BAB 5. Trigonometri II

5. TRIGONOMETRI II

A. Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1) sin (A  B) = sin A cos B  cos A sin B 2) cos (A  B) = cos A cos B

 sin A sin B

3) tan (A  B) =

B tan A tan 1 B tan A tan    SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2004

Nilai sin 45º cos 15º + cos 45º sin 15º sama dengan …

A. ₂1 D. ₂1 6 B. ₂1 2 E. 1₃ 3 C. ₂1 3 Jawab : c 2. UN 2012/D49

Diketahui nilai sin  cos  = 5

1 _{dan sin ( –}  ) =

5 3

untuk 0    180 dan 0    90. Nilai sin ( +  ) = …. A. – 5 3 D. 5 1 B. – 5 2 E. 5 3 C. – 5 1

Jawab : C

3. UN 2012/E52 Diketahui sin  =

5 3

dan cos  = 13 12

( dan  sudut lancip). Nilai sin( + )=…. A. 65 56 D. 65 20 B. 65 48 E. 65 16 C. 65 36

Jawab : A

4. UN 2012/C37

Pintar matematika dapat terwujud dengan

SOAL PENYELESAIAN Diketahui

3

 

  dan sin  sin  =

4 1 dengan  dan  merupakan sudut lancip. Nilai cos ( + ) = …

A. 1

B.

4 3 C.

2 1 D.

4 1

E. 0

Jawab : E 5. UN 2012/B25

Jika A + B = ₃ dan cos A cos B = ₈5 , maka cos(A – B) = ...

A. ₄1 B. ₂1 C. ₄3 D. 1 E. ₄5 Jawab : C

6. UN 2011 PAKET 12 Diketahui (A + B) =

3



dan sinA sinB = 1₄. Nilai dari cos (A – B) = …

A. –1 D. ₄3 B. –₂1 E. 1 C. ₂1 Jawab : E 7. UN 2008 PAKET A/B

Diketahui sin A = ₅4 dan sin B = ₂₅7 , dengan A sudut lancip dan B sudut tumpul.

Nilai cos (A – B) = … a.  ₁₂₅117

b.  ₁₂₅100

c.  ₁₂₅75

d.  ₁₂₅44

e.  ₁₂₅21

Jawab : d

8. UN 2010 PAKET B

SOAL PENYELESAIAN dari sin p cos q = …

A. ₆1 D. ₆4 B. ₆2 E. ₆5 C. ₆3 Jawab : d 9. UN 2009 PAKET A/B

Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = ₅4 dan sin B = ₁₃12, maka sin C = …

A. ₆₅20 D. ₆₅60 B. ₆₅36 E. ₆₅63 C. ₆₅56 Jawab : E

B. Perkalian Sinus dan Kosinus

1) 2sin A cos B = sin(A + B) + sin(A – B) sin A cos B = ½{sin(A + B) + sin(A – B)} 2) 2cos A sin B = sin(A + B) – sin(A – B)

Pintar matematika dapat terwujud dengan

cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)} 3) 2cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B)

cos A cos B = ½{cos(A + B) + cos(A – B)} 4) –2sin A sin B = cos(A + B) – cos(A – B)

sin A sin B = –½{cos(A + B) – cos(A – B)}

SOAL PENYELESAIAN

1. UAN 2003

Nilai dari _  _ 50 40

10 cos cos

cos _{adalah …} a. 3

b. 2 c. 1 d. ₂1 e. ₄1 Jawab : b

C. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus, Kosinus dan Tangen 1) sin A + sin B = 2sin ½ (A + B) · cos ½(A – B)

2) sin A – sin B = 2cos½ (A + B) · sin ½(A – B) 3) cos A + cos B = 2cos½ (A + B) · cos ½(A – B) 4) cos A – cos B = –2sin½ (A + B) · sin½(A – B) 5) tan A + tan B =

B A

B A

cos cos

) sin( 

6) tan A – tan B =

B A

B A

cos cos

) sin( 

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/C37

Nilai dari sin 75– sin 165 adalah … A. 2

4 1

D. 2 2 1 B. 3

4 1

E. 6 2 1

C. 6

4 1

Jawab : D

2. UN 2008 PAKET A/B

Nilai dari cos 195º + cos 105º adalah … a. ₂1 6

b. ₂1 3

c. ₂1 2

d. 0 e.  ₂1 6

Jawab : e

3. UN 2007 PAKET B

Nilai dari cos 25º + cos 95º + cos 145º = ….

a. –1

b. – ₂1

c. 0

d. ₂1

e. 1

Jawab : c

Pintar matematika dapat terwujud dengan

SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2006

Nilai dari sin 75º + cos 75º = … a. ₄1 6

b. ₂1 2 c. ₂1 3 d. 1 e. ₂1 6

Jawab : e 5. UAN 2003

Nilai _ _ 171 sin 69 sin

21 sin 81 sin

 

= … . a. 3

b. ₂1 3 c. ₃1 3 d. – ₂1 3 e. – 3 Jawab : a

6. UN 2011 PAKET 12

Nilai _ _

100 sin 140 sin

100 cos 140 cos

 

= … a. – 3

b. –₂1 3

c. –1₃ 3 d. ₃1 3

e. 3 Jawab : e

7. UN 2011 PAKET 46

Nilai _{ }

 

15 cos 105 cos

15 sin 75 sin

 

= … a. –₃1 3

b. –₂1 2

c. –1 d. ₂1 e. 1 Jawab : c

SOAL PENYELESAIAN Hasil dari _ _

102 cos 138 cos 63 sin 27 sin   = …

a. – 2

b. – ₂1 2

c. 1

d. ₂1 2

e. 2

Jawab : a

9. UN 2007 PAKET A

Nilai dari _ _ 15 105 15 75 cos cos sin sin   _{= ….}

a. – 3 b. – 2 c. ₃1 3 d. 2 e. 3 Jawab : e

10. UN 2010 PAKET B

Hasil dari     ) 45 sin( ) 45 sin( ) 45 cos( ) 45 cos(           = …

a. – 2

b. 1

c. ₂1 2

d. 1

e. 2

Jawab : d

11. UN 2010 PAKET A

Diketahui tan  – tan  = ₃1 _dan

cos  cos  = ₆₅48, ( ,  lancip). Nilai sin ( – ) = …

A. ₆₅63 D. 16₄₈ B. ₆₅33 E. 16₆₅ C. ₆₅26 Jawab : e

D.

Sudut

Rangkap

1) sin 2A = 2sinA·cosA 2) cos 2A = cos2_{A – sin}2_A

= 2cos2_{A – 1}

Pintar matematika dapat terwujud dengan

= 1 – 2sin2_A 3) tan 2A =

A tan 1

A tan 2

2



4) Sin 3A = 3sin A – 4sin3_A

SOAL PENYELESAIAN

1. UAN 2003

Diketahui A sudut lancip dengan cos 2A = ₃1. Nilai tan A = …

a. 3

3 1

b. ₂1 2

c. 1₃ 6

d. ₅2 5

e. ₃2 6

E. Persamaan Trigonometri 1. sin xº = sin p

x1 = p + 360k

x2 = (180 – p) + 360k 2. cos xº = cos p

x1 = p + 360k x2 = – p + 360k 3. tan xº = tan p

x1 = p + 180k

x2 = (180 + p) + 180k

4. Bentuk: A trig2 _{+ B trig + C = 0 diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan kuadrat}

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/C37

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x – 2cos x = –1; 0  x  2 adalah …

A. {0,

2 1 _,

2 3_{, 2}}

B. {0,

2 1

, 3 2

, 2}

C. {0,

2 1 _{, ,}



2 3

}

D. {0,

2 1

, 3 2

}

E. {0,

2 1 _{, }} Jawab : A

2. UN 2011 PAKET 46

Himpunan penyelesaian persamaan

cos 2x – 3 cos x + 2 = 0, 0  x  360 adalah …

a. {60, 300} b. {0, 60, 300} c. {0, 60, 180, 360} d. {0, 60, 300, 360} e. {0, 60, 120, 360} Jawab : d

3. UN 2011 PAKET 12

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, 0  x  180 adalah … a. {45, 120}

b. {45, 135} c. {60, 135} d. {60, 120} e. {60, 180} Jawab : e

Pintar matematika dapat terwujud dengan

SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2005

Himpunan penyelesaian dari persamaan

cos 2xº + 3 sin xº = 2, untuk 0  x  360 adalah …

a. {30, 90} b. {30, 150} c. {0, 30, 90} d. {30, 90, 150} e. {30, 90, 150, 180} Jawab : d

5. UN 2008 PAKET A/B

Himpunan penyelesaian persamaan:

cos 2x + 7 sin x + 3 = 0, untuk 0 < x < 360 adalah …

a. {0, 90} b. {90, 270} c. {30, 130} d. {210, 330} e. {180, 360} Jawab : d 6. UN 2012/D49

Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = – 1 untuk 0  x  180 adalah ….

A.{120,150} B. {105,165} C. {30,150} D. {30,165} E. {15,105} Jawab : B 7. UN 2012/A13

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x – 2sin x = 1; 0  x < 2 adalah….

A. {0,  ,2

2 3

, }

B. {0, ,2

2 4

, }

C. {0, ,,2

3 2

, }

D. {0,,2 }

E. {0,

2 3 , 

 }

SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2010 PAKET B

Himpunan penyelesaian persamaan:

cos 2x – sin x = 0, untuk 0  x  2 adalah … a.



₂,₃,₆



b.



₆

,

5₆

,

3₂



c.



₂,₆,7₆



d.



7₆ ,4₃,11₆



e.



4₃ ,11₆ ,2





Jawab : b

9. UN 2010 PAKET A

Himpunan penyelesaian persamaan:

sin 2x + 2cos x = 0, untuk 0  x < 2 adalah …

A.



0,



D.



₂

,

3₂



B.



₂

,





E.



0

,

3₂



C.



3₂ ,





_{Jawab : d}

10. UN 2009 PAKET A/B

Himpunan penyelesaian persamaan: sin 4x – cos 2x = 0, untuk 0 < x < 360 adalah …

a. {15, 45, 75, 135} b. {135, 195, 225, 255} c. {15, 45, 195, 225} d. {15, 75, 195, 255}

e. {15, 45, 75, 135, 195,225, 255,315} Jawab : e

11. UN 2004

Nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos xº + 2sin xº = 2untuk 0  x  360

adalah … a. 15 atau 135 b. 45 atau 315 c. 75 atau 375 d. 105 atau 345 e. 165 atau 285 Jawab : d

Pintar matematika dapat terwujud dengan

SOAL PENYELESAIAN 12. UN 2006

Diketahui persamaan

2cos2_{x + 3sin 2x = 1 + 3, untuk}

0 < x < ₂ . Nilai x yang memenuhi adalah … a. ₆ dan₂

b. ₃ dan₁₂5 c. ₁₂ dan5₁₂ d. ₁₂ dan₄ e. ₆ dan₄ Jawab : d

13. UN 2004

Nilai x yang memenuhi

3cos x + sin x = 2, untuk 0  x  2

adalah …

a. ₁₂1  _{dan } 12 11

b. ₁₂1  _{dan } 1223

c. ₁₂5  dan ₁₂7 

d. ₁₂5  dan ₁₂19

e. ₁₂5  dan ₁₂23

Jawab : e 14. UAN 2003

Untuk 0  x  360, himpunan penyelesaian dari sin xº – 3cos xº – 3 = 0 adalah …

a. {120,180} b. {90,210 c. {30, 270} d. {0,300} e. {0,300,360} Jawab : a 15. EBTANAS 2002

Jika a sin xº + b cos xº = sin(30 + x)º untuk setiap x, maka a 3+ b = …

a. –1 b. –2 c. 1 d. 2 e. 3 Jawab : d

SOAL PENYELESAIAN Hasil dari _ _

102 cos 138 cos 63 sin 27 sin   = …

a. – 2

b. – ₂1 2

c. 1

d. ₂1 2

e. 2

Jawab : a

9. UN 2007 PAKET A

Nilai dari _ _ 15 105 15 75 cos cos sin sin   _{= ….}

a. – 3 b. – 2 c. ₃1 3 d. 2 e. 3 Jawab : e

10. UN 2010 PAKET B

Hasil dari     ) 45 sin( ) 45 sin( ) 45 cos( ) 45 cos(           = …

a. – 2

b. 1

c. ₂1 2

d. 1

e. 2

Jawab : d

11. UN 2010 PAKET A

Diketahui tan  – tan  = ₃1 dan cos  cos  = ₆₅48, ( ,  lancip). Nilai sin ( – ) = …

A. ₆₅63 D. 16₄₈ B. ₆₅33 E. 16₆₅ C. ₆₅26 Jawab : e

D.

Sudut

Rangkap

1) sin 2A = 2sinA·cosA 2) cos 2A = cos2_{A – sin}2_A

= 1 – 2sin2_A 3) tan 2A =

A tan 1

A tan 2

2 

4) Sin 3A = 3sin A – 4sin3_A

SOAL PENYELESAIAN

1. UAN 2003

Diketahui A sudut lancip dengan cos 2A = ₃1. Nilai tan A = …

a. 3

3 1

b. ₂1 2 c. 1₃ 6 d. ₅2 5 e. ₃2 6 Jawab : b

E. Persamaan Trigonometri

1. sin xº = sin p x1 = p + 360k

x2 = (180 – p) + 360k 2. cos xº = cos p

x1 = p + 360k x2 = – p + 360k 3. tan xº = tan p

x1 = p + 180k

x2 = (180 + p) + 180k

4. Bentuk: A trig2 _{+ B trig + C = 0 diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan kuadrat}

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/C37

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x – 2cos x = –1; 0  x  2 adalah …

A. {0,

2 1 _

, 2 3_

, 2}

B. {0,

2 1

, 3 2

, 2}

C. {0,

2 1 _

, ,  2 3

}

D. {0,

2 1

, 3 2

}

E. {0,

2 1 _

, } Jawab : A

2. UN 2011 PAKET 46

Himpunan penyelesaian persamaan

cos 2x – 3 cos x + 2 = 0, 0 x  360 adalah …

a. {60, 300} b. {0, 60, 300} c. {0, 60, 180, 360} d. {0, 60, 300, 360} e. {0, 60, 120, 360} Jawab : d

3. UN 2011 PAKET 12

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, 0 x  180 adalah … a. {45, 120}

b. {45, 135} c. {60, 135} d. {60, 120} e. {60, 180}

SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2005

Himpunan penyelesaian dari persamaan

cos 2xº + 3 sin xº = 2, untuk 0  x  360 adalah …

a. {30, 90} b. {30, 150} c. {0, 30, 90} d. {30, 90, 150} e. {30, 90, 150, 180} Jawab : d

5. UN 2008 PAKET A/B

Himpunan penyelesaian persamaan:

cos 2x + 7 sin x + 3 = 0, untuk 0 < x < 360 adalah …

a. {0, 90} b. {90, 270} c. {30, 130} d. {210, 330} e. {180, 360} Jawab : d 6. UN 2012/D49

Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = – 1 untuk 0 x  180

adalah …. A.{120,150} B. {105,165} C. {30,150} D. {30,165} E. {15,105} Jawab : B 7. UN 2012/A13

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x – 2sin x = 1; 0  x < 2 adalah….

A. {0,  ,2

2 3

, }

B. {0, ,2

2 4

, }

C. {0, ,,2

3 2

, }

D. {0,,2 }

E. {0,

2 3 , 

 }

SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2010 PAKET B

Himpunan penyelesaian persamaan:

cos 2x – sin x = 0, untuk 0  x  2 adalah … a.



₂,₃,₆



b.



₆

,

5₆

,

3₂



c.



₂,₆,7₆



d.



7₆ ,4₃,11₆



e.



4₃ ,11₆ ,2





Jawab : b

9. UN 2010 PAKET A

Himpunan penyelesaian persamaan:

sin 2x + 2cos x = 0, untuk 0  x < 2 adalah …

A.



0,



D.



₂

,

3₂



B.



₂

,





E.



0

,

3₂



C.



3₂ ,





_{Jawab : d} 10. UN 2009 PAKET A/B

Himpunan penyelesaian persamaan: sin 4x – cos 2x = 0, untuk 0 < x < 360

adalah …

a. {15, 45, 75, 135} b. {135, 195, 225, 255} c. {15, 45, 195, 225} d. {15, 75, 195, 255}

e. {15, 45, 75, 135, 195,225, 255,315} Jawab : e

11. UN 2004

Nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos xº + 2sin xº = 2untuk 0  x  360 adalah …

a. 15 atau 135 b. 45 atau 315 c. 75 atau 375 d. 105 atau 345 e. 165 atau 285 Jawab : d

SOAL PENYELESAIAN 12. UN 2006

Diketahui persamaan

2cos2_{x + 3sin 2x = 1 + 3, untuk}

0 < x < ₂ . Nilai x yang memenuhi adalah … a. ₆ dan₂

b. ₃ dan₁₂5 c. ₁₂ dan5₁₂ d. ₁₂ dan₄ e. ₆ dan₄ Jawab : d

13. UN 2004

Nilai x yang memenuhi

3cos x + sin x = 2, untuk 0  x  2 adalah …

a. ₁₂1  _{dan }

12 11 b. ₁₂1  _{dan }

1223 c. ₁₂5  dan ₁₂7 

d. ₁₂5  dan ₁₂19

e. ₁₂5  dan ₁₂23

Jawab : e 14. UAN 2003

Untuk 0  x  360, himpunan penyelesaian dari sin xº – 3cos xº – 3 = 0 adalah …

a. {120,180} b. {90,210 c. {30, 270} d. {0,300} e. {0,300,360} Jawab : a 15. EBTANAS 2002

Jika a sin xº + b cos xº = sin(30 + x)º untuk setiap x, maka a 3+ b = …

a. –1 b. –2 c. 1 d. 2 e. 3 Jawab : d