nilai eigen max-plus �
max
. Kombinasi linear max-plus vektor-vektor eigen max-plus fundamental matriks A juga merupakan vektor eigen max-plus yang
bersesuaian dengan �
max
.
Contoh 2.D.2
Misalkan diberikan suatu matriks = [
− ɛ
ɛ
] dalam Contoh 2.C.9
dengan �
max
= , maka dapat ditentukan matriks B, yaitu
= −�
max
⊗ = − ⊗ [ −
ɛ ɛ
] = [ −
− −
− ɛ
ɛ −
]
Kemudian, dihitung
⊗
= [ −
− −
− −
− ], sehingga diperoleh
∗
= ⊕ ⊕
⊗
= [ ɛ ɛ
ɛ ɛ
ɛ ɛ ] ⊕ [
− −
− −
ɛ ɛ
− ] ⊕ [
− −
− −
− −
]
= [ −
− −
− ]
Karena sirkuit → → merupakan sirkuit kritis pada GA, maka kolom
pertama dan kedua matriks
∗
adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
�
max
= , yang ditunjukkan sebagai berikut. [
− ɛ
ɛ ] ⊗ [−
− ] = [ ] = ⊗ [−
− ] dan
[ −
ɛ ɛ
] ⊗ [ ] = [ ] = ⊗ [ ] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 2.D.3 Diberikan suatu matriks
ℝ
� ×
. Jika � ℝ adalah nilai
eigen matriks A di ℝ
max
, maka � merupakan bobot rata-rata suatu sirkuit
dalam GA. Bukti:
Misalkan � adalah nilai eigen matriks A di ℝ
max
, maka untuk setiap { , … , } berlaku ⊗ � = � ⊗ � dengan � ≠ ɛ
×
. Akibatnya terdapat suatu indeks
, sehingga
,
⊗ = � ⊗
dengan ≠ ɛ. Karena � ≠
ɛ dan ≠ ɛ, maka
≠ ɛ dan
,
≠ ɛ. Karena ≠ ɛ maka terdapat suatu
indeks sedemikian rupa sehingga
,
⊗ = � ⊗
. Karena � ≠ ɛ dan
≠ ɛ, maka ≠ ɛ dan
,
≠ ɛ. Demikian seterusnya dengan cara yang sama seperti di atas, maka akan diperoleh suatu barisan
{ } sehingga
−
,
⊗ = � ⊗
−
dengan ≠ ɛ dan
−
,
≠ ɛ untuk = , , …. Karena banyak titik dalam graf GA berhingga, maka terdapat suatu j dan l, sehingga
= . Akibatnya diperoleh suatu sirkuit �. Misalkan � adalah ,
, … ,
+
,
+
,
+
, sehingga diperoleh
,
+
⊗
+
⊗ … ⊗
,
+
⊗
+
= � ⊗ ⊗ … ⊗ � ⊗
Karena operasi
⊗ di ℝ
max
bersifat komutatif, maka diperoleh
,
+
⊗ … ⊗
,
⊗
+
⊗ … ⊗ ⊗
= �
− +
⊗
+
⊗ … ⊗
atau
,
+
⊗ … ⊗
,
= �
− +
atau � =
�
, +
⊗…⊗�
,
− +
. Hal ini berarti
� merupakan bobot rata-rata sirkuit �. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Berdasarkan Teorema 2.D.2 dan Teorema 2.D.3, maka dapat
disimpulkan bahwa untuk suatu matriks ℝ
� ×
, �
max
adalah nilai eigen ℝ
max
. Selanjutnya, diberikan lemma tentang sifat vektor eigen dari matriks A yang irreducible tak-tereduksi, yang menyatakan bahwa untuk matriks
irreducible tak-tereduksi, semua komponen vektor eigen max-plusnya berupa
bilangan real. Lemma 2.D.1 berikut ini digunakan untuk membuktikan Teorema 2.D.4
.
Lemma 2.D.1 Jika matriks irreducible tak-tereduksi
ℝ
� ×
mempunyai nilai eigen
� dengan x adalah vektor eigen ℝ
max
yang bersesuaian dengan �,
maka ≠ ɛ untuk setiap
{ , … , }. Bukti:
Misalkan terdapat dengan tunggal elemen { , … , } sehingga
= ɛ. Akibatnya
⊗ � = � ⊗ = ɛ atau
,
⊗ = ɛ, untuk setiap { , … , }.
Karena ≠ ɛ untuk setiap ≠ , maka
,
= ɛ. Hal ini berarti tidak ada busur dari setiap titik
≠ ke titik s. Akibatnya GA tidak terhubung kuat atau A tereduksi
. Jika terdapat lebih dari satu komponen yang sama dengan ɛ, bukti seperti di atas akan menghasikan kesimpulan bahwa matriks A tereduksi. Lebih
lanjut, matriks tereduksi adalah matriks yang dapat dikonstruksi mejadi bentuk matriks blok segitiga atas, dengan elemen-
elemen berupa matriks ɛ atau matriks tak-tereduksi Subiono, 2015: 25.
Matriks irreducible tak-tereduksi mempunyai nilai eigen aljabar max- plus tunggal. Hal ini diberikan seperti dalam teorema berikut.
Teorema 2.D.4 Jika matriks
ℝ
� ×
irreducible tak-tereduksi, maka
matriks A mempunyai nilai eigen ℝ
max
tunggal. Bukti: Rudhito, 2016
Eksistensi nilai eigen suatu matriks A di ℝ
max
telah diberikan dalam Teorema 2.D.2
. Misalkan � adalah sebarang nilai eigen matriks A di ℝ
max
dengan x adalah vektor eigen
ℝ
max
yang bersesuaian dengan �. Karena matriks A
irreducible tak-tereduksi, maka menurut Lemma 2.D.1,
≠ ɛ untuk setiap { , , … , }. Diambil sebarang sirkuit γ, misalkan sirkuit γ adalah
, , ,
, … ,
�
, dalam GA. Karena � adalah nilai eigen suatu matriks A di
ℝ
max
, maka
,
⊗ = � ⊗
,
�
,
�−
⊗
�−
= � ⊗
�
,
,
�
⊗
�
= � ⊗ .
Dari bukti Teorema 2.D.3, diperoleh bahwa
� lebih besar atau sama dengan rata-
rata bobot γ, untuk setiap sirkuit γ dalam GA. Jadi � = �
max
, yang berarti bahwa nilai eigen matriks A di
ℝ
max
adalah tunggal. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
BAB III PEMODELAN JARINGAN KERETA API
Bab ini menjelaskan tentang aplikasi aljabar max-plus pada penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta. Penjelasan diawali dengan
memberikan gambaran mengenai sistem transportasi kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta secara umum, kemudian dibuat pemodelan jaringan penjadwalan
kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus. Pemodelan tersebut meliputi penentuan rute pilihan, pembuatan graf rute pilihan,
penyusunan sinkronisasi graf rute pilihan, penyusunan model matematika berdasarkan
sinkronisasi yang
dibuat, dan
penentuan matriks
yang direpresentasikan oleh graf rute pilihan berdasarkan model matematika yang
diperoleh.
A. Sistem Transportasi Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta
Kereta api komuter adalah sebuah sarana transportasi kereta api penumpang yang menghubungkan antara pusat kota dan pinggiran kota dimana
setiap harinya menarik sejumlah besar orang untuk melakukan perjalanan. Kereta api komuter yang berada di bawah pengoperasian DAOP VI
Yogyakarta antara lain kereta api Prambanan Ekspres, kereta api Sidomukti, kereta api Kalijaga, kereta api Madiun Jaya, kereta api Joglo Kerto, dan kereta
api Bathara Kresna. Berikut akan dijelaskan tujuh rute yang dilalui oleh kereta api komuter kereta api lokal yang berada di DAOP VI Yogyakarta. Data ini
diperoleh dari PT Kereta Api Indonesia Daerah Operasi DAOP VI Yogyakarta.
1. Rute 1 Kereta Api Prambanan Ekspres
Stasiun Kutoarjo – Stasiun Jenar – Stasiun Wates – Stasiun Yogyakarta –
Stasiun Lempuyangan – Stasiun Maguwo – Stasiun Klaten – Stasiun
Purwosari – Stasiun Solo Balapan – Stasiun Purwosari – Stasiun Klaten –
Stasiun Maguwo – Stasiun Lempuyangan – Stasiun Yogayakarta – Stasiun
Wates – Stasiun Jenar – Stasiun Kutoarjo.
2. Rute 2 Kereta Api Prambanan Ekspres
Stasiun Yogyakarta – Stasiun Lempuyangan – Stasiun Maguwo – Stasiun
Klaten – Stasiun Purwosari – Stasiun Solo Balapan – Stasiun Purwosari –
Stasiun Klaten – Stasiun Maguwo – Stasiun Lempuyangan – Stasiun
Yogyakarta. 3.
Rute 3 Kereta Api Sidomukti Stasiun Solo Balapan
– Stasiun Purwosari – Stasiun Klaten – Stasiun Lempuyangan
– Stasiun Yogyakarta – Stasiun Lempuyangan – Stasiun Klaten
– Stasiun Purwosari – Stasiun Solo Balapan. 4.
Rute 4 Kereta Api Madiun Jaya Stasiun Madiun
– Stasiun Walikukun - Stasiun Sragen - Stasiun Solo Jebres – Stasiun Solo Balapan – Stasiun Purwosari – Stasiun Klaten – Stasiun
Maguwo – Stasiun Lempuyangan – Stasiun Yogyakarta – Stasiun
Lempuyangan – Stasiun Maguwo – Stasiun Klaten – Stasiun Purwosari –
Stasiun Solo Balapan – Stasiun Solo Jebres – Stasiun Sragen – Stasiun
Walikukun – Stasiun Madiun.
5. Rute 5 Kereta Api Joglo Kerto
Stasiun Solo Balapan – Stasiun Purwosari – Stasiun Klaten – Stasiun
Lempuyangan – Stasiun Yogyakarta – Stasiun Wates – Stasiun Jenar –
Stasiun Kutoarjo – Stasiun Kebumen – Stasiun Gombong – Stasiun
Sumpiuh – Stasiun Kroya – Stasiun Purwokerto – Stasiun Kroya – Stasiun
Sumpiuh – Stasiun Gombong – Stasiun Kebumen – Stasiun Kutoarjo –
Stasiun Jenar – Stasiun Wates – Stasiun Yogyakarta – Stasiun
Lempuyangan – Stasiun Klaten – Stasiun Purwosari – Stasiun Solo
Balapan. 6.
Rute 6 Kereta Api Kalijaga Stasiun Purwosari
– Stasiun Solo Balapan – Stasiun Salem – Stasiun Gundih
– Stasiun Telawa – Stasiun Kedungjati – Stasiun Brumbung – Stasiun Semarang Tawang
– Stasiun Semarang Poncol – Stasiun Semarang Tawang
– Stasiun Brumbung – Stasiun Kedungjati – Stasiun Telawa – Stasiun Gundih
– Stasiun Salem – Stasiun Solo Balapan – Stasiun Purwosari.
7. Rute 7 Kereta Api Bathara Kresna
Stasiun Purwosari – Stasiun Solo Kota – Stasiun Sukoharjo – Stasiun Pasar
Nguter – Stasiun Wonogiri – Stasiun Pasar Nguter – Stasiun Sukoharjo –
Stasiun Solo Kota – Stasiun Purwosari.
Gambar 3.A.1 Denah Lintas DAOP VI Yogyakarta
B. Rute Pilihan
Rute adalah jarak atau arah yang harus ditempuh atau dilalui. Rute dalam sarana transportasi dapat didefinisikan sebagai rute angkutan yang
menghubungkan dua tempat. Pemilihan rute dalam skripsi ini dilakukan dengan menentukan stasiun yang akan menjadi stasiun transfer, yaitu stasiun-
stasiun besar dan menengah yang memungkinkan penumpang berpindah dari suatu kereta api dengan rute tertentu ke kereta api lainnya dengan rute yang
berbeda. Stasiun-stasiun tersebut adalah Stasiun Purwokerto, Stasiun Wates, Stasiun Kutoarjo, Stasiun Yogyakarta, Stasiun Lempuyangan, Stasiun Klaten,
Stasiun Purwosari, Stasiun Solo Balapan, Stasiun Sragen, Stasiun Madiun,
Stasiun Wonogiri, Stasiun Semarang Tawang, dan Stasiun Semarang Poncol.
Pemilihan rute ini menggunakan semua rute kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta yaitu rute 1 sampai dengan rute 7 yang telah dijelaskan pada
bagian A, kecuali rute 3. Hal ini dikarenakan kereta api Sidomukti yang beroperasi pada rute 3 hanya beroperasi pada hari Minggu saja, sehingga rute
kereta api Sidomukti pada rute 3 tidak diikutsertakan sebagai rute pilihan. Penulis hanya memperhitungkan rute kereta api komuter yang beroperasi pada
hari efektif Senin-Sabtu atau yang setiap hari beroperasi. Sedangkan untuk rute kereta api yang dioperasikan pada hari tertentu saja, misalnya pada hari
libur atau hari Minggu, tidak digunakan sebagai rute pilihan dalam skripsi ini. Selanjutnya, dapat dijelaskan rute kereta api komuter di DAOP VI
Yogyakarta, yaitu rute kereta api komuter dari Stasiun Kutoarjo menuju Stasiun Solo Balapan dan arah sebaliknya yaitu dari Stasiun Solo Balapan
menuju Stasiun Kutoarjo, rute kereta api komuter dari Stasiun Yogyakarta menuju Stasiun Solo Balapan dan arah sebaliknya yaitu dari stasiun Solo
Balapan menuju Stasiun Yogyakarta, rute kereta api komuter dari Stasiun Madiun menuju Stasiun Yogyakarta dan arah sebaiknya yaitu dari Stasiun
Yogyakarta menuju Stasiun Madiun, rute kereta api komuter dari Stasiun Solo Balapan menuju Stasiun Purwokerto dan arah sebaliknya yaitu dari Stasiun
Purwokerto menuju Stasiun Solo Balapan, rute kereta api komuter dari Stasiun Purwosari menuju Stasiun Semarang Poncol dan arah sebaliknya yaitu dari
Stasiun Semarang Poncol menuju Stasiun Purwosari, serta rute kereta api komuter dari Stasiun Purwosari menuju Stasiun Wonogiri dan arah sebaliknya
yaitu dari Stasiun Wonogiri menuju Stasiun Purwosari. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
