Matriks dan Graf di ℝ

Contoh 2.C.4 Perhatikan graf � di bawah ini Gambar 2.C.4 Graf Berarah Berbobot Graf pada Gambar 2.C.4 di atas adalah graf berarah � = � , , dengan � = { , , } dan = { , , , , , }, serta bobot-bobot dari setiap busurnya adalah , = ; , = ; , = . Selanjutnya, dijelaskan tentang definisi lintasan dalam graf dan beberapa konsep yang berhubungan dengan lintasan, untuk mendefinisikan graf terhubung kuat. Definisi 2.C.6 Diberikan � = �, yang merupakan graf berarah dengan � = { , , … , }. Suatu lintasan � dalam � adalah suatu barisan berhingga busur , , , , … , − , dengan , + untuk suatu dan = , , … , − . a 1 3 2 c b Lintasan � yang dimaksudkan dalam Definisi 2.C.6 dapat direpresentasikan dengan → → → . Titik disebut sebagai titik awal lintasan dan titik disebut sebagai titik akhir lintasan. Definisi 2.C.7 Untuk suatu lintasan � pada suatu graf berarah berbobot �, panjang lintasan didefinisikan sebagai banyaknya busur yang menyusun � dan dinotasikan dengan |�| . Definisi 2.C.8 Rudhito, 2016 Suatu lintasan disebut sirkuit jika titik awal dan titik akhirnya sama. Sirkuit elementer adalah sirkuit yang titik-titiknya muncul tidak lebih dari sekali, kecuali titik awal yang muncul tepat dua kali. Definisi 2.C.9 Suatu graf berarah � = �, dengan � = { , , … , } dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap , �, ≠ terdapat suatu lintasan dari i ke j. Definisi 2.C.10 Rudhito, 2016 Suatu graf yang memuat sirkuit disebut graf siklik, sedangkan suatu graf yang tidak memuat sirkuit disebut graf taksiklik. 1 3 2 Contoh 2.C.5 Perhatikan graf � di bawah ini Gambar 2.C.5 Graf Berarah � Graf pada Gambar 5 di atas adalah graf berarah � = � , , dengan � = { , , } dan = { , , , , , , , , , , , }. Dalam graf berarah � terdapat barisan busur 2,1,1,1,1,2,2,3 yang merupakan lintasan dalam � . Lintasan ini dapat direpresentasikan dengan → → → → . Busur ini mempunyai panjang 4 karena tersusun aas 4 busur. Lintasan → → → → → → merupakan sirkuit dengan panjang 6. Lintasan → → → merupakan suatu sirkuit elementer dengan panjang 3. Pada graf berarah � setiap titik yang berbeda selalu terdapat suatu lintasan, sehingga graf berarah � terhubung kuat. Selanjutnya, dijelaskan mengenai hubungan antara matriks dan graf berarah berbobot yang terhubung kuat di ℝ max . Penjelasan diawali dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI definisi graf bobot atau graf preseden, yang merupakan graf dari suatu matriks dalam ℝ max . Definisi 2.C.11 Graf Bobot Precedence Graph, Schutter, 1996 dalam Rudhito, 2016 Diberikan ℝ � × . Graf bobot atau preseden dari A adalah graf berarah berbobot � = �, dengan � = { , , … , } dan = { , | , = ≠ ɛ}. Contoh 2.C.6 Diberikan matriks = [ ɛ − ɛ ] Graf bobot dari matriks merupakan graf berarah berbobot � = �, dengan himpunan titik � = { , , } dan himpunan busur = { , , , , , , , , , , , , , }, seperti yang disajikan dalam Gambar 2.C.6 . Perhatikan sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot � = �, selalu dapat didefinisikan suatu matriks ℝ � × dengan = { , , , ɛ, , Matriks ini disebut sebagai matriks bobot dari graf � dan graf berarah berbobot tersebut merupakan graf bobot dari . Berikut disajikan gambar graf berarah berbobot yang bersesuaian dengan matriks pada contoh yang diberikan di atas. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Gambar 2.C.6 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.6 Selanjutnya, dijelaskan pula mengenai konsep lintasan dan sirkuit pada graf preseden. Definisi 2.C.12 Diberikan graf berarah berbobot � = �, dengan � = { , , … , }. Bobot suatu lintasan � = → → → didefinisikan sebagai jumlahan bobot busur-busur yang menyusun � dan dinotasikan dengan |�| . Definisi 2.C.13 Rudhito, 2016 Untuk matriks ℝ � × , obot suatu lintasan � = → → → dalam graf bobot � adalah |�| = , + , + + , − . Bobot rata-rata lintasan �, dinotasikan dengan |�̅|, didefinisikan sebagai |�| . |�| dengan operasi perkalian dan pembagian pada bilangan real. 1 3 1 2 -1 1 3 2 2 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Contoh 2.C.7 Perhatikan graf berarah berbobot pada Contoh 2.C.6 berikut. Gambar 2.C.7 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.6 Panjang suatu lintasan � = → → → → adalah |�| = . Bobot lintasan � adalah |�| = , + , + , + , = + + + = − + + + = Bobot rata-rata lintasan � adalah |�̅|= |�| . |�| = = Selanjutnya, dijelaskan mengenai hubungan antara elemen ke-st matriks ℝ � × berpangkat k dengan bobot lintasan dari simpul t ke s pada graf preseden � . 1 3 1 2 -1 1 3 2 2 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Diberikan matriks ℝ � × , jika �, maka unsur ke-st dari matriks ⊗ adalah ⊗ = max ≤ , ,…, − ≤ , − + + , + , = max ≤ , ,…, − ≤ . + . + + , − untuk setiap s, t. Diketahui bahwa . + . + + , − adalah bobot lintasan dengan panjang k, dengan t sebagai titik awal dan s sebagai titik akhirnya dalam graf � . Oleh karena itu, ⊗ adalah bobot maksimum semua lintasan dalam � dengan panjang k, dengan t sebagai titik awal dan s sebagai titik akhirnya. Namun, apabila tidak ada lintasan dengan panjang k dari t ke s, maka bobot maksimum didefinisikan sama dengan ɛ. Contoh 2.C.8 Diberikan matriks = [ ɛ − ɛ ] dari Contoh 2.C.6. Bobot maksimum semua lintasan dalam � dengan panjang = ditentukan oleh elemen- elemen ⊗ , dengan ⊗ = [ ]. Dari matriks di atas, dapat diperoleh ⊗ = . Ini berarti bobot maksimum semua lintasan dalam � dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 3 dan berakhir di simpul 1 adalah 5. Hal ini karena ⊗ = max + + , + + PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI = max + + , + + = max , = Hal ini sesuai dengan yang terlihat dari graf preseden, bahwa ada 2 lintasan dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 3 dan berakhir di simpul 1,yaitu → → → dan → → → . Berikut adalah masing-masing bobot untuk setiap lintasan. Bobot untuk lintasan → → → adalah |�| = , + , + , = + + = + + = Bobot untuk lintasan → → → adalah |�| = , + , + , = + + = + + = Dari semua bobot lintasan tersebut, diperoleh bobot maksimum 5. Selanjutnya, dijelaskan mengenai bobot rata-rata maksimum untuk sirkuit elementer, dengan maksimum diambil atas semua sirkuit elementer dalam suatu graf. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Diberikan matriks ℝ � × , dengan graf bobotnya � = �, . Bobot maksimum dari semua sirkuit yang memiliki panjang k dengan titik i sebagai titik awal dan titik akhir dalam GA dinotasikan sebagai ⊗ . Maksimum dari bobot maksimum semua sirkuit yang memiliki panjang k dengan titik i sebagai titik awal dan titik akhir dalam GA atas seluruh titik i adalah ⊕ = ⊗ = � ⊗ dan bobot rata-ratanya adalah � ⊗ . Kemudian, diambil maksimum atas sirkuit dengan panjang , yaitu semua sirkuit elementer, diperoleh suatu rumus untuk bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam GA, yang dinotasikan dengan � max , yaitu � max =⊕ = � ⊗ Suatu sirkuit dalam graf G yang mempunyai bobot rata-rata sama dengan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer disebut sebagai sirkuit kritis. Suatu graf G yang terdiri dari semua sirkuit kritis disebut graf kritis dari G, yang dinotasikan dengan � � . Contoh 2.C.9 Diberikan matriks = [ − ɛ ɛ ], dengan graf berarah berbobot GA adalah sebagai berikut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 1 1 3 1 -2 1 1 3 2 2 3 1 1 2 Gambar 2.C.8 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.9 Akan ditentukan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam GA � max tersebut. Diperhatikan bahwa ⊗ = [ ] dan ⊗ = [ ], sehingga diperoleh � = , � ⊗ = , dan � ⊗ = . Bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer adalah � max =⊕ = � ⊗ = max , , = Berdasarkan hasil perhitungan di atas, � max = , sehingga sirkuit kritis pada graf preseden GA adalah → → dan → → . Maka graf kritis � � dari sirkuit kritis adalah Gambar 2.C.9 Graf Kritis Contoh 2.C.9 Teorema 2.C.1 Baccelli, et.al., dalam Rudhito, 2016 Diberikan ℝ � × . Jika semua sirkuit dalam GA mempunyai bobot tak positif, maka ∀� , ⊗ � max ⊕ ⊕ … ⊕ ⊗ − Bukti: Karena banyak titik dalam GA adalah n, maka semua lintasan dengan panjang � tersusun dari k sirkuit dengan jumlah panjang seluruh sirkuit kurang dari p dan satu lintasan dengan panjang kurang dari n. Ini berarti untuk setiap � dan untuk setiap , { , , … , }, terdapat { , , … , }, sehingga ⊗ � = ⊗ + ∑ ⊗ , dengan − , , dan = , , , … Karena semua sirkuit mempunyai bobot tidak positif, maka untuk setiap � dan untuk setiap , { , , … , }, berlaku ⊗ � ⊗ dengan − . Akibatnya ∀� , ⊗ � max ⊕ … ⊕ ⊗ − . Karena untuk setiap matriks ℝ � × berlaku ⊕ max , maka ∀� , ⊗ � max ⊕ ⊕ … ⊕ ⊗ − . Berdasarkan Teorema 2.C.1 di atas, maka dapat didefinisikan operasi bintang unntuk matriks berikut ini. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Definisi 2.C.14 Diberikan suatu matriks ℝ � × , dengan semua sirkuit dalam GA berbobot tidak positif, maka didefinisikan ∗ ≔ ⊕ ⊕ … ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ − ⊕ … dan + ≔ ⊗ ∗

D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks di ℝ

��� Seperti halnya pada matriks real, konsep nilai eigen dan vektor eigen juga dipelajari pada matriks di ℝ max . Bagian ini menjelaskan tentang konsep dan cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen di ℝ max . Penjelasan diawali dengan membahas kembali konsep dalam aljabar max-plus dan graf yang berkaitan dengan pembahasan nilai eigen dan vektor eigen. Berikut didefinisikan terlebih dahulu suatu matriks yang graf bobotnya terhubung kuat. Definisi 2.D.1 Subiono, 2015 Suatu matriks ℝ � × dikatakan irreducible tak-tereduksi jika graf GA adalah strongly connected terhubung kuat. Lebih lanjut, matriks tak- tereduksi adalah matriks yang tidak dapat dikonstruksi menjadi bentuk matriks segitiga atas. Teorema 2.D.1 Matriks ℝ � × irreducible tak-tereduksi jika dan hanya jika ⊕ ⊗ ⊕ … ⊕ ⊗ − ≠ ɛ untuk setiap , dengan ≠ . Bukti: 1. Jika matriks ℝ � × irreducible tak-tereduksi maka graf � = �, dengan � = { , , … , } terhubung kuat, yaitu untuk setiap , �, ≠ , terdapat suatu lintasan dari ke . Hal ini berarti untuk setiap , �, ≠ terdapat k dengan − sehingga ⊗ ≠ ɛ, sehingga ⊕ ⊗ ⊕ … ⊕ ⊗ − ≠ ɛ untuk setiap , dengan ≠ . 2. Jika ⊕ ⊗ ⊕ … ⊕ ⊗ − ≠ ɛ untuk setiap , dengan ≠ , maka terdapat k dengan − sehingga ⊗ ≠ ɛ. Hal ini berarti graf bobot � = �, dengan � = { , , … , } untuk setiap , �, ≠ , terdapat suatu lintasan dari ke . Akibatnya � terhubung kuat, sehingga matriks ℝ � × irreducible tak-tereduksi. Contoh 2.D.1 Diberikan matriks = [ ɛ − ɛ ] pada Contoh 2.C.6 ⊕ ⊗ = [ ɛ − ɛ ] ⊕ [ ] = [ ] Berarti ⊕ ⊗ ≠ ɛ untuk setiap , dengan ≠ . Dalam gambar graf pada Gambar 4 juga terlihat bahwa untuk sebarang dua titik yang berbeda i dan j dalam � terdapat suatu lintasan dari i ke j. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa matriks A irreducible tak-tereduksi. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Selanjutnya, dibahas mengenai konsep nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks di ℝ max . Definisi 2.D.2 Schutter, 1996 dalam Rudhito, 2016 Diberikan suatu matriks ℝ � × . Skalar � ℝ max disebut nilai eigen max- plus matriks A jika terdapat suatu vektor ℝ � dengan ≠ ɛ × sehingga ⊗ = � ⊗ . Vektor v tersebut disebut vektor eigen max-plus matriks A yang bersesuaian dengan �. Berikut diberikan teorema yang memberikan eksistensi nilai eigen aljabar max-plus untuk setiap matriks ℝ � × . Teorema 2.D.2 Skalar � max pada suatu matriks ℝ � × , yaitu bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam GA, merupakan suatu nilai eigen max-plus matriks A. Bukti: Rudhito, 2016 Didefinisikan matriks = −� max ⊗ , maka � max =⊕ = � ⊗ =⊕ = � −� max ⊗ ⊗ =⊕ = � −� max ⊗ ⊗ ⊗ =⊕ = −� max ⊗ ⊗ � ⊗ =⊕ = −� max ⊗ � max =⊕ = = Akibatnya, � tidak mempunyai sirkuit dengan bobot positif. Berdasarkan Teorema 2.C.1 , diperoleh ∗ ≔ ⊕ ⊕ … ⊗ − dan + ≔ ⊕ ⊗ ⊕ … ⊕ ⊗ . Karena � max = , maka terdapat �, dan suatu { , , … , } sehingga ⊗ = . Akibatnya, komponen ke-s dari . + kolom ke-s matriks + adalah ⊗ = . Ini berarti bahwa . + ≠ ɛ × . Di sisi lain, menurut Definisi 2.C.14, + = ⊗ ∗ dan ∗ = ⊕ + . Karena = , maka . + = . ∗ . Akibatnya . + = ⊗ . ∗ = . ∗ atau −� max ⊗ ⊗ . ∗ = . ∗ atau ⊗ . ∗ = � max ⊗ . ∗ . Jadi � max adalah suatu nilai eigen matriks A di ℝ max dan . ∗ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan � max . Karena definisi matriks = −� max ⊗ , maka sirkuit kritis � dalam GA juga merupakan sirkuit kritis dalam GB. Dari bukti Teorema 2.D.2 , diperoleh jika titik i menyusun busur dalam sirkuit kritis � , maka kolom ke-i matriks ∗ merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen � max . Kolom ke-i matriks ∗ di atas, yang merupakan vektor-vektor eigen max-plus matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen � max , disebut sebagai vektor eigen max-plus fundamental yang bersesuaian dengan nilai eigen max-plus � max . Kombinasi linear max-plus vektor-vektor eigen max-plus fundamental matriks A juga merupakan vektor eigen max-plus yang bersesuaian dengan � max . Contoh 2.D.2 Misalkan diberikan suatu matriks = [ − ɛ ɛ ] dalam Contoh 2.C.9 dengan � max = , maka dapat ditentukan matriks B, yaitu = −� max ⊗ = − ⊗ [ − ɛ ɛ ] = [ − − − − ɛ ɛ − ] Kemudian, dihitung ⊗ = [ − − − − − − ], sehingga diperoleh ∗ = ⊕ ⊕ ⊗ = [ ɛ ɛ ɛ ɛ ɛ ɛ ] ⊕ [ − − − − ɛ ɛ − ] ⊕ [ − − − − − − ] = [ − − − − ] Karena sirkuit → → merupakan sirkuit kritis pada GA, maka kolom pertama dan kedua matriks ∗ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen � max = , yang ditunjukkan sebagai berikut. [ − ɛ ɛ ] ⊗ [− − ] = [ ] = ⊗ [− − ] dan [ − ɛ ɛ ] ⊗ [ ] = [ ] = ⊗ [ ] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI