Definisi dan Sifat Dasar Aljabar Max-Plus

Contoh 2.A.3 Semiring komutatif ℝ max merupakan semifield, karena untuk setiap ℝ max terdapat − , sehingga berlaku ⊗ − = + − = . Dari Contoh 2.A.2 dan 2.A.3 di atas, terlihat bahwa ℝ max merupakan semifield idempoten. Elemen-elemen ℝ max akan disebut juga dengan skalar Subiono, 2015: 4. Seperti dalam aljabar biasa, prioritas urutan operasi dalam ℝ max juga penting untuk diperhatikan. Apabila tidak diberikan tanda kurung, maka operasi ⊗ mempunyai prioritas yang lebih tinggi daripada operasi ⊕. Operasi lainnya dalam ℝ max yang memiliki prioritas tertinggi dibandingkan dengan operasi ⊕ dan ⊗ adalah operasi pangkat. Pangkat � ∪ { } dengan N adalah himpunan semua bilangan asli, dari elemen ℝ max yang dinotasikan dengan ⊗ . Notasi ⊗ kemudian didefinisikan sebagai berikut: ⊗ ≔ dan ⊗ ≔ ⊗ ⊗ − , untuk = 1, 2, … . Didefinisikan juga � ⊗ ≔ dan � ⊗ ≔ �, untuk = 1, 2, … . Diperhatikan bahwa ⊗ ≔ ⊗ ⊗ … ⊗ = + + + = , dengan operasi perkalian pada bilangan real. Berikut diberikan beberapa contoh penggunaan operasi dalam ℝ max . Tabel 2.1 Contoh Pengoperasian dalam ℝ � ℝ ��� Aljabar Biasa = ⊕ max , ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ max , , , , ɛ ⊕ max −∞, ⊗ + ⊗ ɛ + −∞ −∞ − ⊗ − + ⊗ � + ⊗ = ⊗ × = + ⊗ = ⊗ ⊗ ⊗ × = + + + � ⊗ = ⊗ × = × ⊕ ⊗ = ⊗ ⊕ ⊗ × max , atau max × , × 10

B. Matriks dan Vektor di ℝ

��� Bagian ini menjelaskan tentang matriks dan vektor dalam ℝ max , yang meliputi definisi matriks di ℝ max , operasi matriks di ℝ max beserta sifat- sifatnya, dan definisi vektor di ℝ max .

1. Matriks di ℝ

��� Himpunan matriks × dalam ℝ max untuk , �, dimana N adalah himpunan semua bilangan asli, dinotasikan dengan ℝ max × . Operasi ⊕ dan ⊗ yang telah dijelaskan sebelumnya dapat diperluas untuk operasi- operasi dalam ℝ max × . Seperti pada matriks real, operasi matriks atas ℝ max meliputi tiga operasi dasar, yaitu penjumlahan matriks, perkalian matriks, dan perkalian matriks dengan skalar, yang akan dijelaskan menggunakan definisi berikut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Definisi 2.B.1.1 Diberikan ℝ max × ≔ { = | ℝ max , i = 1, 2, … , m dan j = 1, 2, …, n}. a. Diketahui ℝ max × , ℝ max × , didefinisikan ⊕ adalah matriks yang unsur ke-ij-nya: ⊕ = ⊕ untuk i = 1, 2, … , m dan j = 1, 2, …, n b. Diketahui ℝ max , ℝ max × , didefinisikan ⊗ adalah matriks yang unsur ke-ij-nya: ⊗ = ⊗ untuk i = 1, 2, … , m dan j = 1, 2, …, n c. Diketahui ℝ max × , ℝ max × , didefinisikan ⊗ adalah matriks yang unsur ke-ij-nya: ⊗ =⊕ = � ⊗ untuk i = 1, 2, … , m dan j = 1, 2, …, n Berikut diberikan contoh cara pengoperasian matriks berdasarkan definisi operasi matriks di atas. Contoh 2.B.1.1 a. [− � − ] ⊕ [ − ] = [ ⊕ ⊕ − ⊕ ⊕ − � ⊕ − ⊕ ] = [ max , max , max − , max , − max �, max − , ] = [ ] b. ⊗ [ � ] = [ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ε ⊗ ] = [ + + + + + � + ] = [ � ] c. [−� ] ⊗ [ � − ] = [− ⊗ ε ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ − ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ − � ⊗ � ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ � ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ − ] = [max − + ε, + , + max − + , + , + − max ε + ε, + , + max ε + , + , + − ] = [max ε, , max , , − max ε, , max ε, , ] = [ ] Definisi 2.B.1.2 Matriks , ℝ � × dikatakan sama jika = , untuk setiap i dan j. Selanjutnya, dijelaskan mengenai sifat-sifat operasi ⊕ dan ⊗ pada matriks. Teorema 2.B.1.1 Rudhito, 2016 Pernyataan- pernyatan berikut berlaku untuk sebarang skalar α dan β, dan sebarang matriks A, B, dan C, asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi. a. ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ b. ⊕ = ⊕ c. ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI d. ⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗ e. ⊕ ⊗ = ⊗ ⊕ ⊗ f. ⊗ = ⊗ g. ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ h. ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ i. ⊕ ⊗ = ⊗ ⊕ ⊗ j. ⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗ k. ⊕ = Berikut ini diberikan pembuktian untuk sifat c dan d, sedangkan untuk pembuktian sifat yang lain langsung mengikuti definisi operasi dan sifat-sifat operasi pada ℝ ��� . a. Akan dibuktikan bahwa: ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ Bukti: Ambil sebarang matriks ℝ � ×� , ℝ � �× , ℝ � × . Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊗ ⊗ , berlaku ⊗ ⊗ = ⊕ = ⊕ = � ⊗ ⊗ = ⊕ = ⊕ = � ⊗ ⊗ = ⊕ = ⊗ ⊕ = � ⊗ = ⊗ ⊗ ; untuk dan Jadi terbukti bahwa ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ . b. Akan dibuktikan bahwa: ⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗ Bukti: Ambil sebarang matriks ℝ � ×� , , ℝ � �× . Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊗ ⊕ , berlaku ⊗ ⊕ = ⊕ = � ⊗ ⊕ = ⊕ = � ⊗ ⊕ ⊗ = ⊕ = � ⊗ ⊕ ⊕ = � ⊗ = ⊗ ⊕ ⊗ ; untuk dan Jadi terbukti bahwa ⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗ . Definisi 2.B.1.3 Transpose matriks dalam ℝ � dinotasikan dengan � dan didefinisikan sama dengan matriks transpose dalam aljabar biasa, yaitu [ � ] = [ ] Definisi 2.B.1.4 Rudhito, 2016 Didefinisikan matriks ℝ � × dengan ∶= {ɛ = ≠ Didefinisikan matriks Ԑ ℝ � × dengan Ԑ ∶= ɛ untuk setiap baris ke- i dan kolom ke-j. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI