Gambar 2.2 Dari beberapa contoh di atas, ternyata bahwa y = gx =
x log
a
dengan a 1 merupakan
fungsi naik
monoton naik, sebab bila x
1
x
2,
maka
2 a
1 a
x log
x log
. Sedangkan grafik fungsi logaritma y = fx =
x log
a
dengan 0 a 1 merupakan
fungsi turun
monoton turun, sebab bila x
1
x
2
, maka
2 a
1 a
x log
x log
.
b. Persamaan Eksponen dan Persamaan Logaritma
Dalam bahasan yang sekarang ini kita akan melihat bagaimana sifat-sifat eksponen dan sifat-sifat logaritma digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang memuat variabel
dalam eksponen atau dalam logaritma. Secara khusus, suatu persamaan yang memuat variabel sebagai eksponen
dinamakan persamaan eksponen. Sedangkan persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya termuat dalam bilangan pokok atau numerus dari suatu logaritma.
Dalam kesempatan ini kita akan membicarakan beberapa bentuk persamaan eksponen di antaranya beberapa bentuk berikut ini.
1. Bentuk a
fx
= 1 Jika a
fx
= 1 dengan a 0 dan a 1, maka fx = 0.
2. Bentuk a
fx
= a
p
Jika a
fx
= a
p
dengan a 0 dan a 1, maka fx = p. 3. Bentuk a
fx
= a
gx
Jika a
fx
= a
gx
dengan a 0 dan a 1, maka fx = gx.
4. Bentuk a
fx
= b
fx
Jika a
fx
= b
fx
, a dan b 0 dan a 1, a tidak sebasis dengan b, maka fx = 0.
5. Bentuk a
fx
= b
gx
Jika a
fx
= b
gx
, a 0 , b 0 dan a 1; a tidak sebasis dengan b, fx gx, maka
fx fx
b log
a log
.
6. Bentuk hx
fx
= hx
gx
. Himpunan penyelesaian dari bentuk ini mempunyai beberapa kemungkinan . Agar
tidak berakibat terjadinya bilangan tidak real atau tidak terdefinisi, diperlukan beberapa teknik penyelesaian, diantaranya :
a. Bila hx tidak sama dengan 0, 1 atau -1, maka fx = gx b. Bila hx = 0, maka persamaan akan dipenuhi untuk fx 0 dan gx 0.
c. Bila hx = 1, maka persamaan akan dipenuhi untuk setiap fx dan gx. d. Bila hx = -1, maka haruslah nilai dari
gx dan
fx kedua-duanya genap
atau kedua-duanya ganjil.
7. Bentuk A{a
fx
}
2
+ B{a
fx
} + c = 0 Bentuk ini dapat ditentukan dengan mengubah menjadi persamaan kuadrat.
Untuk lebih jelasnya lagi dari beberapa bentuk persamaan eksponen di atas, kita lihat beberapa contoh dan cobalah kerjakan soal-soal baik dalam latihan maupun tes
formatifnya.
Contoh 2.3 Selesaikanlah 4
x - 1
=
1 2x
2
Penyelesaian : 4
x - 1
=
1 2x
2
2
2x -1
=
2 1
1 2x
2
2
2x - 2
=
2 1
x
2
2x - 2 = x + 2
1
x = 2 2
1 .
Jadi, himpunan penyelesaiannya atau HP = {2 2
1 }.
Contoh 2.4 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 3
x + 2
- 3
2x
= 18. Penyelesaian :
3
x + 2
- 3
2x
= 18 3
x
. 3
2
- 3
x 2
= 18 Misalkan 3
x
= a, maka diperoleh 9a - a
2
= 18 9a - a
2
- 18 = 0 a - 3a - 6 = 0
a
1
= 3 3
x
= 3 x = 1
a
2
= 6 3
x
= 6 x log 3 = log 6
x =
477 ,
778 ,
3 log
6 log
x = 1,6309 Himpunan penyelesaiannya atau HP = { 1 , 1,6309}.
Sekarang kita perhatikan beberapa bentuk persamaan logaritma yang akan dibahas dalam uraian ini, diantaranya.
1. Bentuk
p log
fx log
a a
Jika
p log
fx log
a a
, maka fx = p Nilai x yang didapat perlu diperiksa agar tidak mengakibatkan terjadinya bilangan tak
didefinisikan.
2. Bentuk
gx log
fx log
a a
. Jika
gx log
fx log
a a
, maka fx = gx 0.
3. Bentuk
fx log
fx log
b a
Jika
fx log
fx log
b a
, a tidak sebasis dengan b, maka fx = 1.
4. Bentuk
gx log
fx log
hx hx
Jika bentuknya seperti ini, maka nilai x yang memenuhi adalah fx = gx 0, hx 0, dan hx 1.
5. Bentuk A{log x}
2
+ B{
x log
a
} + c = 0 Dalam bentuk ini a 0 dan a 1; A, B, dan C R dan A 0 dapat ditentukan dengan
mengubah menjadi persamaan kuadrat.
Sebelum kita mencoba mengerjakan soal-soal latihan dan dalam test formatif, kita perhatikan dulu beberapa contoh menyelesaikan persamaan logaritma berikut ini.
Contoh 2.5 Selesaikanlah persamaan log a + b = 2 log x.
Penyelesaian : log x + 6 = 2 log x
log x + 6 = log x
2
x + 6 = x
2
x
2
- x - 6 = 0. x + 2x - 3
x = -2 atau x = 3. Jika x = -2 atau x = 3 dimasukkan ke fx dan gx, maka terdapat fx = gx 0,
sehingga x = -2 dan x = 3 merupakan anggota himpunan penyelesaiannya. Jadi, HP = { -2 , 3 }.
Contoh 2.6 Tentukanlah
himpunan penyelesaian
dari persamaan
logaritma
2 8
log x
log 2.
x log
2 2
2 2
2
Penyelesaian :
2 8
log x
log 2.
x log
2 2
2 2
2
2 3
x log
. 4
x log
2 2
2
Misalkan
x log
2
= p, maka p
2
+ 4p - 5 = 0 p + 5p - 1 = 0
p
1
= -5 atau p
2
= 1
x log
2
= -5
x log
2
= 1 x = 2
-5
= 32
1 x = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya atau HP = { 32
1 , 2 }.
c. Aplikasi Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma
