BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Tahap Pembentukan Fungsi Transfer
Untuk deret input X
t
dan deret output Y
t
tertentu , terdapat empat tahap utama dan beberapa sub tahap di dalam proses dari pembentukan model fungsi transfer.
3.1.1 Identifikasi Bentuk Model
Terbagi atas 7 tahap dinyatakan sebagai berikut :
a Mempersiapkan Deret Input dan Output
Pada tahap ini dilakukan identifikasi apakah pada data mentah input dan output sudah stasioner dalam rataan dan ragam. Apabila belum stasioner maka perlu
dilakukan pembedaan atau transformasi untuk menghilangkan ketidakstasionerannya. Hal lain yang perlu dilakukan pada deret input dan output adalah menghilangkan
pengaruh musiman pada dua deret tersebut, dimana ini mempunyai pengaruh terhadap nilai – nilai r,s,b yang dihasilkan.
Tahap identifikasi untuk mempersiapkan deret input dan output ini adalah tahap untuk menetapkan apakah transformasi terhadap data input dan output perlu
dilakukan, dan berapa besar tingkat pembedaan yang seharusnya diterapkan untuk deret input dan output agar menjadi stasioner, serta apakah deret input dan output
perlu dihilangkan pengaruh musimannya. Dengan demikian deret rata yang telah ditransformasi dan yang telah sesuai disebut sebagai x
t
dan y
t
. transformasi yang biasa diterapkan adalah dalam bentuk :
X
t ’
= X
t
+ m
λ
untuk λ = 0
dan X
t ’
= log X
t
untuk λ ≠
Universitas Sumatera Utara
b Pemutihan Deret Input x
t
Pada tahap ini dilakukan pemutihan deret input untukx
t
, dimana melalui fungsi transfer mengubah deret input x
t
menjadi deret output y
t
. Hal ini dilakukan untuk membuat sistem input dibuat sesederhana mungkin. Dengan demikian diperoleh suatu
input yang terkendali dan memeriksa outputnya berulang – ulang sampai sifat asli fungsi transfer menjadi terlihat jelas. Jadi tahap ini dimaksudkan untuk
menghilangkan pola yang diketahui sehingga yang tinggal hanya white noise. Model deret input tersebut dapat diidentifikasikan sebagai berikut :
x
B x
t
= θ
x
B α
t
………………………. 6
dengan :
x
B = operator autoregresif θ
x
B = operator moving average α
t
= kesalahan random
dengan menyusun kembali suku – suku pada persamaan diatas, sehingga dapat diubah deret x
t
ke dalam deret α
t
, maka persamaan 6 diubah menjadi :
t x
x t
x B
B θ
φ α =
…………………………….. 7
c Pemutihan Deret Output y
t
Fungsi transfer yang dimaksud adalah memetakan x
t
ke dalam y
t
. Apabila telah diterapkan suatu transformasi pemutihan untuk deret x
t
, maka untuk deret output y
t
dilakukan hal yang sama untuk mempertahankan integritas hubungan fungsional. Dengan demikian deret y
t
diubah kedalam deret β
t
, maka diperoleh persamaan menjadi :
t x
x t
y B
B θ
φ β =
………………………….. 8
Universitas Sumatera Utara
d Perhitungan Korelasi Silang dan Korelasi Diri untuk deret Input dan Output
yang telah diputihkan
Di dalam pemodelan fungsi transfer perhitungan korelasi diri dan korelasi silang dibutuhkan. Korelasi silang dan korelasi diri mempunyai perbedaan yang sangat kecil.
Korelasi silang digunakan untuk mengetahui hubungan dua deret waktu x dan y atau dalam bentuk deret waktu yang telah diputihkan
α dan β, yang salah satu deret dilambatkan lag dengan deret lainnya.
Korelasi silang antara x dan y dihitung dengan rumus :
y x
xy xy
S S
k C
k r
=
……………………… 9 dengan :
r
xy
k = Korelasi silang antara deret x dan y pada lag ke-k C
xy
k = Kovarian antara deret x dan y pada lag ke-k S
x
= Standar deviasi deret x S
y
= Standar deviasi deret y k = 0,1,2,3,…
untuk menguji tingkat kepercayaan 95 dari nilai korelasi silang, dilakukan pendekatan perhitungan kesalahan baku dengan rumus :
k n
se
rk
− = 1
……………………… 10 dengan :
n = Jumlah pengamatan k = Kelambatan lag
Untuk perhitungan korelasi diri dapat dilihat pada persamaan sebelumnya dan uji Box-Pierce Portmanteau untuk sekumpulan nilai r
k
didasarkan pada nilai statistik Q yang menyebar mengikuti sebaran chi-kuadrat dengan derajat bebas.
1 2
k r
n Q
m k
∑
=
= …………………………… 11
Universitas Sumatera Utara
dengan : m = lag maksimum
r
k
= Autokorelasi untuk lag ke-k n = N-d
d = Pembedaan N = Jumlah pengamatan asli
koefisien autokorelasi atau korelasi deret berkala itu sendiri dengan selisih waktu lag 0,1,2 periode atau lebih. Koefisien autokorelasi deret X
t
yang stasioner untuk lag ke-k, dapat dihitung dengan rumus :
∑ ∑
= +
− =
− −
− =
n t
t k
t k
n i
t k
X X
X X
X X
r
1 1
……………………. 12
dengan : r
k
= Korelasi pada lag ke-k X
t
= Nilai pengamatan ke –t X
t+k
= Nilai pengamatan saat ke- t+k
−
X = Rata – rata pengamatan
e Pendugaan Langsung Bobot Respons Impuls
Setelah diperoleh deret input dan output yang telah diputihkan, kemudian menghitung korelasi silang maka dapat diperoleh pendugaan langsung untuk masing – masing
bobot respons impuls, dengan rumus sebagai berikut :
α β
αβ
S S
k r
v
k
= ……………………… 13
dengan keterangan bahwa korelasi silang antara α dan β serta ε nilai – nilainya sudah
diketahui dan ditransformasikan ke dalam perumusan fungsi transfer. Dengan demikian rumusan baru untuk pendugaan langsung bobot respons impuls adalah
sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
α αβ
α αβ
S k
r S
k C
v
k 2
= =
………………… 14
f Penetapan Parameter r,s,b
Didalam model fungsi transfer terdapat tiga parameter kunci yaitu r,s,b, dimana r menunjukkan derajat fungsi
δB, s menunjukkan derajat fungsi ωB, dan b menunjukkan keterlambatan yang dicatat pada subskrip X
t-b
. Pada persamaan fungsi transfer dilakukan penetapan sebagai berikut :
b t
t
x B
B x
B v
−
= δ
ω …………………… 15
dimana arti r,s,b itu sendiri terdapat aturan yang mudah diuraikan, nilai b menyatakan bahwa y tidak dipengaruhi oleh nilai x
t
sampai periode t + b, sehingga nilainya menjadi :
y
t
= 0 x
t
+ 0 x
t-1
+ 0 x
t-2
+ . . . + ω
x
t-b
sedangkan nilai s menyatakan untuk berapa lama deret output y secara terus - menerus dipengaruhi oleh nilai – nilai baru dari deret input x, dimana y
t
dipengaruhi oleh :
x
t-b
, x
t-b-1
,. . . , x
t-b-s
selanjutnya nilai r menunjukkan bahwa y
t
berkaitan dengan nilai – nilai masa lalu, sehingga nilainya menjadi :
y
t-1
, y
t-2
, y
t-3
, . . . , , y
t-r
Dalam menentukan parameter r,s,b dapat digunakan tiga prinsip untuk membantu dalam menentukan nilai yang tepat adalah sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
1. Sampai lag waktu ke b, korelasi silang tidak akan berbeda dari nol secara
signifikan. 2.
Untuk s time lag selanjutnya, korelasi silang tidak akan memperlihatkan adanya pola yang jelas.
3. Untuk r time lag selanjutnya, korelai silang akan memperlihatkan suatu
pola yang jelas.
g Pendugaan Deret Gangguan n
t
Perhitungan nilai taksiran awal deret gangguan n
t
menggunakan rumus sebagai berikut :
n
t
= y
t
– v x
t
– v
1
x
t-1
– v
2
x
t-2
- . . . – v
g
x
t-g
……………… 16
dimana g adalah hasil lag dari korelasi silang.
3.1.2 Pendugaan Parameter – Parameter Model