Pembelajaran Matematika

2. Kajian Materi Matematika

Materi yang digunakan dalam penelitian ini adalah subbab bentuk akaryang merupakan materi yang dipelajari di kelas X tingkat SMA/MAdi semester gazal. Peneliti memilih materi ini dikarenakan: Materi yang digunakan dalam penelitian ini adalah subbab bentuk akaryang merupakan materi yang dipelajari di kelas X tingkat SMA/MAdi semester gazal. Peneliti memilih materi ini dikarenakan:

b. Karakteristik materi yang sesuai dengan model pembelajaran yang digunakan dalam penelitian yaitu menuntut siswa untuk aktif berbicara, baik itu bertanya, menyampaikan pendapat, maupun menjawab pertanyaan. Hal ini diperlihatkan dalam indikator berikut:

1) Mengetahui contoh dan bukan contoh bentuk akar

2) Mengubah bentuk akar dengan bilangan berpangkat pecahan, atau sebaliknya

3) Menyelesaikan operasi aljabar pada bentuk akar

4) Merasionalkan bentuk akar Adapun penjelasan mengenai materi bentuk akar ini adalah sebagai berikut:

a. Definisi Bentuk Akar

Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan inversi dari pemangkatan suatu bilangan (Sinaga, dkk.,2013:26). Akar dilambangkan dengan notasi ”√ ”.Akar ke-n atau akar pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai 𝑛 √𝑎 ,dengan a adalah bilangan pokok/basis dan n adalah

indeks/eksponen akar.Bentuk akar dan pangkat memiliki kaitan erat. Bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya. Sebelum mempelajari bentuk akar, harus dipahami terlebih dahulu konsep bilangan rasional dan irrasional.

Bilangan rasional berbeda dengan bilangan irrasional. Bilangan

rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan b

bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat, bilangan pecahan murni, dan bilangan pecahan desimal. Sedangkan, bilangan irrasional

adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. Bilangan irrasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak berhingga dan tak berpola. Contoh bilangan irrasional, misalnya √2= 1,414213562373..., e = 2,718..., 𝜋 = 3,141592653… dan sebagainya.

DEFINISI

Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. 𝑛 √𝑎 disebut bentuk akar jika dan hanya jika hasil 𝑛 √𝑎 adalah bilangan irrasional (Sinaga, dkk.,2013:27)

Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar ( √) dinamakan bentuk akar. Tetapi tidak semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan irrasional. Contoh: √25bukan bentuk akar, karena nilai

√25adalah 5 dan bukan bilangan irrasional.

b. Hubungan Bentuk Akar dengan Pangkat Pecahan

Perlu diketahui bahwa bilangan berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar. Berdasarkan Sifat, jika a adalah bilangan real dan a > 0, 𝑝

𝑛 adalah bilangan pecahan n ≠ 0, maka 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 = (𝑎) 𝑛 . Perhatikan bahwa 𝑝 𝑥 𝑝 = 𝑝, sehingga berdasarkan definisi yang berbunyi ”Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0 dengan a > 0, 𝑝

dan

adalah bilangan pecahan adalah bilangan pecahan

c. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

1) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama. Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai eksponen dan basis sama. Untuk setiap p, q, dan r adalah bilangan real dan r ≥ 0 berlaku sifat-sifat berikut:

2) Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa 𝑎 𝑞 = √𝑎 𝑝 . Sifat perkalian dan pembagian bentuk akar adalah sebagai berikut:

d. Merasionalkan Bentuk Akar

Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti √2, √5, √3 + √7, √2 − √6, dan seterusnya merupakan bilangan irrasional. Jika bentuk akar

tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan, maka dikatakan sebagai penyebut irasional.

Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pecahan itu sendiri. Akan tetapi, prinsip dasarnya sama, yaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawannya. Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut.

1) Merasionalkan Bentuk

cara mengalikannya

dengan √𝑞 karena nilai 𝑞selalu positif, maka √𝑞 = 1. Jadi perkalian dengan

tidak akan mengubah nilai namun menyebabkan penyebut menjadi

bilangan rasional yaitu seperti berikut:

2) Merasionalkan Bentuk

Sebelum merasionalkan bentuk-bentuk akar di atas, perlu dipahami bentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irrasional.

a) Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional. Contoh 2 + √7= 2 + 2,645751.... = 4, 645751... (bilangan irrasional).

b) Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional, contoh √5 + √7= 2,236068.... + 2,645575... = 4,881643... (bilangan irrasional)

c) Jika bilangan rasional dikalikan dengan bilangan irrasional, maka hasilnya bilangan irrasional. Contoh 2 × √5 = 2√5 c) Jika bilangan rasional dikalikan dengan bilangan irrasional, maka hasilnya bilangan irrasional. Contoh 2 × √5 = 2√5

√5 𝑥 √125 = √5× 5√5= 25 (25 adalah bilangan rasional) √3 𝑥 √5 = √15 (√15 adalah bilangan irasional)

e) 𝑛 √𝑎 disebut bentuk akar apabila hasil akar a adalah bilangan irrasional.