Model Makroskopis dari Arbitrase Triangular

III. PEMBAHASAN

3.1 Model Makroskopis dari Arbitrase Triangular

Model makroskopis menggunakan data aktual kurs yang diambil dari www.oanda.com untuk tiga mata uang, yaitu IDR, JPY dan USD, dalam kurun waktu dari Januari sampai Maret 2007 kecuali hari libur. Data-data tersebut akan dianalisis untuk mengetahui apakah dari tiga mata uang tersebut memungkinkan terjadinya kesempatan arbitrase triangular atau arbitrase 3-poin. Lampiran 1 menunjukkan fluktuasi dari masing-masing kurs. 3.1.1 Keberadaan Kesempatan Arbitrase Triangular Arbitrase triangular adalah kegiatan finansial yang ingin mengambil keuntungan dari tiga kurs di pasar dunia. Prosedur transaksinya adalah sebagai berikut: pedagang menukar 1 unit mata uang pertama misalkan x untuk sejumlah mata uang kedua misalkan y , menukar sejumlah mata uang kedua y untuk sejumlah mata uang ketiga misalkan z , dan menukarkan kembali sejumlah mata uang ketiga z dengan mata uang pertama x pada saat t , dengan z merupakan ‘base currency’ atau mata uang dasar yang menjadi patokan dalam pertukaran. Umumnya USD merupakan ‘base currency’ dalam pertukaran mata uang. Jika pedagang dapat memperoleh keuntungan melalui transaksi tiga kurs maka dalam pasar tersebut terjadi kesempatan arbitrase triangular. Kesempatan arbitrase triangular terjadi dalam waktu yang singkat dan akan segera hilang dikarenakan banyak pedagang lain yang ingin membuat transaksi yang sama. Untuk memenuhi syarat kesempatan arbitrase triangular didefinisikan syarat berikut: 3 1 1 i i t r t = = ∏ μ 10 dengan i r t menyatakan kurs transaksi ke- i pada saat t . Syarat di atas dinamakan sebagai hasil kurs. Jika hasil kurs μ lebih besar dari unit awal mata uang pertama yang digunakan maka pedagang memperoleh keuntungan dan hal ini menandakan terjadinya kesempatan arbitrase triangular di pasar valuta asing. Arbitrase triangular melibatkan tiga kurs mata uang dengan salah satu dari mata uang tersebut merupakan ‘base currency’ maka pertukarannya memiliki dua kemungkinan aliran kurs, yang salah satunya akan lebih menguntungkan akibat adanya kesempatan arbitrase. Arah aliran kurs yang pertama berdasarkan transaksi dengan arah x y z x → → → dan yang kedua berdasarkan transaksi yang mempunyai arah x z y x → → → . Untuk transaksi dengan arah x y z x → → → , maka tiap kurs dapat didefinisikan sebagai berikut: 1 2 3 | 1 | 1 . 11 | a b a r t S y x r t S y z r t S z x = = = Sedangkan untuk transaksi dengan arah x z y x → → → , maka tiap kurs didefinisikan sebagai berikut: 1 2 3 1 | 1 | | . 12 a a b r t S x z r t S z y r t S x y = = = Diasumsikan bahwa seorang arbitran dapat bertransaksi dengan segera pada harga bid dan ask. Oleh karenanya digunakan harga pada waktu yang sama untuk menghitung hasil kurs. Berdasarkan hubungan antara nilai bid dan ask pada Persamaan 1 dan 2 maka hasil kurs μ dapat memiliki dua bentuk lain, didefinisikan sebagai berikut: 3 1 . i i t r t μ = = ∏ 13 Transaksi dengan arah x y z x → → → memiliki nilai i r t sebagai berikut: 1 2 3 1 | | | , 14 b a b r t S x y r t S z y r t S x z = = = dan transaksi dengan arah x z y x → → → memiliki nilai i r t sebagai berikut: 1 2 3 | | 1 . 15 | b b a r t S z x r t S y z r t S y x = = = Transaksi arbitrase μ memiliki transaksi pertukaran yang berlawanan dengan transaksi arbitrase μ . Maksud berlawanan di sini adalah berbeda dalam pemakaian kurs bid atau ask. Bentuk keduanya adalah: 3 1 i i t r t μ = = ∏ . 16 Untuk bentuk kedua, transaksi dengan arah x y z x → → → memiliki nilai i r t sebagai berikut: 1 2 3 1 | 1 | | , 17 b b b r t S x y r t S y z r t S x z = = = dan transaksi dengan arah x z y x → → → memiliki nilai i r t sebagai berikut: 1 2 3 | | 1 . 18 | b b b r t S z x r t S y z r t S y x = = = Transaksi arbitrase μ yang didefinisikan di atas mengambil asumsi bahwa akan lebih menguntungkan jika menggunakan nilai bid untuk transaksi terakhir karena di awal telah dinyatakan bahwa nilai bid selalu lebih kecil dari pada nilai ask. Sama halnya dengan transaksi μ dan μ , 1 μ unit mata uang pertama yang dipertukarkan menunjukkan adanya kesempatan arbitrase. Kesempatan itu akan segera hilang karena banyak transaksi lain yang sama sehingga membuat μ konvergen ke nilai rata-rata atau keseimbangannya. Hasil kurs μ diasumsikan menyebar normal sehingga diperoleh fungsi kepekatan peluang dari hasil kurs. Hubungan antara hasil kurs dan fungsi kepekatan peluangnya dapat dilihat dalam Gambar 1, dengan daerah di bawah kurva yang lebih besar dari 1 menyatakan terjadinya kesempatan arbitrase. HASILKURS PD F H A S IL K U R S 1.0012 1.0010 1.0008 1.0006 1.0004 1.0002 1.0000 0.9998 1000 800 600 400 200 Gambar 1.a Hasil Kurs t μ arah transaksi IDR JPY USD IDR → → → dengan mean 1.000313 dan standar deviasi 0.000382. HASILKURS PD F H A S IL K U R S 1. 000004 1. 000003 1. 000002 1. 000001 1. 000000 0. 999999 0. 999998 0. 999997 0. 999996 175000 150000 125000 100000 75000 50000 Gambar 1.b Hasil Kurs t μ arah transaksi IDR USD JPY IDR → → → dengan mean 0.9999999 dan standar deviasi 0.0000023. Didefinisikan logaritma hasil kurs v t sebagai berikut: 3 3 1 1 ln ln i i i i v t r t r t = = = = ∑ ∏ 19 dengan i r t menyatakan bentuk kedua dari kurs transaksi ke- i pada saat t .Keberadaan dari kesempatan arbitrase triangular dipenuhi apabila logaritma hasil kurs yang didefinisikan di atas memiliki nilai yang tak negatif. Logaritma hasil kurs v t diasumsikan menyebar normal sehingga diperoleh fungsi kepekatan peluang dari logaritma hasil kurs. Hubungan antara logaritma hasil kurs dengan fungsi kepekatan peluangnya dapat dilihat dalam Gambar 2, dengan daerah di bawah kurva yang tak negatif menyatakan terjadinya kesempatan arbitrase. LOG HASIL KURS PD F L OG H A S IL K U R S 0.0012 0.0009 0.0006 0.0003 0.0000 1000 800 600 400 200 Gambar 2.a Logaritma Hasil Kurs arah transaksi IDR JPY USD IDR → → → dengan mean 0.000313 dan standar deviasi 0.000382. LOG HASIL KURS P D F LO G H A S IL K U R S 0. 00 00 04 0. 00 00 03 0. 00 00 02 0. 00 00 01 0. 00 00 00 -0 .0 00 00 1 -0 .0 00 00 2 -0 .0 00 00 3 -0 .0 00 00 4 175000 150000 125000 100000 75000 50000 Gambar 2.b Logaritma Hasil Kurs arah transaksi IDR USD JPY IDR → → → dengan mean -0.0000001 dan standar deviasi 0.0000023. Dalam karya ilmiah ini perhitungan untuk hasil kurs dan logaritma hasil kurs yang dipakai adalah bentuk kedua karena dalam tulisan ini lebih memfokuskan pada harga pembelian dealer dari tiap transaksi. Lampiran 2 dan Lampiran 3 menyajikan perhitungan hasil kurs dan logaritma hasil kurs.

3.1.2 Model Makroskopis

Adanya kesempatan arbitrase triangular dalam pasar mempengaruhi fluktuasi harga. Fluktuasi yang terjadi dapat dikonstruksi dengan suatu model waktu perubahan kurs asing. Model ini menggunakan data untuk menjelaskan fluktuasi yang terjadi secara kuantitatif, bukan sekedar kualitatif. Model ini disebut dengan model makroskopis. 3.1.2.1 Persamaan Dasar Waktu Perubahan Logaritma Hasil Kurs Didefinisikan persamaan dasar waktu perubahan logaritma dari tiap kurs sebagai berikut: ln ln i i i r t t r t f t g v t + Δ = + + 20 dengan t Δ : perubahan waktu yang mengontrol skala waktu dari model; 1 t Δ = karena data yang dipakai adalah data harian, i f : kebebasan fluktuasi dari transaksi ke- i yang memenuhi sebaran levy terpotong truncated levy distribution, g : fungsi interaksi dari logaritma hasil kurs. Transaksi arbitrase triangular membuat logaritma hasil kurs v menuju ke rata-rata ε sehingga dapat didefinisikan fungsi interaksi sebagai aproksimasi linear sebagai berikut: g v k v ε = − − 21 sehingga 0 jika 0 jika v g v v ε ε ⎧ ⎨ ⎩ dengan k : konstanta positif yang menentukan kekuatan interaksi dari logaritma hasil kurs per satuan waktu, ε : rata-rata dari v . Persamaan waktu perubahan logaritma dari tiap kurs yang diberikan oleh Persamaan 20 dapat digunakan untuk membentuk persamaan waktu perubahan logaritma hasil kurs, yaitu dengan menjumlahkan Persamaan 20 dan menyubstitusi Persamaan 21 sehingga didapat rumusan sebagai berikut: 1 3 v t t k v t F t ε ε + Δ − = − − + 22 dengan 3 1 i i F t f t = = ∑ . Bukti: Untuk mendapatkan persamaan dasar waktu perubahan logaritma hasil kurs, dapat diperoleh dengan menjumlahkan persamaan waktu perubahan logaritma dari tiap kurs saat transaksi ke- i sebagai berikut: 3 1 ln i i v t t r t t = + Δ = + Δ ∑ 1 2 3 ln ln ln r t t r t t r t t = + Δ + + Δ + + Δ 1 1 = ln r t f t g v t ⎡ ⎤ + + ⎣ ⎦ 2 2 + ln r t f t g v t ⎡ ⎤ + + ⎣ ⎦ 3 3 + ln r t f t g v t ⎡ ⎤ + + ⎣ ⎦ 3 3 1 1 = ln 3 i i i i r t f t g v t = = + + ∑ ∑ = 3 v t F t k v t + + − − ε = 3 3 v t kv t k F t − + + ε = 1 3 k v t F t − − + + ε ε sehingga terbukti bahwa: 1 3 v t t k v t F t + Δ − = − − + ε ε 3.1.2.2 Penduga Parameter Persamaan 20 bergantung pada parameter i f dan k . Dalam bagian ini akan diduga besarnya masing-masing parameter tersebut. Penduga parameter untuk kekuatan interaksi k berhubungan dengan v , yang dinyatakan sebagai berikut: 2 2 2 1 3 : . k c t v t t v t v t − = Δ + Δ − = − ε ε 23 Dengan menggunakan persamaan di atas, dapat diduga k t Δ dari data berkala sebagai fungsi dari perubahan waktu t Δ , yaitu sebagai berikut: 2 2 2 1 1 3 v t t v t k t v t ⎛ ⎞ + Δ − ⎜ ⎟ Δ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ε ε 24 dengan v t t + Δ diperoleh dari data real berkala dengan t Δ adalah 1 hari karena data yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah data harian dari kurs. Dari perhitungan dengan menggunakan Persamaan 24 maka nilai k t Δ diperoleh yaitu sebesar 0.29 untuk transaksi pertukaran dengan arah IDR JPY USD IDR → → → dan sebesar 0.41 untuk transaksi pertukaran dengan arah IDR USD JPY IDR → → → . Apabila nilai dari selisih logaritma hasil kurs dengan rata-rata logaritma hasil kurs adalah positif maka fungsi interaksi dari logaritma hasil kurs untuk 1 0.29 k = akan lebih kuat dibandingkan dengan 1 0.41 k = . Sebaliknya, jika nilai dari selisih logaritma hasil kurs dengan rata-rata logaritma hasil kurs adalah negatif maka fungsi interaksi dari logaritma hasil kurs untuk 1 0.29 k = akan lebih lemah dibandingkan dengan 1 0.41 k = . Kebebasan fluktuasi dari transaksi ke- i i f memenuhi sebaran levy terpotong truncated levy distribution. Sebaran levy terpotong diperoleh dari suatu sebaran levy yang menggambarkan distribusi data keuangan yang selalu memiliki variansi yang berhingga Situngkir Surya, 2003d. Adapun fungsi karakteristik dari sebaran levy stabil adalah sebagai berikut: exp | | 1 tan ; 0, 2] {1} 2 ; , , , [ ] 2 exp | | 1 ln | | ; 1 25 itX L L t i sign t i t t P t E e t i sign t t i t ⎧ ⎧ ⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − + ∈ ⎪ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ = = = ⎨ ⎧ ⎫ ⎛ ⎞ ⎪ − − + = ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ ⎩ α α πα γ β δ α ϕ α β γ δ γ β δ α π dengan i β : parameter skewness yang menggambarkan keasimetrikan suatu sebaran dari transaksi ke- i ; [ ] 1,1 β ∈ − dan β = menyatakan sebaran simetrik, α : indeks kestabilanindeks ekortail eksponen karakteristik eksponen yang menyatakan nilai di saat ekor dari sebaran meruncing; ] 0, 2 α ∈ , asumsikan 0.5 α = untuk suatu fungsi karakteristik levy Nolan, 2005, γ : parameter skala yang menyatakan panjang atau lebar suatu sebaran; γ dan asumsikan 1 γ = , δ : parameter lokasi yang menyatakan perubahan posisi dari suatu sebaran; asumsikan 0 δ = , t : parameter yang menyatakan nilai kurs saat transaksi ke- i , sign t : menyatakan nilai signifikan, dinyatakan sebagai: 1 jika t 0 jika t 1 jika t 0. sign t ⎧ ⎪ = = ⎨ ⎪− ⎩ Suatu sebaran levy stabil dari data pengamatan akan konvergen ke suatu sebaran normal Mandelbrot, 1963. Hal tersebut sesuai dengan data hasil kurs yang telah dibahas sebelumnya yang menyatakan bahwa hasil kurs konvergen ke nilai keseimbangannya sehingga dari suatu sebaran levy stabil dihasilkan suatu sebaran levy terpotong truncated levy distribution. Didefinisikan fungsi karakteristik dari sebaran levy terpotong dengan l menyatakan koefisien truncation atau koefisien pemotongan, besarnya mendekati nol karena diharapkan pemotongan dari suatu sebaran levy sekecil mungkin mendekati sebaran levy stabil sebagai berikut: 2 2 2 ; , , , exp cos arctan 26 cos 2 T T t P t l t t l l l ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ = = − ⎜ + − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ α α α γ α γ δ ϕ α πα Lampiran 4 menyajikan perhitungan k dan i f yang didekati oleh T t ϕ . Gambar berikut menyatakan persamaan waktu perubahan logaritma hasil kurs v t dari model makroskopis dengan menggunakan data aktual kurs. vt+1 p d f v t+ 1 0.11010 0.11005 0.11000 0.10995 0.10990 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 Gambar 3.a Persamaan Waktu Perubahan dari Logaritma Hasil kurs untuk transaksi IDR JPY USD IDR → → → dengan mean 0.10996 dan standar deviasi 0.0000496 . vt+1 P D F v t+ 1 1.000060 1.000055 1.000050 1.000045 1.000040 0.50 0.25 0.00 -0.25 -0.50 Gambar 3.b Persamaan Waktu Perubahan dari Logaritma Hasil kurs untuk transaksi IDR USD JPY IDR → → → dengan mean 1.0001 dan standar deviasi 0.00000521.

3.2 Model Mikroskopis dari Arbitrase Triangular