3.3.1 Penghitungan Angka Harapan Hidup
Pada penghitungan tabel hayat, distribusi waktu hidup untuk suatu periode dapat
dijelaskan melalui tiga cara berbeda. Fungsi bertahan hidup
, , 0 a t
a ≥
l 22a
menggambarkan proporsi orang yang bertahan hidup hingga tepat berumur a pada tahun
t
, dimana 0,
1 t
= l
dan , t
ω =
l untuk
ω umur tertinggi yang dicapai. Fungsi kerapatan
kematian ,
, a t
d a t a
−∂ =
∂ l
22b yaitu sebaran kematian menurut umur. Fungsi
laju kematian sesaat ,
, ,
, ,
d a t a t
a a t
a t a t
μ −∂
∂ =
= l
l l
22c menggambarkan risiko kematian untuk setiap
umur. Fungsi ini secara formal ekuivalen satu sama lain, sehingga dapat diperoleh
, ,
exp[ ,
]
a a
a t d x t dx
x t dx
ω
μ =
= −
∫ ∫
l 22d
Misalkan , S a t menotasikan proporsi
orang yang lahir pada saat
t a
−
bertahan hidup sampai umur a saat tahun
t
, ,
d a t menotasikan kerapatan kematian untuk kohort
kelahiran
t a
−
pada umur a , dan , a t
μ menotasikan laju kematian sesaat untuk
kohort kelahiran tersebut. Fungsi , S a t dan
, d a t berbeda dengan fungsi bertahan hidup
dan fungsi kerapatan pada kohort sintetis yang diperoleh dari tabel hayat untuk suatu data
periode biasanya dan penghitungannya memerlukan data kematian masa lampau.
Angka harapan hidup dapat dihitung dengan beberapa persamaan berikut
dinotasikan
1
M -
3
M :
1
, exp{
, }
a
M S a t da
x t a
x dx μ
∞ ∞
= =
− − +
∫ ∫
∫
23a
1
M merupakan indikator kematian untuk menghitung angka harapan hidup yang
biasanya disebut The Cross-Sectional Average Length of Life CAL, yaitu gabungan dari
bermacam-macam kejadian kohort dalam suatu model sewaktu atau ukuran kematian
yang menunjuk kepada satu periode dalam asumsi suatu penduduk mempunyai angka
kelahiran konstan, tetapi kematian bervariasi pada setiap umur dan waktu Guillot, 2003.
2
, ,
ad a t da M
d a t da
∞ ∞
=
∫ ∫
23b
3
exp[ ,
]
a
M x t dx da
μ
∞
= −
∫ ∫
23c
3
M
adalah angka harapan hidup yang dihitung biasanya, yaitu
3
M t e t
=
. Selanjutnya
2
M
disebut sebagai angka harapan hidup yang distandarisasi.
Berikut akan diperlihatkan hubungan antara
1
M
dan
2
M
: Misalkan
, ,
, dan
, ,
s s
s
d a t a t
d a t a t
a a t
μ
−∂ =
= ∂
l l
24 Fungsi pada persamaan 24 diinterpretasikan
sebagai distribusi umur kematian yang diberikan oleh
, a t
l , dimana
0, 1
t =
l untuk setiap
t
, jika diasumsikan
, a t
l fungsi tak ternaikkan dari a
, a t
a ∂
∂ ≤
l .
Sekarang diasumsikan pada suatu interval waktu tertentu, ada fungsi
p t
sehingga
, ,
s
a t p t
a t
μ μ
=
dan
, ,
s
d a t p t d a t
=
25 Selanjutnya asumsi ini dinamakan asumsi
kesebandingan, di mana jika fungsi
p t
dipenuhi maka jadwal umur
, a t
μ dan
, d a t
mempunyai bentuk yang sama dengan jumlah boleh berbeda dengan jadwal
umur
,
s
a t
μ dan
,
s
d a t
. Akibat rata-rata umur saat mati meningkat atau menurun,
, a t
μ dan
, d a t
bergeser pada umur yang lebih tinggi atau lebih rendah dari
,
s
a t
μ dan
,
s
d a t
. Nilai
, a t
μ dan
, d a t
menurun atau meningkat relatif terhadap
,
s
a t
μ dan
,
s
d a t
oleh faktor kesebandingan
p t
. Jika asumsi kesebandingan tersebut terpenuhi,
maka
1
1 M t
p t t
∂ = −
∂
26 Bukti di Lampiran 1
dan dari persamaan 26, persamaan 25 menjadi
1 1
, 1
, ,
1 ,
s s
M t d a t
d a t t
M t a t
a t t
μ μ
∂ ⎡
⎤ = −
⎢ ⎥
∂ ⎣
⎦ ∂
⎡ ⎤
= − ⎢
⎥ ∂
⎣ ⎦
27a-b Sehingga dari persamaan 23a dan 24a,
diperoleh
1
, ,
,
s s
ad a t da M t
a t da d a t da
∞ ∞
∞
= =
∫ ∫
∫
l
28 dan dari persamaan 23b dan 25b,
2
, ,
s s
ap t d a t da M t
p t d a t da
∞ ∞
=
∫ ∫
29 Jika faktor kesebandingan
p t pada persamaan 29 dikanselasi, maka
1 2
M t M t
= .
3.3.2 Pemindahan Efek Tempo Kematian Efek tempo menurunkan meningkatkan
, d a t dan ,
a t μ
ketika rata-rata umur mati yang disesuaikan naik turun. Persamaan
23a-b menunjukkan efek tempo diduga oleh faktor
1
1 M t
t ∂
− ∂
ketika asumsi kesebandingan terpenuhi. Akibat
1 2
M t M t
= , efek tempo juga diduga oleh
faktor
2
1 M t
t ∂
− ∂
. Pengintegralan fungsi kerapatan kematian
, d a t untuk semua umur dalam ukuran
periode kematian disebut angka kematian total Total Mortality Rate TMR. Ukuran ini
sama dengan angka kelahiran total pada kasus kelahiran. Sehingga
TMRt= ,
d a t da
∞
∫
30 Substitusi dari persamaan 27a memberikan
TMRt= ,
s
p t d a t da p t
∞
=
∫
31 Berikut akan dicari angka harapan hidup
yang disesuaikan tempo. Misalkan didefinisikan
1 1
, ,
, dan d ,
1 1
a t d a t
a t a t
M t M t
t t
μ μ
= =
∂ ∂
− −
∂ ∂
32a-b sebagai kerapatan kematian dan laju kematian
sesaat yang disesuaikan tempo. Dari persamaan 27a-b diperoleh
, ,
s
a t a t
μ μ
= dan
, ,
s
d a t d a t
= ,
ketika asumsi kesebandingan terpenuhi. Untuk memperoleh angka harapan hidup
yang disesuaikan tempo, digunakan persamaan 23c dengan mengganti ,
a t μ
dengan ,
a t μ
, sehingga
[ ]
4 1
exp , 1
a
M t x t
M t t dx da
μ
∞
⎧ ⎫
⎪ ⎪
= −
− ∂ ∂
⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎩ ⎭
∫ ∫
33
di mana
4
M t menotasikan angka harapan hidup saat lahir tanpa efek tempo. Dengan
menggunakan persamaan 31 diperoleh
4
, exp
TMR
a
x t M t
dx da t
μ
∞
⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪
= ⎨
⎬ ⎢
⎥ ⎪
⎪ ⎣
⎦ ⎩
⎭
∫ ∫
34 Dari persamaan 27b
4
exp ,
a s
M t a t dx da
μ
∞
⎧ ⎫
⎪ ⎪
= −
⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎩ ⎭
∫ ∫
, a t da
∞
=
∫
l
1
M t =
35 Jadi, pemindahan efek tempo dari
3
M t dihasilkan pula oleh
1
M t atau
2
M t . Sehingga angka harapan hidup yang tidak
terdistorsi oleh tempo dapat diduga dengan
1
M t ,
2
M t , atau
4
M t .
IV. STUDI KASUS DI AMERIKA SERIKAT
Amerika Serikat merupakan salah satu negara yang memiliki data tentang
kependudukan yang lengkap. Sehingga data tersebut dapat digunakan untuk menghitung
angka kelahiran total dan angka harapan hidup yang disesuaikan tempo.
4.1 Penentuan Angka Kelahiran Total yang Disesuaikan Tempo
TFR t
Angka kelahiran total menurut urutan kelahiran pada tahun
t
i
TFR t diperoleh
dari data angka kelahiran wanita dari kelompok umur 15-44 tahun menurut urutan
kelahiran, di mana umur 15-44 tahun adalah masa saat reproduksi seseorang wanita.
Dari data nilai TFR t wanita AS
berumur 15-44 dan rata-rata umur wanita saat melahirkan menurut urutan kelahiran per
tahun untuk tahun 1970-2000 Lampiran 2 dan 3, dapat dihitung
i
r t , yaitu angka perubahan rata-rata umur melahirkan dari
setiap urutan kelahiran. Sehingga, dapat diperoleh
i
TFR t di AS menggunakan
persamaan 13 Lampiran 4. Dengan menjumlahkan angka kelahiran
total tiap tahun berdasarkan persamaan 14, diperoleh angka kelahiran total sesuai tempo.
Dengan membandingkan dengan angka kelahiran total biasanya dapat diperoleh
besarnya efek tempo kelahiran. Hasilnya disajikan pada Gambar 2.
0.00 0.50
1.00 1.50
2.00 2.50
3.00 3.50
4.00
1970 1975
1980 1985
1990 1995
2000
Tahun N
ila i T
F R
T FR T FR yang disesuaikan
Gambar 2 TFR , TFR yang disesuaikan tempo dan besarnya efek tempo menggunakan angka
kelahiran menurut umur dan urutan kelahiran AS. Gambar 2 menunjukkan bahwa pada tahun
yang diberikan t, hampir semua nilai TFR yang disesuaikan tempo lebih besar daripada
TFR yang tidak disesuaikan tempo. Hal ini diakibatkan peningkatan umur saat
melahirkan sehingga menekan TFR yang tidak disesuaikan. Sedangkan pada tahun 1998 nilai
TFR yang disesuaikan dengan yang tidak disesuaikan tempo sama. Hal ini terjadi karena
umur saat melahirkan sebenarnya tidak berubah secara keseluruhan.
Dari nilai TFR tidak disesuaikan, rata-rata jumlah anak yang dimiliki tiap wanita di AS
mengalami penurunan dengan rata-rata 2 anak tiap wanita. Namun dari nilai TFR yang
disesuaikan rata-rata jumlah anak yang dimiliki tiap wanita lebih besar dari 2 yaitu
2.28. Selain itu,, penurunan nilai TFR yang disesuaikan lebih landai dibandingkan TFR
yang tidak disesuaikan dan perubahan trennya juga berbeda. Hal ini disebabkan adanya efek
kuantum yang terjadi pada kelahiran selain efek tempo.
4.2 Penghitungan Angka Harapan Hidup
yang Disesuaikan Tempo
o
e t .
Angka harapan hidup dihitung menggunakan fungsi laju kematian sesaat
umur x x
μ . Untuk laju kematian sesaat