Momen Inersia dan Tenaga Kinetik Rotasi

C. Momen Inersia dan Tenaga Kinetik Rotasi

1. Sistem Diskrit

Tinjaulah sistem yang terdiri atas 2 benda. Benda A dan benda B dihubungkan dengan batang ringan yang tegar dengan sebuah batang tegak yang merupakan sumbu rotasi kedua benda. Kemudian kedua benda dirotasikan dengan kecepatan sudut yang sama sebesar w. Benda A berjarak r 1

dari sumbu rotasi dan benda B berjarak r 2 dari sumbu rotasinya. Kecepatan linear benda A adalah 1 dan kecepatan linear benda B adalah 2 . Berapakah tenaga kinetik kedua benda tersebut? Tenaga kinetik benda A adalah:

Tenaga kinetik benda B adalah:

Bila dinyatakan dengan kecepatan sudutnya dengan mengingat = r Z maka tenaga kinetik kedua benda tersebut adalah:

Secara umum, persamaan (14) dapat juga kita tuliskan sebagai

dengan momen inersia atau I sebagai

2 I = mr

Fisika SMA/MA XI

Perhatikan persamaan (16) dan persamaan (12), kedua persamaan tersebut merupakan tenaga kinetik rotasi suatu partikel. Momen inersia sama dengan massa pada gerakan translasi, demikian juga fungsinya. Kecepatan sudut kedua benda sama yaitu w tetapi besarnya tenaga kinetik rotasi berbeda disebabkan karena momen inersianya berbeda. Sama halnya dengan dua benda bergerak translasi dengan kecepatan sama, tenaga kinetiknya akan berbeda sebanding dengan

massanya dan satuan momem inersia adalah kg/m 2 . Besar momen inersia bergantung pada massanya dan juga

jaraknya dari sumbu rotasi. Semakin jauh dari sumbu rotasi maka momen inersianya akan semakin besar. Pada benda B benda di atas manakah yang memiliki momen inersia yang

lebih besar? Kedua benda bermassa sama, tetapi r 2 >r 1 sehingga momen inersia benda B lebih besar daripada benda

A. Dengan demikian, kita bisa melihat bahwa momen inersia menunjukkan sebaran massanya. Semakin besar jaraknya yang berarti semakin tersebar, maka momen inersianya semakin besar.

Untuk sistem dengan dua benda seperti pada gambar maka momen inersia sistem adalah I A +I B . Bila suatu sistem terdiri atas banyak partikel maka momen inersia totalnya

Sumbu rotasi

merupakan jumlah momen inersia masing-masing partikel.

Pada sistem dua benda di atas momen inersia totalnya adalah:

I=

Gambar 6.11 Benda A

Gambar (6.11) benda A berjarak r dari sumbu dan B

dan B yang sedang be- 1 rotasi

berjarak r 2 dari sumbu rotasi. Kedua benda massanya sama, momen inersia benda B lebih besar daripada momen inersia benda kedua. Momen inersia total adalah jumlah antara momen inersia A dan B.

Fisika SMA/MA XI

Contoh Soal 3

Carilah momen inersia sistem dua benda seperti pada gambar di bawah bila diputar terhadap:

a. sumbu x, c sumbu x sebagai sumbu rotasi

b. sumbu y.

c. sumbu yang sejajar sumbu z, berjarak 0,5 m dari sumbu z Gambar di atas merupakan sistem dengan 4 buah massa, dirotasikan

terhadap sumbu x,y dan sumbu sejajar sumbu z berjarak 0,5 m dari sumbu z.

Penyelesaian :

a. momen inersia sistem terhadap sumbu x

r 1 adalah jarak dari m 1 ke sumbu x, r 1 =0 r 2 adalah jarak dari m 2 ke sumbu x, r 1 =1m

r 3 = 2 m dan r 4 =0m

I = (3)(0) 2 + (2)(1) 2 + (3)(1) 2 + (2)(0) 2 = 5 kgm 2

b. momen inersia terhadap sumbu y

r 1 adalah jarak dari m 1 ke sumbu y, r 1 =0m r 2 adalah jarak dari m 2 ke sumbu y, r 1 =0m

Fisika SMA/MA XI Fisika SMA/MA XI

I = (3)(0) 2 + (2)(0) 2 + (3)(1) 2 + (2)(1) 2 = 5 kgm 2

c. momen inersia terhadap sumbu yang sejajar sumbu z berjarak 0,5 m dari sumbu z seperti pada gambar.

r 1 adalah jarak dari m 1 ke sumbu rotasi, r 1 = 0,5 m r 2 adalah jarak dari m 2 ke sumbu y, r 1 = 0,5 m r 3 = 0,5 m dan r 4 = 0,5 m

I = (3)(0,5) 2 + (2)(0,5) 2 + (3)(0,5) 2 + (2)(0,5) 2

= 2,5 kgm 2

2. Sistem Kontinu

Sekarang kita akan mencari momen inersia untuk sistem dengan distribusi massa kontinu. Mari kita tinjau sebuah benda tegar misalnya sebuah batang bermassa total M. Batang tadi sebenarnya terdiri atas partikel bermassa kecil-kecil yang bila dijumlahkan semuanya berjumlah M, sehingga momen inersia batang adalah jumlah dari seluruh momen inersia partikel bermassa.

Gambar 6.12 Batang bermassa M dibagi menjadi elemen kecil-kecil bermassa dm dengan panjang dl.

Kita bisa membagi batang di atas menjadi n buah elemen dl. Setiap panjang dl bermassa sebesar dm. Total massa adalah 6dm = M. Batang tadi memiliki kerapatan yang homogen, artinya kerapatan di setiap titik adalah sama. Misalnya kerapatan kita beri simbol O besarnya kerapatan adalah massa total dibagi dengan panjangnya, yaitu sebesar

Fisika SMA/MA XI

maka bisa mencari besarnya dm sebagai

Satuan kerapatan pada masalah ini adalah satuan massa persatuan panjang atau kg/m.

Berapakah momen inersia batang bila diputar dengan sumbu rotasi terletak di ujung batang? Mari kita lihat Gambar (6.13).

Gambar 6.13 Batang diputar terhadap sumbu yang melewati ujung batang

Besarnya momen inersia adalah tiap elemen dm adalah:

karena sistemnya kontinu tanda ¦ kita ganti dengan integral dan m kita ganti dengan dm sehingga kita dapatkan:

Nilai r bervariasi yaitu mulai dari 0 atau r di ujung batang di posisi x = 0 sampai L atau nilai r di ujung yang lainnya. Dengan menggunakan dm pada persamaan (19) dan mengingat dl = dx karena batang terletak pada sumbu x maka:

Fisika SMA/MA XI

Gambar 6.14 Batang dirotasikan terhadap sumbu yang tegak lurus batang yang berada di tengah batang

Bagaimana kalau kita menggeser sumbu rotasi sehingga sumbu rotasi melewati bagian tengah batang seperti pada gambar (6.14)? Kita masih menggunakan persamaan yang

sama. Batas untuk dx bukan dari 0 sampai L tetapi dari sampai

, sehingga momen inersia batang adalah:

Fisika SMA/MA XI

Tampak bahwa momen inersia batang akan berbeda jika sumbu rotasinya berbeda. Momen inersia untuk berbagai bentuk benda tegar dapat dilihat pada tabel momen inersia.

Tabel 6.1 Momen Inersia untuk Berbagai Benda pada Berbagai Sumbu Rotasi

Kulit silinder terhadap Kulit silinder yang pan- Silinder pejal terhadap sumbu yang lewat pusat jangnya L terhadap di- sumbu. silinder.

ameter yang lewat pusat.

I = MR 2

Silinder pejal berjari- Batang tipis terhadap Kulit bola tipis berjari-jari hari R, panjangnya L ter- garis tegak lurus melalui R terhadap diameter- hadap diameter yang salah satu ujungnya.

nya.

melalui pusat.

Fisika SMA/MA XI

Batang tipis terhadap Balok padat terhadap Bola pejal berjari-jari R garis tegak lurus yang sumbu yang melalui terhadap diameternya. melalui pusat.

pusat tegak lurus pada permukaan.