DASAR TEORI Persamaan schwarzschild dan implikasinya pada lintasan partikel.
Jika digunakan koordinat bola sferis r, θ,φ , maka panjang lintasan elemen garis
antara dua titik diberikan oleh
2 2
2 2
2 2
2
sin φ
θ θ
d r
d r
dr ds
+ +
=
2.3 ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ =
2 2
2 2
2 2
sin 1
φ θ
θ d d
dr r
r
sehingga diberikan
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
θ
μυ
2 2
2
sin 1
r r
g
Dalam ruang dimensi 4 ruang Minkowski tanpa gravitasi, elemen garis ds didapat dari
2 2
2 2
2 2
dz dy
dx dt
c ds
− −
− =
2.4
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
2 2
2 2
2
1 1
1 1
dz dy
dx dt
c
sehingga menghasilkan metrik tensor
2.5 ⎟⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
1 1
1 1
μυ
g
Kalau digunakan koordinat bola sferis, elemen garis atau lintasan menjadi :
2 2
2 2
2 2
2 2
2
sin φ
θ θ
d r
d r
dr dt
c ds
− −
− =
2.6
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
2 2
2 2
2
2 2
2
sin 1
1
φ θ
θ
d d
dr dt
c
r r
yang menghasilkan
2.7 ⎟⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
θ
μυ
2 2
2
sin 1
1
r r
g
Jika ada medan gravitasi, maka elemen garis atau lintasan dalam ruang dapat dituliskan sebagai
2.8 sin
2 2
2 2
2 2
2 2
φ θ
θ d
d r
r C
dr r
B dt
c r
A ds
+ −
− =
dengan Ar, Br, dan Cr sebagai fungsi kuat medan gravitasi. Dengan menggunakan transformasi
dapat diperoleh Ar = e
2 1
rC r
= ′
υ
dan Br = e sedemikian hingga Ar dan Br bernilai mendekati 1 jika
∞ →
r
. Dengan demikian persamaan 2.8 dapat dituliskan kembali menjadi
2.9 sin
2 2
2 2
2 2
2 2
φ θ
θ
λ υ
d d
r dr
e dt
c e
ds +
− −
= Sebagaimana disebutkan bahwa elemen garis atau lintasan dari persamaan 2.9
adalah
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
− −
− =
2 2
2 2
2
2 2
2 2
sin
φ θ
θ
λ υ
d d
dr dt
c
r r
e e
ds
sehingga metrik tensornya
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
− −
− =
θ
λ υ
μυ
2 2
2
sin r
r e
e g
Nilai υ dan dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan geodesik Lord,
1979 =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
+
σ ρ
μ
ρσ μ
U U
ds dU
2.10
dengan ds
dx U
μ μ
= , dan
adalah lambang Christoffel. Yang didefinisikan sebagai Joshi, 1980
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
ρσ μ
μ ρσ
ρ σμ
σ ρμ
ρσ μ
∂ −
∂ +
∂ =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
g g
g 2
1 2.11
atau bisa juga ditulis
μυ ρσ
υ
ρσ μ
g Γ
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧
dengan
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
− ∂
∂ +
∂ ∂
= Γ
λ ρσ
ρ σλ
α λρ
ρα ρσ
υ
x g
x g
x g
g 2
1
Untuk menghitung lambang Christoffel membutuhkan waktu yang sangat lama. Karena nilai dari lambang Christoffel kebanyakan adalah nol, suatu cara yang
labih cepat untuk menghitungnya adalah dengan menggunakan persamaan geodesik. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Sehingga persamaan 2.10 sama dengan 2.12
[ ]
∫ ∫
− −
− =
= ds
U r
U r
U e
U e
ds
2 1
2 3
2 2
2 2
2 2
1 2
4
sin θ
δ δ
λ ν
dengan c = 1, dan persamaan 2.12 adalah integran lintasan yang diminimalkan. Persamaan 2.12 menghasilkan
μ μ
x F
U F
ds d
∂ ∂
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ ,
2.13 dengan F adalah integran pada persamaan 2.12, persamaan 2.13 identik dengan
persamaan 2.10. sehingga dapat dihasilkan simbol Christoffel dari persamaan tersebut. Sebagai contoh, jika ditulis
, maka 4
4
x ct
= =
μ
4 4
2 U e
U F
υ
= ∂
∂
4
= ∂
∂ x
F
maka persamaan 2.12 menjadi 2
4
= U
e ds
d
υ
2.14
Dengan menggunakan relasi ds
dr dr
d ds
d = , persamaan 2.14 menghasilkan
2 2
4
= =
t c
e ds
d U
e ds
d
υ υ
= +
υ υ
e ds
d t
e t
= ′
+
υ υ
υ e r
t e
t PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= ′
+ t
r t
υ 2.15
Dengan demikian lambang Christoffel dapat dihasilkan dari persamaan diatas. Lambang Christoffel yang tidak bernilai nol adalah
υ′ =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
2 1
14 4
υ′ =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
2 1
14 1
λ υ
υ
−
′ =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
e 2
1 44
1
λ′ =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
2 1
11 1
r e
λ
−
− =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
22 1
λ
θ
−
− =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
e r
2
sin 33
1
r 1
21 2
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧
θ θ sin
cos 33
2 −
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧
θ cot
23 2
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧
r 1
13 3
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
juga diperlukan relasi Lord, 1976 ,
log g
− ∂
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧
ρ
λρ λ
dengan , sehingga
θ
λ ν
2 4
sin r
e g
+
− =
θ λ
ν sin
log log
2 2
log +
+ −
= −
r g
2.16 Tensor
Ricci R
υ
pada persamaan 1.1 dapat juga dituliskan sebagai
ρ ρ
μ μ
μ ρ
ρ λ
λμ ρ
μ ρ
. .
log log
g v
v v
g R
v v
− ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ −
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
+ ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ −
− =
2.17
Agar penyelesaian persamaan medan gravitasi Einstein pada persamaan 1.1 linear, nilai R
υ
harus sama dengan nol. Dari persamaan 2.16 yang memberikan nilai nol adalah
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
′ +
′ ′
− ′
+ ′
− =
= r
v v
v v
e R
v
2 2
2 2
1
2 .
44
λ
λ
2.18
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
′ −
′ ′
− ′
+ ′′
= =
r v
v v
R
λ λ
2 2
2 2
1
2 11
2.19
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
′ +
′ +
′ −
− =
=
− −
2 1
22
λ
λ λ
v r
e r
e R
2.20
dari , diperoleh
44 11
= = R
R =
′ +
′ v
λ , sehingga
= + v
λ konstan. Nilai konstanta
tersebut adalah nol, karena + υ mendekati nol ketika r
→
∞ , sehingga
v −
=
λ 2.21
Persamaan 2.18 menjadi 2
2
= ′
+ ′
+ ′′
r v
v v
yaitu,
= ″
v
re =
′
v
re
konstanta 2.22
Substitusi persamaan 2.21 ke persamaan 2.20 menghasilkan
1 =
′
v
re
sehingga
r e
e
v
α
λ
− =
= 1
2.23 dengan
α adalah tetapan integrasi. Pernyataan 2.23 adalah g
44
yang di identifikasi sebagai
, adalah potensial Newton untuk suatu pusat massa M,
2
2 1
c φ
+ r
MG =
φ .
Dengan demikian tetapan α pada persamaan 2.23 menjadi Lord, 1979
2.24
2
2 c
GM =
α yang dikenal sebagai jari-jari Schwarzschild. Substitusikan persamaan 2.24 dan
2.23 ke dalam persamaan 2.9 sehingga akan menghasilkan sin
2 1
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
ϕ θ
θ d
d r
r c
GM dr
dt c
r c
GM ds
+ −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ − =
2.25 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
sehingga metrik tensor Schwarzschild
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− =
θ
μυ
2 2
2 2
2
sin 2
1 1
2 1
r r
r c
GM r
c GM
g
2.26
Kalau α = r maka lintasan atau elemen garis dari partikel materi tersebut singular,
dan dapat dikatakan sebagai lubang hitam. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI