Matriks dan Vektor di ℝ

b. Akan dibuktikan bahwa: ⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗ Bukti: Ambil sebarang matriks ℝ � ×� , , ℝ � �× . Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊗ ⊕ , berlaku ⊗ ⊕ = ⊕ = � ⊗ ⊕ = ⊕ = � ⊗ ⊕ ⊗ = ⊕ = � ⊗ ⊕ ⊕ = � ⊗ = ⊗ ⊕ ⊗ ; untuk dan Jadi terbukti bahwa ⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗ . Definisi 2.B.1.3 Transpose matriks dalam ℝ � dinotasikan dengan � dan didefinisikan sama dengan matriks transpose dalam aljabar biasa, yaitu [ � ] = [ ] Definisi 2.B.1.4 Rudhito, 2016 Didefinisikan matriks ℝ � × dengan ∶= {ɛ = ≠ Didefinisikan matriks Ԑ ℝ � × dengan Ԑ ∶= ɛ untuk setiap baris ke- i dan kolom ke-j. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Contoh 2.B.1.2 ℝ max × , ⊕, ⊗ merupakan semiring idempoten dengan elemen netral adalah matriks Ԑ dan elemen satuan adalah matriks . Matriks disebut juga sebagai matriks identitas max-plus dan matriks Ԑ disebut sebagai matriks nol max-plus. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa ℝ max × , ⊕, ⊗ merupakan semiring dengan elemen netral adalah matriks Ԑ dan elemen satuan adalah matriks . Bukti: 1. ℝ max × , ⊕ adalah semigrup komutatif dengan elemen netral matriks Ԑ, yaitu untuk sebarang , , ℝ max × memenuhi a. Sifat komutatif Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊕ , berlaku ⊕ = max , = max , = ⊕ ; untuk dan Jadi terbukti bahwa ⊕ = ⊕ . b. Sifat asosiatif Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊕ ⊕ , berlaku ⊕ ⊕ = maxmax , , = max , , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI = max , max , = ⊕ ⊕ ; untuk dan Jadi terbukti bahwa ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ . c. Memiliki elemen netral matriks Ԑ , Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊕ Ԑ, berlaku A ⊕ Ԑ = max , Ԑ = maxԐ , = Ԑ ⊕ = ; untuk dan Jadi terbukti bahwa A ⊕ Ԑ = Ԑ ⊕ = . 2. ℝ max × , ⊗ adalah semigrup dengan elemen satuan matriks , yaitu untuk sebarang , , ℝ max × memenuhi a. Sifat asosiatif Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊗ ⊗ , berlaku ⊗ ⊗ = ⊕ = ⊕ = ⊗ ⊗ = ⊕ = ⊕ = ⊗ ⊗ = ⊕ = ⊗ ⊕ = ⊗ = ⊗ ⊗ ; untuk dan Jadi terbukti bahwa ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ . b. Memiliki elemen satuan matriks , Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊗ , berlaku A ⊗ =⊕ = ⊗ =⊕ = ⊗ = ⊗ = ; untuk dan Jadi terbukti bahwa A ⊗ = ⊗ = . 3. Elemen netral matriks Ԑ merupakan elemen penyerap terhadap operasi ⊗, yaitu untuk sebarang ℝ max × memenuhi A ⊗ Ԑ =⊕ = ⊗ Ԑ =⊕ = Ԑ ⊗ = Ԑ ⊗ = Ԑ ; untuk dan Jadi terbukti bahwa A ⊗ Ԑ = Ԑ ⊗ = Ԑ. 4. Operasi ⊗ distributif terhadap ⊕, yaitu untuk sebarang , , ℝ max × berlaku a. Distributif kanan Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊕ ⊗ , berlaku ⊕ ⊗ = ⊕ = ⊕ ⊗ = ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗ = ⊕ = ⊗ ⊕ ⊕ = ⊗ = ⊗ ⊕ ⊗ ; untuk dan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Jadi, ⊕ ⊗ = ⊗ ⊕ ⊗ . b. Distributif kiri Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊗ ⊕ , berlaku ⊗ ⊕ = ⊕ = ⊗ ⊕ = ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗ = ⊕ = ⊗ ⊕ ⊕ = ⊗ = ⊗ ⊕ ⊗ ; untuk dan Jadi, ⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗ . Kemudian, ditunjukkan bahwa ℝ max × , ⊕, ⊗ merupakan semiring idempoten. Bukti: Semiring ℝ max × merupakan suatu semiring idempoten karena untuk sebarang ℝ max × , yaitu untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊕ , berlaku: ⊕ = max , = Jadi terbukti bahwa semiring ℝ max × , terhadap operasi ⊕, berlaku sifat idempoten, yaitu ⊕ = , sehingga ℝ max × , ⊕, ⊗ disebut sebagai semiring idempoten Definisi 2.A.3. ℝ max × , ⊕, ⊗ bukan semiring komutatif Rudhito, 2016, karena terdapat matriks = [ ɛ] dan = [ɛ ] dengan ⊗ B = [ ɛ] ⊗ [ɛ ] = [max , ε max , max , ɛ max , ɛ ] = [ ] ⊗ A = [ɛ ] ⊗ [ ɛ] = [ max , max , ɛ max ɛ, max ɛ, ɛ ] = [ ɛ] Sehingga terlihat bahwa ⊗ B ≠ ⊗ A. Jadi dapat disimpulkan bahwa sifat komutatif pada operasi matriks hanya berlaku untuk operasi ⊕ dan tidak berlaku untuk operasi ⊗. Definisi 2.B.1.5 Pangkat ∪ { } dengan N adalah himpunan semua bilangan asli, dari matriks ℝ max × dinotasikan dengan ⊗ . Notasi ⊗ kemudian didefinisikan sebagai berikut: ⊗ ≔ dan ⊗ ≔ ⊗ ⊗ − , untuk = 1, 2, … . Berdasarkan definisi tersebut, maka dapat dijelaskan unsur ke-st matriks berpangkat, sebagai berikut: Unsur ke-st matriks ⊗ adalah ⊗ = ⊗ = ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ … ⊕ ⊗ = ⊕ = , ⊗ , = max ≤ ≤ , + , Unsur ke-st matriks ⊗ adalah ⊗ = ⊗ ⊗ = ⊕ = , ⊕ = , ⊗ , = ⊕ = ⊕ = , ⊗ , ⊗ , = max ≤ , ≤ , + , + , Secara umum, unsur ke-st matriks ⊗ adalah ⊗ = ⊕ − = , − … ⊕ = , ⊗ , = ⊕ = … ⊕ = , − ⊗ … ⊗ , ⊗ , = max ≤ , ,…, − ≤ , − + + , + , Berdasarkan persamaan terakhir, untuk sebarang ℝ max dan ℝ max × unsur ke-st ⊕ ⊗ adalah ⊕ ⊗ = max ≤ , ,…, − ≤ + , − + + + , + + , = + + + + max ≤ , ,…, − ≤ , − + + , + , = ⊗ ⊗ ⊗ ; untuk = , , … . Jadi, untuk sebarang skalar ℝ max dan ℝ max × berlaku : ⊕ ⊗ = ⊗ ⊗ ⊗ ; untuk = , , … . Untuk sebarang ℝ max × didefinisikan � ≔⊕ = . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Contoh 2.B.1.3 Diberikan = [ − ɛ ɛ ɛ ] maka, ⊗ = ⊗ = [ − ɛ ɛ ɛ ] ⊗ [ − ɛ ɛ ɛ ] = [ − ɛ ɛ ] ⊗ = ⊗ ⊗ = [ − ɛ ɛ ɛ ] ⊗ [ − ɛ ɛ ] = [ ɛ ɛ ] � =⊕ = = max , , = � ⊗ = max , , = � ⊗ = max , , =

2. Vektor di ℝ

��� Bagian ini membahas semimodul atas ℝ max yang melandasi pembahasan konsep vektor di ℝ max . Definisi 2.B.2.1 Diberikan semiring komutatif �, +, × dengan elemen netral 0 dan elemen identitas 1. Semimodul M atas S adalah semigrup komutatif M , + bersama operasi perkalian skalar • : � × → , yang dituliskan dengan , ↦ • , yang memenuhi aksioma berikut: ∀ , � � dan ∀ , berlaku: a. • + = • + • b. + • = • + • c. • • = • • PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI d. • = e. • = Suatu elemen dalam semimodul disebut vektor. Contoh 2.B.2.1 ℝ � × adalah semimodul atas ℝ max . Selanjutnya, ℝ � × cukup ditulis sebagai ℝ � , dimana ℝ � ≔ { = [ , , … , ] � | ℝ max , = , , … , } Untuk setiap , ℝ � dan untuk setiap ℝ max didefinisikan operasi ⊕ dengan ⊕ y = [ ⊕ , ⊕ , … , ⊕ ] � dan operasi perkalian skalar • dengan • = ⊗ = [ ⊗ , ⊗ , … , ⊗ ] � . Berdasarkan Teorema 2.B.1.1 a dan b, maka dapat disimpulkan bahwa ℝ � ,⊕ adalah semigrup komutatif dengan elemen netral ɛ = [ɛ, ɛ, … , ɛ] � . Kemudian, berdasarkan Teorema 2.B.1.1 j, i, dan g, maka dapat disimpulkan pula bahwa ℝ � adalah semimodul atas ℝ max . Diberikan vektor-vektor , , … , di dalam semimodul M dan skalar-skalar , , … , di dalam semiring komutatif S. Didefinisikan kombinasi linear dari vektor-vektor , , … , adalah suatu bentuk aljabar • + • + … + • . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

C. Matriks dan Graf di ℝ

��� Bagian ini memberikan penjelasan secara singkat mengenai teori graf dan interpretasi beberapa operasi dan konsep dasar aljabar max-plus dalam teori graf. Konsep ini menjadi dasar pembahasan nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. Definisi 2.C.1 Suatu graf � didefinisikan sebagai pasangan himpunan �, dengan � adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik vertices dan adalah suatu himpunan pasangan tak terurut dan boleh merupakan himpunan kosong titik-titik yang anggotanya disebut rusuk edges. Contoh 2.C.1 Perhatikan graf � di bawah ini Gambar 2.C.1 Graf Secara Umum Graf pada Gambar 2.C.1 di atas adalah graf � = � , , dengan � = { , , } dan = { , , , , , }. 1 3 2 1 3 2 Definisi 2.C.2 Suatu graf berarah � didefinisikan sebagai pasangan himpunan �, dengan � adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik vertices dan adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik yang anggotanya disebut busur arc. Definisi 2.C.3 Untuk busur , , i disebut sebagai titik awal busur dan j disebut sebagai titik akhir busur. Suatu loop adalah busur , . Kedua definisi di atas menjelaskan bahwa graf berarah � adalah graf yang setiap busurnya mempunyai arah. Secara geometri dinyatakan suatu anak panah yang arahnya dari ke . Contoh 2.C.2 Perhatikan graf � di bawah ini Gambar 2.C.2 Graf Berarah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Graf pada Gambar 2.C.2 di atas adalah graf berarah � = � , , dengan � = { , , } dan = { , , , , , }, yang merupakan himpunan pasangan terurut. Berdasarkan Definisi 2.C.1 dan Definisi 2.C.2, serta Contoh 2.C.1 dan Contoh 2.C.2 dapat dijelaskan cara menggambar suatu graf adalah sebagai berikut: jika suatu graf disajikan dalam bentuk gambar, maka titik digambarkan sebagai noktah yang diberi label dengan nama titik yang diwakilinya. Rusuk digambarkan sebagai kurva atau ruas garis yang menghubungkan noktah- noktah yang bersesuaian pada rusuk atau loop. Sedangkan busur digambarkan sebagai kurva atau ruas garis berarah yang menghubungkan noktah-noktah yang bersesuaian dengan titik awal dan titik akhir busur, dengan tanda panah yang ujungnya menandakan arah busur. Definisi 2.C.4 Suatu graf berbobot � adalah graf yang memiliki bobot pada setiap rusuknya, dinotasikan dengan , ℝ, untuk , , dimana adalah suatu himpunan pasangan tak terurut dan boleh merupakan himpunan kosong titik-titik yang anggotanya disebut rusuk edges, dan adalah titik- titik vertices. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI a 1 3 2 c b Contoh 2.C.3 Perhatikan graf � di bawah ini Gambar 2.C.3 Graf Berbobot Graf pada Gambar 2.C.3 di atas adalah graf berbobot � = � , , dengan � = { , , } dan = { , , , , , }, serta bobot-bobot dari setiap rusuknya yang dinyatakan dengan , = , , = , dan , = , dimana , , ℝ. Definisi 2.C.5 Suatu graf berarah � disebut berbobot jika setiap busur , dapat dikawankan dengan suatu bilangan real ≠ ɛ yang merupakan bobot busur , , dinotasikan dengan , , dimana adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik yang anggotanya disebut busur arc, adalah titik awal busur, dan adalah titik akhir busur. Contoh 2.C.4 Perhatikan graf � di bawah ini Gambar 2.C.4 Graf Berarah Berbobot Graf pada Gambar 2.C.4 di atas adalah graf berarah � = � , , dengan � = { , , } dan = { , , , , , }, serta bobot-bobot dari setiap busurnya adalah , = ; , = ; , = . Selanjutnya, dijelaskan tentang definisi lintasan dalam graf dan beberapa konsep yang berhubungan dengan lintasan, untuk mendefinisikan graf terhubung kuat. Definisi 2.C.6 Diberikan � = �, yang merupakan graf berarah dengan � = { , , … , }. Suatu lintasan � dalam � adalah suatu barisan berhingga busur , , , , … , − , dengan , + untuk suatu dan = , , … , − . a 1 3 2 c b