hamburan yang berbeda akan memberikan besar intensitas yang berbeda pula, sehingga dari grafik tersebut dapat terlihat bahwa intensitas akan terjadi pada sudut
hamburan tertentu. Sudut hamburan ditentukan oleh panjang gelombang sinar X dan konstanta
kisi dari sampel kristal sehingga dengan mengetahui sudut hamburan dapat ditentukan konstanta kisi dan bidang hkl dari kristal tersebut dengan menggunakan
tahapan pengindeksan pola difraksi.
3.7.1 Pengindekan Pola Difraksi Indexing Diffraction Pattterns
Seperti yang telah dijelaskan pada dasar teori, bahwa sistem kristal bisa dikelompokkan menjadi 7 tujuh yaitu kubik, monoklinik, triklinik, tetragonal,
orthorhombik, trigonal atau yang bisa juga disebut rhombohedral, dan hexagonal. Ketujuh kristal tersebut terbagi menjadi 14 empat belas kisi ruang atau kisi
bravais Harold, Stokes .T, 1947. Setiap sistem kristal memiliki nilai bidang-bidang hkl dan parameter kisi
yang berbeda. Untuk sistem kubus, karena paremeter a = b = c maka bisa diartikan bahwa sistem kubus memiliki satu parameter kisi yang tidak diketahui yaitu a.
Sedangkan untuk sistem non kubik akan sedikit lebih rumit karena memiliki dua atau lebih parameter kisi yang belum diketahui, sehingga dari nilai panjang ketiga
sisi unit sel yaitu a, b, c dan besarnya ketiga sudut sumbu kristal α, , diperoleh
hubungan keduanya dengan jarak antar bidang untuk masing-masing jenis kristal, yang disajikan pada Tabel I dan II.
37
Tabel 1. Hubungan jarak antar bidang d dengan bidang-bidang atom hkl untuk
masing-masing jenis kristal
No Jenis Kristal
Hubungan antara d, hkl dan a, b, c, α, ß, γ
1 Kubik
2 2
2 2
2
90 ,
, 1
= =
= =
= +
+ =
γ β
α
c b
a a
l k
h d
Cubic 2 Tetragonal
Tetragonal
2 2
2 2
2 2
90 ,
, 1
= =
= ≠
= +
+ =
γ β
α c
b a
c l
a k
h d
3 Orthorhombi k
Orthorhombi c
2 2
2 2
2 2
2
90 ,
, 1
= =
= ≠
≠ +
+ =
γ β
α c
b a
c l
b k
a h
d
4 Hexagonal Hexagonal
2 2
2 2
2 2
120 ,
90 ,
, 3
4 1
= =
= ≠
= +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
=
γ β
α
c b
a c
l a
k hk
h d
5 Monoklinik Monoclinic
2 2
2 2
2 2
2 2
2
90 ,
90 ,
, cos
2 sin
sin 1
1 ≠
= =
≠ ≠
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− +
+ =
β γ
α β
β β
c b
a ac
hl c
l b
k a
h d
3 2
2 2
2 2
2 2
2
90 ,
, cos
2 cos
1 cos
cos 2
sin 1
≠ =
= ≠
≠ +
− −
+ +
+ +
+ =
γ β
α α
α α
α α
c b
a a
hl kl
hk k
k h
d
6 Rhombohedr al
Rhombohedr al
7 Triklinik Triclinic
hl S
kl S
hk S
l S
k S
h S
V d
13 23
12 2
33 2
22 2
11 2
2
2 2
2 1
1 +
+ +
+ +
=
dengan, V ádalah voleme dari sel satuan disajikan pada Tabel II
β α
γ α
γ β
γ γ
β γ
β α
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos sin
sin sin
2 13
2 23
2 12
2 2
2 33
2 2
2 22
2 2
2 11
− =
− =
− =
= =
=
c ab
S bc
a S
abc S
b a
S c
a S
c b
S
38
Tabel II. Volume sel satuan untuk masing-masing jenis kristal No Jenis Kristal
Voleme sel satuan 1 Kubik
3
a V
=
Cubic 2 Tetragonal
Tetragonal
c a
V
2
=
abc V
=
3 Orthorhombik Orthorhombic
4 Hexagonal Hexagonal
c a
c a
V
2 2
866 ,
2 3
= =
β sin
abc V
=
5 Monoklinik Monoclinic
6 Rhombohedral Rhombohedral
α α
3 2
3
cos 2
cos 3
1 +
− = a
V
7 Triklinik Triclinic
γ β
α γ
β α
cos cos
cos 2
cos cos
cos 1
2 2
2
+ −
− −
= abc V
Dalam praktek, informasi langsung yang diperoleh dari eksperimen menggunakan XRD adalah sudut hamburan 2
θ dan intensitas I. Untuk dapat menghitung indeks Miller dari pola difraksi bidang-bidang kristal adalah berbeda
untuk masing-masing jenis kristal. Pengindekan pola difraksi dapat dilakukan secara matematis maupun analitis. Adapun tahapan dalam pengindekan adalah
sebagai berikut.
1. Pengindekan Sistem Kristal Kubus
Untuk material kubus, jarak antar bidang atom diberikan oleh persamaan,
2 2
2 2
2
90 ,
, 1
= =
= =
= +
+ =
γ β
α
c b
a a
l k
h d
2.23
39
Bila ditinjau kembali hukum Bragg dengan orde difraksi n = 1, λ = 2 d
hkl
sin θ
maka bila kedua ruas dikuadratkan akan diperoleh persamaan,
2 2
2
4 sin
d λ
θ = atau
θ λ
2 2
2
sin 4d
= 2.24
Bila persamaan 2.23 dan 2.24 dikombinasikan akan diperoleh persamaan,
2 2
2 2
2 2
2
sin 4
1 λ
θ =
+ +
= d
l k
h d
2.25 atau
2 2
2 2
2 2
4 sin
l k
h a
+ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
λ θ
2.26
2 2
4a λ
Oleh karena λ dan a adalah konstan, maka
juga konstan, maka
2 2
2
l k
h +
+ θ
2
sin sebanding dengan
, sehingga dengan indeks Miller lebih tinggi akan didifraksikan pada sudut yang lebih tinggi pula.
Tahapan dalam pengindekkan pola difraksi untuk materials kubus adalah sebagai berikut :
1 Identifikasi puncak-puncak yang muncul. 2
Hitung nilai sin
2
θ.
egers K
int ,
sin
2
θ 3
Tentukan nilai atau
sin
2 2
2 2
l k
h K
+ +
= θ
4 Identifikasi pembagi terendah dari hasil 3 dan juga identifikasi bilangan bulat
yang bersesuaian. Namakan pembagi terendah tersebut adalah K.
40
5 Bagi sin
2
θ dengan K untuk masing-masing puncak. Dari sini akan diperoleh daftar bilangan bulat yang bersesuaian dengan h
2
+ k
2
+ l
2
. 6
Pilih pola yang sesuai dengan nilai h
2
+ k
2 2
+ l dan identifikasi kisi Bravaisnya 7
Hitung parameter kisinya. Sebagai contoh, dapat dilihat pada lampiran.
2. Pengindekan Struktur Kristal Non Kubus
Untuk material yang berstruktur bukan kubus, memiliki indeks Miller yang dapat dicari dengan persamaan seperti yang telah disajikan pada Tabel I, yaitu :
2 2
2 2
2 2
120 ,
90 ,
, 3
4 1
= =
= ≠
= +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
= →
γ β
α
c b
a c
l a
k hk
h d
Hexagonal
2.27
2 2
2 2
2 2
90 ,
, 1
= =
= ≠
= +
+ =
→
γ β
α
c b
a c
l a
k h
d Tetragonal
2.28
2 2
2 2
2 2
2
90 ,
, 1
hom =
= =
≠ ≠
+ +
= →
γ β
α c
b a
c l
b k
a h
d bic
Orthor 2.29
Dan dengan mengingat hukum Bragg orde 1, λ = 2 d
hkl
sin θ
maka bila kedua ruas dikuadratkan akan diperoleh persamaan,
2 2
2
4 sin
d λ
θ =
2 2
2
sin 4
1 λ
θ =
d atau
θ λ
2 2
2
sin 4d
= atau
Dan bila kedua persamaan ini dikombinasikan, maka akan diperoleh persamaan
41
2 2
2 2
2 2
2 2
sin 4
3 4
1
λ θ
= +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
= →
c l
a k
hk h
d Hexagonal
2.30
2 2
2 2
2 2
2 2
sin 4
1
λ θ
= +
+ =
→ c
l a
k h
d Tetragonal
2.31
2 2
2 2
2 2
2 2
2
sin 4
1 hom
λ θ
= +
+ =
→ c
l b
k a
h d
bic Orthor
2.32 Persamaan tersebut dapat disusun kembali dalam bentuk persamaan Sin
2
θ
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
→
2 2
2 2
2 2
2
3 4
4 sin
c l
a k
hk h
Hexagonal λ
θ
2.34
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= →
2 2
2 2
2 2
2
4 sin
c l
a k
h Tetragonal
λ θ
2.35
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= →
2 2
2 2
2 2
2 2
4 sin
hom c
l b
k a
h bic
Orthor
λ θ
2.36
a. Sistem kristal Tetragonal
Nilai sin
2
θ untuk struktur kristal dari Tetragonal diberikan oleh persamaan,
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= →
2 2
2 2
2 2
2
4 sin
c l
a k
h Tetragonal
λ θ
Karena untuk setiap pola difraksi yang diberikan, nilai a dan ca ádalah tetap, sehingga nilai
2 2
4a λ
juga tetapkonstan, maka persamaan . 2.35 dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih sederhana yaitu,
42
2 2
2 2
sin Cl
k h
A +
+ =
θ 2.37
dengan
2 2
4a A
λ =
2 2
4c C
λ =
dan juga merupakan statu konstanta. Nilai konstanta A
dapat diperoleh dari garis hk0. Maka bila l = 0 maka persamaan 2.37 menjadi,
2 2
2
sin k
h A
+ =
θ 2.38
Jumlahan untuk nilai h
2
+ k
2
adalah 1,2, 4, 5, 8 ..........., karenanya garis hk0 harus mempunyai nilai sin
2
θ dibagi bilangan bulat tersebut 1, 2, 4, 5, 8 ........ dan . A akan bernilai 1,12, ¼, 15, 18....x sin
2
θ. Sedang nilai C akan didapatkan melalui persamaan
2 2
2 2
sin Cl
k h
A =
+ −
θ Dengan kombinasi nilai h dan k yang mungkin akan diperoleh deretan nilai Cl
2
. Karena nilai l
2
adalah sudah tertentu yaitu 1, 2, 4, 9, 16………, maka nilai C akan didapat..
b. Sistem kristal Hexagonal
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
→
2 2
2 2
2 2
2
3 4
4 sin
c l
a k
hk h
Hexagonal λ
θ
Persamaan ini dapat disederhanakan dalam bentuk persamaan,
2 2
2 2
sin Cl
k hk
h A
+ +
+ =
θ 2.39
2 2
3 a
A λ
=
2 2
4 c
C λ
= dan
dengan
43
2 2
k hk
h +
+ Nilai jumlahan dari
yang memenuhi adalah 1, 3, 4, 7, 9……..
Langkah cara pengindekannya adalah sebagai berikut yang kemudian disajikan secara mendetail pada lampiran sebagai contoh.
a Hasil data eksperimen. b
Penentuan nilai sin
2
θ .
2 2
k hk
h +
+ c
Menghitung nilai sin
2
θ d
Menghitung nilai C.
Untuk nilai C dapat dicari dengan persamaan
2 2
2 2
sin Cl
k hk
h A
= +
+ −
θ 2.40
c. Sistem Kristal Orthorhombik
Untuk sistem Orthorhombik, bentuk persamaan sin
2
θ yang diberikan
adalah
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= →
2 2
2 2
2 2
2 2
4 sin
hom c
l b
k a
h bic
Orthor
λ θ
dalam bentuk yang lebih sederhana dapat dituliskan menjadi
2 2
2 2
sin Cl
Bk Ah
+ +
= θ
2 2
4 a
A λ
=
2 2
4 b
B λ
=
2 2
4 c
C λ
= ,
, dan merupakan suatu konstanta.
dengan Pengindekan struktur kristal orthorhombik akan menjadi lebih komplek atau
sulit dikarenakan terdapatnya 3 konstanta yang tidak diketahui nilainya yaitu A, B,
44
