Matriks dan Graf di ℝ
Contoh 2.C.4
Perhatikan graf � di bawah ini
Gambar 2.C.4 Graf Berarah Berbobot Graf pada Gambar 2.C.4 di atas adalah graf berarah
� = � , , dengan
� = { , , } dan = { , , , , , }, serta bobot-bobot dari setiap
busurnya adalah , = ;
, = ; , = .
Selanjutnya, dijelaskan tentang definisi lintasan dalam graf dan beberapa konsep yang berhubungan dengan lintasan, untuk mendefinisikan graf
terhubung kuat.
Definisi 2.C.6 Diberikan
� = �, yang merupakan graf berarah dengan � = { , , … , }. Suatu lintasan � dalam � adalah suatu barisan berhingga
busur ,
, , , … ,
−
, dengan ,
+
untuk suatu dan
= , , … , − .
a
1
3 2
c b
Lintasan
� yang dimaksudkan dalam Definisi 2.C.6 dapat direpresentasikan
dengan → →
→ . Titik disebut sebagai titik awal lintasan dan titik disebut sebagai titik akhir lintasan.
Definisi 2.C.7 Untuk suatu lintasan
� pada suatu graf berarah berbobot �, panjang lintasan didefinisikan sebagai banyaknya busur yang menyusun
� dan dinotasikan dengan
|�| .
Definisi 2.C.8 Rudhito, 2016
Suatu lintasan disebut sirkuit jika titik awal dan titik akhirnya sama. Sirkuit elementer adalah sirkuit yang titik-titiknya muncul tidak lebih dari sekali,
kecuali titik awal yang muncul tepat dua kali.
Definisi 2.C.9
Suatu graf
berarah � = �, dengan � =
{ , , … , } dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap , �, ≠ terdapat
suatu lintasan dari i ke j.
Definisi 2.C.10 Rudhito, 2016
Suatu graf yang memuat sirkuit disebut graf siklik, sedangkan suatu graf yang tidak memuat sirkuit disebut graf taksiklik.
1
3 2
Contoh 2.C.5
Perhatikan graf � di bawah ini
Gambar 2.C.5 Graf Berarah �
Graf pada Gambar 5 di atas adalah graf berarah � = � ,
, dengan � =
{ , , } dan = { , , , , , , , , , , , }. Dalam graf berarah
� terdapat barisan busur 2,1,1,1,1,2,2,3 yang merupakan lintasan dalam � . Lintasan ini dapat direpresentasikan dengan → → → → . Busur
ini mempunyai panjang 4 karena tersusun aas 4 busur. Lintasan
→ → → → → → merupakan sirkuit dengan panjang 6. Lintasan
→ → → merupakan suatu sirkuit elementer dengan panjang 3.
Pada graf berarah � setiap titik yang berbeda selalu terdapat suatu lintasan,
sehingga graf berarah � terhubung kuat.
Selanjutnya, dijelaskan mengenai hubungan antara matriks dan graf berarah berbobot yang terhubung kuat di
ℝ
max
. Penjelasan diawali dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
definisi graf bobot atau graf preseden, yang merupakan graf dari suatu matriks dalam
ℝ
max
.
Definisi 2.C.11 Graf Bobot Precedence Graph, Schutter, 1996 dalam
Rudhito, 2016 Diberikan
ℝ
� ×
. Graf bobot atau preseden dari A adalah graf berarah berbobot
� = �, dengan � = { , , … , } dan = { , |
, = ≠ ɛ}.
Contoh 2.C.6
Diberikan matriks = [
ɛ −
ɛ ]
Graf bobot dari matriks merupakan graf berarah berbobot
� =
�, dengan himpunan titik � = { , , } dan himpunan busur =
{ , , , , , , , , , , , , , }, seperti yang disajikan dalam Gambar 2.C.6
. Perhatikan sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot
� =
�, selalu dapat didefinisikan suatu matriks ℝ
� ×
dengan = {
, , ,
ɛ, ,
Matriks ini disebut sebagai matriks bobot dari graf �
dan graf berarah berbobot tersebut merupakan graf bobot dari . Berikut disajikan gambar graf
berarah berbobot yang bersesuaian dengan matriks pada contoh yang
diberikan di atas. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2.C.6 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.6
Selanjutnya, dijelaskan pula mengenai konsep lintasan dan sirkuit pada graf preseden.
Definisi 2.C.12 Diberikan graf berarah berbobot
� = �, dengan � =
{ , , … , }. Bobot suatu lintasan � = → → → didefinisikan sebagai
jumlahan bobot busur-busur yang menyusun � dan dinotasikan dengan |�| .
Definisi 2.C.13 Rudhito, 2016
Untuk matriks ℝ
� ×
, obot suatu lintasan � = → → → dalam
graf bobot �
adalah |�| =
,
+
,
+ +
,
−
. Bobot rata-rata lintasan
�, dinotasikan dengan |�̅|, didefinisikan sebagai
|�|
. |�| dengan
operasi perkalian dan pembagian pada bilangan real. 1
3 1
2 -1
1
3 2
2 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 2.C.7 Perhatikan graf berarah berbobot pada Contoh 2.C.6 berikut.
Gambar 2.C.7 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.6
Panjang suatu lintasan � = → → → → adalah |�| = . Bobot
lintasan � adalah
|�| = , +
, + , +
, =
+ +
+ = − + + +
= Bobot rata-rata lintasan
� adalah |�̅|=
|�|
. |�| =
=
Selanjutnya, dijelaskan mengenai hubungan antara elemen ke-st matriks ℝ
� ×
berpangkat k dengan bobot lintasan dari simpul t ke s pada graf preseden
� .
1 3
1 2
-1
1
3 2
2 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Diberikan matriks ℝ
� ×
, jika �, maka unsur ke-st dari matriks
⊗
adalah
⊗
= max
≤ , ,…,
−
≤ ,
−
+ +
,
+
,
= max
≤ , ,…,
−
≤ .
+
.
+ +
,
−
untuk setiap s, t. Diketahui bahwa
.
+
.
+ +
,
−
adalah bobot lintasan dengan panjang k, dengan t sebagai titik awal dan s sebagai titik akhirnya dalam graf
� . Oleh karena itu,
⊗
adalah bobot maksimum semua lintasan dalam
� dengan panjang k, dengan t sebagai titik awal dan s sebagai titik
akhirnya. Namun, apabila tidak ada lintasan dengan panjang k dari t ke s, maka bobot maksimum didefinisikan sama dengan
ɛ.
Contoh 2.C.8
Diberikan matriks = [
ɛ −
ɛ
] dari Contoh 2.C.6. Bobot maksimum
semua lintasan dalam �
dengan panjang = ditentukan oleh elemen-
elemen
⊗
, dengan
⊗
= [ ].
Dari matriks di atas, dapat diperoleh
⊗
= . Ini berarti bobot maksimum semua lintasan dalam
� dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 3 dan
berakhir di simpul 1 adalah 5. Hal ini karena
⊗
= max + + , + + PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= max + + , + + = max ,
= Hal ini sesuai dengan yang terlihat dari graf preseden, bahwa ada 2 lintasan
dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 3 dan berakhir di simpul 1,yaitu → → → dan → → → . Berikut adalah masing-masing bobot
untuk setiap lintasan. Bobot untuk lintasan
→ → → adalah |�| =
, + , +
, =
+ +
= + + =
Bobot untuk lintasan → → → adalah
|�| = , +
, + ,
= +
+ = + +
= Dari semua bobot lintasan tersebut, diperoleh bobot maksimum 5.
Selanjutnya, dijelaskan mengenai bobot rata-rata maksimum untuk sirkuit elementer, dengan maksimum diambil atas semua sirkuit elementer
dalam suatu graf. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Diberikan matriks ℝ
� ×
, dengan graf bobotnya �
= �, . Bobot maksimum dari semua sirkuit yang memiliki panjang k dengan titik i
sebagai titik awal dan titik akhir dalam GA dinotasikan sebagai
⊗
. Maksimum dari bobot maksimum semua sirkuit yang memiliki panjang k
dengan titik i sebagai titik awal dan titik akhir dalam GA atas seluruh titik i adalah
⊕
= ⊗
= �
⊗
dan bobot rata-ratanya adalah �
⊗
. Kemudian, diambil maksimum atas sirkuit dengan panjang
, yaitu semua sirkuit elementer, diperoleh suatu rumus untuk bobot rata-rata
maksimum sirkuit elementer dalam GA, yang dinotasikan dengan �
max
, yaitu
�
max
=⊕
=
�
⊗
Suatu sirkuit dalam graf G yang mempunyai bobot rata-rata sama dengan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer disebut sebagai sirkuit kritis. Suatu
graf G yang terdiri dari semua sirkuit kritis disebut graf kritis dari G, yang dinotasikan dengan
�
�
.
Contoh 2.C.9
Diberikan matriks = [
− ɛ
ɛ ], dengan graf berarah berbobot GA
adalah sebagai berikut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
1 3
1 -2
1
1
3 2
2
3 1
1 2
Gambar 2.C.8 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.9
Akan ditentukan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam GA �
max
tersebut.
Diperhatikan bahwa
⊗
= [ ] dan
⊗
= [ ], sehingga
diperoleh �
= , �
⊗
= , dan �
⊗
= . Bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer adalah
�
max
=⊕
=
�
⊗
= max ,
, =
Berdasarkan hasil perhitungan di atas, �
max
= , sehingga sirkuit kritis pada graf preseden GA adalah
→ → dan → → . Maka graf kritis
�
�
dari sirkuit kritis adalah
Gambar 2.C.9 Graf Kritis Contoh 2.C.9
Teorema 2.C.1 Baccelli, et.al., dalam Rudhito, 2016
Diberikan ℝ
� ×
. Jika semua sirkuit dalam GA mempunyai bobot tak positif, maka
∀� ,
⊗
�
max
⊕ ⊕ … ⊕
⊗
−
Bukti: Karena banyak titik dalam GA adalah n, maka semua lintasan dengan panjang
� tersusun dari k sirkuit dengan jumlah panjang seluruh sirkuit kurang dari
p dan satu lintasan dengan panjang kurang dari n. Ini berarti untuk setiap
� dan untuk setiap
, { , , … , }, terdapat
{ , , … , }, sehingga
⊗
�
=
⊗
+ ∑
⊗ ,
dengan − ,
, dan
= , , , … Karena semua sirkuit mempunyai bobot tidak positif, maka untuk setiap
� dan untuk setiap
, { , , … , }, berlaku
⊗
�
⊗
dengan − .
Akibatnya ∀�
,
⊗
�
max
⊕ … ⊕
⊗
−
. Karena untuk setiap matriks
ℝ
� ×
berlaku ⊕
max
, maka ∀�
,
⊗
�
max
⊕ ⊕ … ⊕
⊗
−
.
Berdasarkan Teorema 2.C.1 di atas, maka dapat didefinisikan operasi
bintang unntuk matriks berikut ini. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.C.14 Diberikan suatu matriks
ℝ
� ×
, dengan semua sirkuit dalam GA berbobot tidak positif, maka didefinisikan
∗
≔ ⊕ ⊕ … ⊕
⊗
⊕
⊗
−
⊕ … dan
+
≔ ⊗
∗