8 -
7
6 -3 8
5 -2 4
4 -1 2
3 0 1
2 2
4 1
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x 0
Gambar 1.4
Dengan memperhatikan kedua contoh terakhir di atas, kita dapat melihat bahwa grafik fungsi eksponen fx = a
x
dengan a 1 selalu naik untuk setiap x bertambah, dengan kata lain fx = a
x
dengan a 1 merupakan
fungsi naik
. fungsi monoton naik. Sedangkan grafik fungsi eksponen fx = a
x
dengan 0 a 1 selalu turun untuk setiap x bertambah, dengan kata lain fungsi fx = a
x
dengan 0 a 1 merupakan
fungsi turun
. fungsi monoton turun.
d. Logaritma dan Sifat-sifatnya
Dalam bagian ini kita akan mengingat kembali tentang pengertian logaritma dan sifat-sifatnya. Pengetahuan prasyarat ini akan kita gunakan pada bahasan-bahasan
berikutnya dalam kegiatan pembelajaran modul ini. Sekarang kita perhatikan pernyataan a x b = c. Bagaimanakah menyatakan a dalam
b dan c ? Jawabnya adalah a = b
c dengan b 0. Kemudian kita perhatikan pernyataan 3
2
= 9. Bagaimanakah menyatakan 3 dalam 2 dan 9 ? Jawabnya 3 =
2
9
. Bagaimanakah menyatakan 2 dalam 3 dan 9 ? Jawabnya 2 adalah pangkat dari 3 sehingga 3
2
= 9. Jika kita ambil secara umum a
y
= x, maka y adalah eksponen dari a sehingga a
y
= x, dan pernyataan
untuk y ini bisa ditulis dalam bentuk y =
x log
y atau
x log
a a
dengan a adalah bilangan dasar atau basis dan y adalah eksponennya.
Definisi 2 Logaritma x dengan basis a, a 0 dilambangkan
x log
a
ialah pangkat atau eksponen yang akan dimiliki oleh x seandainya ia dituliskan sebagai suatu bilangan
berpangkat dengan basis a. Dengan kata lain y =
x log
a
jika dan hanya jika x = a
y
. Karena a
y
0 untuk setiap y real dengan a 0, maka haruslah x 0.
Catatan : 1 a disebut bais logaritma atau bilangan dasar, dengan ketentuan a 0 dan a 1. Untuk a
= 10, bentuk
x log
10
cukup ditulis log x. Logaritma dengan basis sepuluh dinamakan logaritma biasa. Jadi log x = y berarti x = 10
y
. Sedangkan untuk a = e = 2,718… , bentuk
x log
e
ditulis sebagai ln x dibaca : “ lon x” dan disebut logaritma natural logaritma Napier. Logaritma natural banyak dipakai dalam kalkulus. Hubungan
antara logaritma natural dengan logaritma biasa adalah : log x = ln x ln e, karena log e = 0,43429448…, maka
log x = 0,43429448… ln x, dan ln x = 2,302585… log x.
2. x disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya dengan syarat x 0. 3. y disebut hasil logaritma, nilainya bisa positif, nol atau negatif.
4. Penulisan y =
x log
a
kadang-kadang ditulis dalam bentuk y =
x log
a
. Namun dalam kesempatan sekarang ini kita menggunakan notasi yang pertama.
Contoh 1.8 Tentukan nilai dari :
a. log 1000 dan b.
128 log
2
Penyelesaian :
a. Misalkan log 1000 = y log 1000 =
3 10
10
10 log
1000 log
= y 10
3
= 10
y
definisi y = 3.
b. Misalkan
128 log
2
= x
128 log
2
=
7 2
2 log
= x 2
7
= 2
x
x = 7
Perlu kita ketahui, bahwa dalam menentukan logaritma dari suatu bilangan selain dengan cara seperti contoh 1.7 di atas, dapat pula kita lakukan dengan cara lain. Daftar
atau tabel logaritma dapat kita gunakan untuk menentukan logaritma suatu bilangan dengan basis sepuluh
x log
10
. Selain daftar logaritma untuk menghitung logaritma dari suatu bilangan dapat pula kita menggunakan kalkulator. Sebagai contoh untuk menentukan
log 1000, cukup kita tekan 1000 kemudian tekan tombol log, maka pada layar kalkulator akan tampak angka 3, berarti log 1000 = 3.
Khusus dalam kesempatan sekarang ini kita akan menggunakan daftar atau tabel logaritma basis 10 sampai dengan tiga desimal hasil pembulatan dari suatu pendekatan.
Namun untuk menentukan logaritma dari suatu bilangan diperlukan notasi ilmiah. Notasi ilmiah digunakan dalam ilmu pengetahuan untuk menyatakan suatu bilangan yang besar
sekali maupun bilangan yang kecil sekali. Untuk menyatakan suatu bilangan x dalam notasi ilmiah, maka bilangan itu ditulis dalam bentuk :
x = A x 10
k
, dengan 1 A 10 dan k bilangan bulat. Untuk menentukan logaritma dari suatu bilangan x, dapat kita tulis dengan bantuan
notasi ilmiah dalam bentuk seperti berikut ini. log x = log A . 10
k
= log A + log 10
k
= log A + k log 10 = log A + k , sebab log 10 = 1.
Nilai log A dapat kita baca dari daftar logaritma. Selanjutnya dengan menambahkan k pada hasil membaca daftar tadi, maka nilai pendekatan dari log x dapat kita peroleh.
Contoh 1.9 Tentukanlah atau hitunglah nilai dari
a log 234 b. log 23,4 c. log 2,34 d. log 0,234 e. log 0,000234
Penyelesaian : a. log 234 = log 2,34 x 10
2
= log 2,34 + log 10
2
= log 2,34 + 2 Dengan memperhatikan atau membaca logaritma biasa, nilai log 2,34 berada pada
baris yang dikepalai oleh 23 dan di bawah kolom yang dikepalai oleh 4. Hal ini berarti log 2,34 = 0,369. Jadi, log 234 = 0,369 + 2 = 2,369.
Catatan : Bilangan 0,369 disebut
mantisa
bagian desimal dan 2 disebut
karakteristik
bagian bulat. Dalam hal ini mantisa logaritma tidak pernah negatif, tetapi 0 mantisa 1.
b. log 23,4 = log 2,34 x 10
1
= log 2,34 + log 10 = log 2,34 + 1 = 0,369 + 1 = 1,369. c. log 2,34 = 0,369
d. log 0,000234 = log 2,34 x 10
-4
= log 2,34 + log 10
-4
= 0,369 - 4 = -3,631.
Logaritma Tiga Angka Basis 10 N
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
13
20 21
.000 .041
.079 .114
.301 .322
004 045
083 149
303 324
009 049
086 152
305 326
013 053
090 155
307 328
017 057
093 158
310 330
021 061
097 161
312 332
025 064
100 164
314 334
029 068
104 167
316 336
033 072
107 170
318 338
037 076
111 173
320 340
22 23
30 31
32
97 98
99 .342
.362
.477 .491
.505
.987 .991
.996 344
364
479 493
507
987 992
996 346
365
480 494
508
988 992
997 348
367
481 496
509
988 993
997 350
369
483 497
511
989 993
997 352
371
484 498
512
989 993
998 354
373
486 500
513
989 994
998 356
375
487 501
515
990 994
999 358
377
489 502
516
990 995
999 360
378
490 504
517
991 995
1.0 00
Sekarang kita akan mencari nilai x bila nilai log x nya diketahui. Sedangkan lat yang kita pakai masih tetap dengan bantuan daftar tabel logaritma tidak menggunakan
kalkulator. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan beberapa contoh berikut ini.
Contoh 1.10 Tentukanlah x jika
a. log x = 4,483 b. log x = 2,483 c. log x = 0,483 d. log x = - 2,483 e. log x = -4,483
Penyelesaian : a. log x = 4,483 menurut definisi x = 10
4,483
= 10
0,483 + 4
= 10
4
x 10
0,483
Untuk menghitung 10
0,483
, kita harus menemukan bilangan yang logaritmanya 0,483. Dari tabel daftar ternyata 0,483 terdapat pada baris yang dikepalai oleh 30 dan pada
kolom yang dikepalai 4, bilangan ini adalah 3, 04. ingat 1 A 10. Jadi, x = 10
4
x 3,04 = 30400.
b. Karena log x = 2,483, maka menurut definisi x = 10
2,483
= 10
2 + 0,483
= 10
2
+ 10
0,483
. Dengan memperhatikan daftar logaritma, seperti penyelesaian soal di atas a, maka
didapat : x = 10
2
x 3,04 = 304. c. log x = 0,483 berarti x = 10
0,483
= 3,04. d. Karena log x = - 2,483 tidak dalam bentuk baku, maka bentuk bakunya
log x = -2,483 = 0,517 + -3. Dari daftar logaritma diperoleh antilog 0,517 = 3,29. Jadi,
x = 3,29 x 10
-3
= 0,00329. e. log x = -4,483 = 0,517 + -5, sedangkan dari daftar logaritma diperoleh antilog 0,517
= 3,29. Jadi, x = 3,29 x 10
-5
= 0,0000329.
Silakan Anda periksa semua contoh 1.8 dan contoh 1.9 dengan bantuan kalkulator, maka hasilnya haruslah relatif sama seperti dengan bantuan daftar logaritma di atas.
Berikut ini kita ingatkan kembali beberapa sifat atau teorema pokok logaritma yang diperlukan dalam menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan logaritma, diantaranya :
1.
x a
log
x a
5.
x log
n x
log
a n
a
2.
x a
x log
a
6. x
log n
1 x
log
a n
a
3.
y log
x log
y .
x log
a a
a
7. b
log x
log x
log
a b
a
, a 1, b 1
4.
y log
x log
. y
x log
a a
a
8.
y log
x log
a a
x = y , a 1.
Dalam teorema di atas, x dan y adalah bilangan real positif, a dan b bilangan real positif, dan n
R. Sebagai buktinya silakan Anda perhatikan kembali matematika sekolah lanjutan dan menengah.
Contoh 1.11
Carilah
2 log
3
dengan bantuan daftar logaritma. Penyelesaian :
2 log
3
=
0,631. 0,477
0,301 3
log 2
log
Contoh 1.12 Jika log x = 0,602, tentukanlah nilai logaritma berikut :
a. log 4000 b. log 0,04 c. Log 16 Penyelesaian :
a. log 4000 = log 4 x 1000 = log 4 + log 1000 = 0,602 + 3 = 3, 602 b. log 0,04 = log
100 4
= log 4 - log 100 = 0,602 - 2 = - 1,398 c. Log 16 = log 4
2
= 2 log 4 = 2 x 0,602 = 1,204.
Selanjutnya untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang materi kegiatan belajar ini, cobalah Anda kerjakan soal-soal latihan 1 berikut ini.
1. Misalkan sebuah bola basket dijatuhkan dari ketinggian 3 meter dan setiap kali jatuh ke lantai bola itu naik setinggi 65 dari ketinggian sebelumnya. Tentukanlah model
jatuhnya bola dalam bentuk peluruhan eksponen sebagai suatu fungsi tinggi bola T dalam meter dari banyaknya jatuhan n.
2. Sederhanakanlah bentuk berikut menjadi eksponen positif
2 -
3 4
1
b 2
a 16
3. Gambarlah grafik fungsi eksponen y = fx = 2
x + 1
, dengan x R.
4. Gambarlah grafik y =
1 2x
-x
2
2
5. Dengan menggunakan daftar logaritma, hitunglah x, jika a. x = log
3
2
b. log x = 3,516
Setelah Anda mencoba menyelesaikan soal-soal latihan 1 di atas, bandingkanlah jawabannya dengan petunjuk alternatif jawaban berikut.
1. Bola basket yang dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 3 meter dengan setiap kali jatuhnya naik setinggi 65 dari ketinggian sebelumnya adalah fungsi eksponen, dengan
tinggi bola dalam meter setelah : Jatuh ke-1 adalah 30,65 = 1,95
Jatuh ke-2 adalah 30,650,65 = 30,65
2
= 1,2675 Jatuh ke-3 adalah 30,650,650,65 = 30,65
3
= 0,8239 Jatuh ke-
n adalah 30,650,65 … 0,65 = 30,65
n
. Jadi tinggi bola Tdalam meter merupakan fungsi dari banyaknya jatuhan n dengan
persamaan T = 30,65
n
.
2.
2 -
3 4
1
b 2
a 16
=
2 1
- 3
4 1
4
b 2
. a
2
= 2a
3
. 2
-1
b
2
= a
3
b
2
.
3. y = 2
x + 1
a. Titik-titik pada grafik x -
… -2 -1 0 1 …
y 0 …
2 1
1 2 4 … b Asimtot-asimtotnya
Asimtot tegak tidak ada, sedangkan asimtot datarnya y = 0 Gambar 1.5
y y
4 4 3
2 1
-2 -1 0 1 2 x 0 1 2 3 x
Gambar 1.5 Gambar 1.6 4. y =
1 2x
-x
2
2
a. Harga ekstrim dari -x
2
+ 2x + 1 dicapai untuk x =
1 2
2 2a
b
, sehingga y =
1 1
. 2
-1
2
2
= 4 b. Titik-titik pada grafik
x - … -1 0 1 2 3 …
y 0 …
4 1
2 4 2 4
1 … 0
c. Asimtot tegak tidak ada sedangkan asimtot datar y = 0 Gambar 1.6
5. a. x = log
3
2
= log
10033 0,
0,301 .
3 1
2 log
3 1
2
3 1
. b. Karena log x = 3,516, maka
x = 10
3,516
= 10
3 + 0,516
= 10
3
+ 10
0,516
Dari daftar logaritma, ternyata 0,516 terletak pada baris yang dikepali oleh 32 dan kolom ke-8, bilangannya adalah 3,28. Jadi x = 10
3
+ 3,28 = 3280.
Setelah Anda mempelajari kegiatan belajar yang pertama dari buku materi pokok ini, buatlah rangkumannya kemudian bandingkanlah dengan alternatif rangkuman berikut.
Rangkuman
1. Suatu fungsi yang memuat variabel sebagai pangkat atau eksponen dinamakan fungsi eksponen, dan secara umum dapat ditulis dalam bentuk f = {x,y y = ka
x
dengan k, a R, a 0, a 1}.
2. Sifat-sifat fungsi eksponen a. Domainnya daerah asalnya adalah himpunan bilangan real, R = - , .
b. Daerah hasilnya rangenya adalah himpunan bilangan real positif, R
+
= 0, . c . Grafik fungsi selalu memotong sumbu y di titik 0,1.
d. Fungsi fx = a
x
merupakan fungsi naik untuk a 1, dan merupakan fungsi turun untuk 0 a 1, serta merupakan fungsi konstan untuk a = 1. fx = 1.
e. Grafik fungsinya tidak pernah memotong sumbu x. Sumbu x merupakan asimtot datar.
3. y =
x log
a
jika dan hanya jika x = a
y
dengan a 0 dan a 1.
4. Sifat-sifat eksponen a a
= 1 dengan a 0 dan a R. b. A
-n
=
n
a 1
dengan a 0 dan a R dan n A.
c.
B n
0, n
dan R
a 0,
a dengan
a a
n n
1
d.
A n
dan B
m R,
a dengan
a a
a
m n
n m
n m
5. Sifat-sifat logaritma
a.
x a
log
x a
e.
x log
n x
log
a n
a
b.
x a
x log
a
f. x
log n
1 x
log
a n
a
c.
y log
x log
y .
x log
a a
a
g. b
log x
log x
log
a b
a
, a 1, b 1
d.
y log
x log
. y
x log
a a
a
h.
y log
x log
a a
x = y , a 1.
TES FORMATIF 1
Untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda, kerjakanlah soal-soal Tes Formatif 1 berikut dengan memberi tanda silang X di muka pernyataan yang benar.
1. Yang merupakan fungsi eksponen A. fx =
5 2x
B. fx = 2
x + 1
C. fx = log x
3
D. fx = 3x
2
2. Pada tahun 1987 penduduk dunia ada 5 milyar jiwa dan bertambah dengan laju 16 pertahun. Jika dimisalkan laju pertumbuhan penduduk dunia tetap sebesar itu, maka
banyaknya penduduk dunia P dalam milyar sejak 1987 dapat dituliskan sebagai fungsi dari tahun n sebagai berikut
A. P = 51,016
n
B. P = 1,65
n
C. P = 51,6
n
D. P = 1,61,5
n
3. Bentuk sederhana dari y
x y
x
3 1
2
A. x
5
y
2
B. x
6
y C. x
5
y
-2
D. x
-5
y
2
4. Grafik fungsi eksponen y = fx =
1 x
2 1
adalah A. y B. y
4 4 3 3
2 2 1 1
0 1 2 3 x -3 -2 -2 0
C. y D. y
3 3 2 2
1 1 0 1 2 x -2 -1 0 x
5. Grafik fungsi y = fx =
2x x
2
2
A. y B. y
1 1 -3 -2 -1 0 1 x 0 1 2 3 x
C. y D. y
-2 -1 0 x 0 1 2 x
6. Grafik fungsi fx = 3
-2x
melalui titik A. 1, -9
B. 3, - 2
1
C. - 2
1 , -3
D. 2
1 ,
3 1
7. Fungsi fx = a
x
dengan x R adalah fungsi naik untuk A. a 1
B. a 0 C. a 0
D. a 1. 8. Jika log x = -5,889, maka dengan menggunakan daftar logaritma
A. x = 0,00129 B. x = 0,000129
C. x = 0,0000129 D. x = 0,00000129
9. Jika log 3 = 0,477, maka
100 log
3
= A. 2,096
B. 0,954 C. 4,193
D. 0,238
10. Notasi a
b
= c dapat ditulis dalam bentuk
A.
b c
log
a
B.
a c
log
b
C.
b a
log
c
D.
c b
log
a
Selanjutnya cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir Materi Pokok ini. Hitunglah jumlah jawaban Anda yang
benar. Kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Tingkat penguasaan = 100
x 10
benar yang
Anda jawaban
jumlah Arti tingkat penguasaan yang Anda capai :
90 - 100 = Baik sekali 80 - 89 = Baik
70 - 79 = Cukup 70 = Kurang.
Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80 ke atas, Anda dapat meneruskannya
pada Kegiatan Belajar kedua. Bagus Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di
bawah 80, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum Anda kuasai. Selamat belajar, semoga berhasil.
KEGIATAN BELAJAR 2 FUNGSI EKSPONEN, FUNGSI LOGARITMA DAN APLIKASINYA
Bagian 2
a. Fungsi Logaritma dan Grafiknya
