a
a a
− 2.16
Langkah 5 :
Mengecek nilai optimal imbalan dari tabel simpleks yang baru.
Jika imbalan sudah optimal maka tafsirkan hasil penyelesaian, jika belum optimal maka kembali kepada langkah 2.
Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.
Tabel 2.3 Bentuk tabel simpleks sesudah pivoting
j
C
1
c
r
c
m
c
j
c
k
c
Jawab Basis
Variabel Basis
Harga Basis
1 B
x
. . .
Br
x
. . .
Bm
x
. . .
j
x
. . .
k
x
1 B
x
1 B
c
1
. . .
rk rj
a a
−
. . . . . .
k rk
rj ij
a a
a a
1
−
. . .
r rk
k
b a
a b
1 1
−
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Br
x
Br
c
. . .
rk
a 1
. . . . . .
rk rj
a a
. . .
1 rk
r
a b
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Bm
x
Bm
c
. . .
rk mk
a a
−
. . . 1
. . . mk
rk rj
mj
a a
a a
−
. . .
r rk
mk m
b a
a b
−
j j
c z
−
rk k
k
a z
c −
− −
j j
c z
k k
rk rj
c z
a a
− −
b c
B rk
r k
k
a b
c z
−
Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.
Langkah-langkah penyelesaian Program Linier dengan metode simpleks dapat digambarkan dalam bentuk flowchart berikut :
Tidak Ya
Ya Tidak
Gambar 2.1 Flowchart penyelesaian Program Linier dengan metode simpleks
Mulai
Konversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan, gunakan peubah disposal slack dan surplus atau artificial.
Menyusun persamaan di dalam tabel awal simpleks.
Untuk
Z
Maksimum :
{ }
? ≥
−
k k
c z
Lakukan lagi iterasi dan bentuk tabel
simpleks baru.
?
rk r
a b
Penyelesaian kelayakan sudah
optimal. Tidak ada penyelesaian
tidak layak tidak optimal
Selesai
Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.
Contoh 2.1 :
Maksimumkan :
3 2
1
4 9
8 x
x x
Z +
+ =
Kendala :
3 2
1
2x x
x +
+
2 ≤
3 2
1
4 3
2 x
x x
+ +
3 ≤
3 2
1
2 6
7 x
x x
+ +
8 ≤
, ,
3 2
1
≥ x
x x
Agar persamaan diatas memenuhi persyaratan penyelesaian dalam daerah kelayakan feasible, maka pada sisi kiri persamaan batasan ditambahkan variabel slack.
Sehingga bentuk bakunya sebagai berikut :
Maksimumkan :
6 5
4 3
2 1
4 9
8 x
x x
x x
x Z
+ +
+ +
+ =
Kendala :
4 3
2 1
2 x
x x
x +
+ +
= 2
3 2
1
4 3
2 x
x x
+ +
5
x +
= 3
3 2
1
2 6
7 x
x x
+ +
6
x + = 8
, ,
, ,
,
6 5
4 3
2 1
≥ x
x x
x x
x
Model diatas dapat dibawa ke dalam tabel simpleks sebagai berikut :
Tabel 2.4 Tabel simpleks untuk solusi awal
j
C
8 9
4
Harga Jawab
Variabel Basis
Harga Basis
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
4
x 1
1 2
1 2
5
x 2
3 4
1 3
6
x 7
6 2
1 8
j j
c z
−
-8 -9
-4
Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.
Dari tabel 2.4 diatas, tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai dimana harga
j j
c z
−
terkecil dari tabel diatas adalah -9, sehingga variabel yang masuk basis adalah variabel
2
x . Kolom variabel
2
x menjadi kolom pivot dan perhitungan untuk indeks I adalah :
= =
= =
33 ,
1 6
8 ,
1 3
3 ,
2 1
2
min
I Diperoleh
min
I =1, maka variabel yang meninggalkan basis adalah variabel
5
x kemudian digantikan dengan variabel
2
x . Angka kunci elemen pivot yang diperoleh = 3, maka tabel simpleks yang baru adalah :
Tabel 2.5 Tabel simpleks untuk solusi yang baru
j
C
8 9
4
Harga Jawab
Variabel Basis
Harga Basis
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
4
x 3
1 3
2 1
3 1
− 1
2
x 9
3 2
1 3
4 3
1 1
6
x 3
-6 -2
1 2
j j
c z
−
-2 8
3 9
Dari tabel 2.5 diatas tampak bahwa penyelesaian optimal belum tercapai dimana harga
j j
c z
−
terkecil dari tabel diatas adalah -2, sehingga variabel yang masuk basis adalah variabel
1
x . Kolom variabel
1
x menjadi kolom pivot dan perhitungan untuk indeks I
adalah :
=
= =
= 67
, 3
2 ;
5 ,
1 3
2 1
; 3
3 1
1
min
I
Diperoleh
min
I = 0,67 maka variabel yang meninggalkan basis adalah variabel
6
x kemudian digantikan oleh variabel
1
x . Angka kunci elemen pivot yang diperoleh =3, maka tabel simpleks yang baru adalah :
Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.
Tabel 2.6 Tabel simpleks untuk solusi akhir
j
C
8 9
4
Harga Jawab
Variabel Basis
Harga Basis
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
4
x
3 4
1
9 1
− 9
1 −
9 7
2
x 9
1
3 8
9 7
9 2
− 9
5
1
x 8
1 -2
3 2
− 3
1 3
2
j j
c z
−
4
3 5
3 2
3 31
Dari tabel 2.6 tidak ada lagi
j j
c z
−
0, dengan demikian telah dicapai penyelesaian optimal yaitu :
56 ,
9 5
67 ,
3 2
3 2
1
= =
= =
=
x x
x
4 9
5 9
3 2
8 +
+
=
Z =80,67 + 90,56 = 5,36 + 5,04 = 10, 04
Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.
Contoh 2.2 :
Maksimumkan :
3 2
1
2 3
x x
x Z
+ +
= Kendala :
3 2
1
5 4
3 x
x x
+ +
5 ≥
3 2
1
6 2
x x
x +
+
6 ≤
3 2
1
5x x
x +
+
7 ≥
, ,
3 2
1
≥ x
x x
Agar persamaan diatas memenuhi persyaratan penyelesaian dalam daerah kelayakan feasible, maka pada sisi kiri persamaan batasan
≤ ditambahkan variabel slack sedangkan untuk persamaan batasan
≥ dikurangkan dengan variabel surplus dan ditambah dengan variabel buatan artificial variable. Sehingga bentuk bakunya
sebagai berikut : Maksimumkan :
8 7
6 5
4 3
2 1
2 3
Mx Mx
x x
x x
x x
Z −
− +
+ +
+ +
= Kendala :
7 4
3 2
1
5 4
3 x
x x
x x
+ −
+ +
= 5
3 2
1
6 2
x x
x +
+
6
x + = 6
8 5
3 2
1
5 x
x x
x x
+ −
+ +
= 7 ,
, ,
, ,
, ,
8 7
6 5
4 3
2 1
≥ x
x x
x x
x x
x Model diatas dapat dibawa ke dalam tabel simpleks sebagai berikut :
Tabel 2.7 Tabel simpleks untuk solusi awal
j
C
3 2
1 -M
-M
Harga Jawab
Variabel Basis
Harga Basis
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
6
x 3
4 5
-1 1
5
7
x -M
2 6
1 1
6
8
x -M
1 1
5 -1
1 7
j j
c z
−
-3M-3 -7M-2
-6M-1 M
-M M
-13M
Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.
Cara perhitungan tabel simpleks ini sama dengan cara perhitungan tabel simpleks pada contoh 2.1.
Tabel 2.8 Tabel simpleks untuk solusi akhir
j
C
3 2
1 -M
-M
Harga Jawab
Variabel Basis
Harga Basis
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
3
x 1
3,24 6,05
1 1,01
6,45
5
x 5,35
29,41
1 5,08
-1
23,38
4
x 3,72
26,35
1 -4,04
-1
25,33
j j
c z
−
0,24 4,05
1,01 M
M 6,44
Dari tabel 2.8 tidak ada lagi
j j
c z
−
0, dengan demikian telah dicapai penyelesaian optimal yaitu :
45 ,
6
3
= x
38 ,
23
5
= x
33 ,
25
4
= x
8 7
6 2
1
= =
= =
= x
x x
x x
45 ,
6 1
2 3
+ +
= Z
= 6,45
Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.
2.3 Teori Himpunan Fuzzy
