DASAR TEORI Persamaan schwarzschild dan implikasinya pada lintasan partikel.

Jika digunakan koordinat bola sferis r, θ,φ , maka panjang lintasan elemen garis antara dua titik diberikan oleh 2 2 2 2 2 2 2 sin φ θ θ d r d r dr ds + + = 2.3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 2 2 2 2 sin 1 φ θ θ d d dr r r sehingga diberikan ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = θ μυ 2 2 2 sin 1 r r g Dalam ruang dimensi 4 ruang Minkowski tanpa gravitasi, elemen garis ds didapat dari 2 2 2 2 2 2 dz dy dx dt c ds − − − = 2.4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 2 2 2 2 2 1 1 1 1 dz dy dx dt c sehingga menghasilkan metrik tensor 2.5 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 1 1 1 1 μυ g Kalau digunakan koordinat bola sferis, elemen garis atau lintasan menjadi : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin φ θ θ d r d r dr dt c ds − − − = 2.6 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 1 φ θ θ d d dr dt c r r yang menghasilkan 2.7 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = θ μυ 2 2 2 sin 1 1 r r g Jika ada medan gravitasi, maka elemen garis atau lintasan dalam ruang dapat dituliskan sebagai 2.8 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 φ θ θ d d r r C dr r B dt c r A ds + − − = dengan Ar, Br, dan Cr sebagai fungsi kuat medan gravitasi. Dengan menggunakan transformasi dapat diperoleh Ar = e 2 1 rC r = ′ υ dan Br = e sedemikian hingga Ar dan Br bernilai mendekati 1 jika ∞ → r . Dengan demikian persamaan 2.8 dapat dituliskan kembali menjadi 2.9 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 φ θ θ λ υ d d r dr e dt c e ds + − − = Sebagaimana disebutkan bahwa elemen garis atau lintasan dari persamaan 2.9 adalah ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin φ θ θ λ υ d d dr dt c r r e e ds sehingga metrik tensornya ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = θ λ υ μυ 2 2 2 sin r r e e g Nilai υ dan dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan geodesik Lord, 1979 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + σ ρ μ ρσ μ U U ds dU 2.10 dengan ds dx U μ μ = , dan adalah lambang Christoffel. Yang didefinisikan sebagai Joshi, 1980 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ρσ μ μ ρσ ρ σμ σ ρμ ρσ μ ∂ − ∂ + ∂ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ g g g 2 1 2.11 atau bisa juga ditulis μυ ρσ υ ρσ μ g Γ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ dengan ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = Γ λ ρσ ρ σλ α λρ ρα ρσ υ x g x g x g g 2 1 Untuk menghitung lambang Christoffel membutuhkan waktu yang sangat lama. Karena nilai dari lambang Christoffel kebanyakan adalah nol, suatu cara yang labih cepat untuk menghitungnya adalah dengan menggunakan persamaan geodesik. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Sehingga persamaan 2.10 sama dengan 2.12 [ ] ∫ ∫ − − − = = ds U r U r U e U e ds 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 4 sin θ δ δ λ ν dengan c = 1, dan persamaan 2.12 adalah integran lintasan yang diminimalkan. Persamaan 2.12 menghasilkan μ μ x F U F ds d ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ , 2.13 dengan F adalah integran pada persamaan 2.12, persamaan 2.13 identik dengan persamaan 2.10. sehingga dapat dihasilkan simbol Christoffel dari persamaan tersebut. Sebagai contoh, jika ditulis , maka 4 4 x ct = = μ 4 4 2 U e U F υ = ∂ ∂ 4 = ∂ ∂ x F maka persamaan 2.12 menjadi 2 4 = U e ds d υ 2.14 Dengan menggunakan relasi ds dr dr d ds d = , persamaan 2.14 menghasilkan 2 2 4 = = t c e ds d U e ds d υ υ = + υ υ e ds d t e t = ′ + υ υ υ e r t e t PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI = ′ + t r t υ 2.15 Dengan demikian lambang Christoffel dapat dihasilkan dari persamaan diatas. Lambang Christoffel yang tidak bernilai nol adalah υ′ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 2 1 14 4 υ′ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 2 1 14 1 λ υ υ − ′ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ e 2 1 44 1 λ′ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 2 1 11 1 r e λ − − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 22 1 λ θ − − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ e r 2 sin 33 1 r 1 21 2 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ θ θ sin cos 33 2 − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ θ cot 23 2 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ r 1 13 3 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI juga diperlukan relasi Lord, 1976 , log g − ∂ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ρ λρ λ dengan , sehingga θ λ ν 2 4 sin r e g + − = θ λ ν sin log log 2 2 log + + − = − r g 2.16 Tensor Ricci R υ pada persamaan 1.1 dapat juga dituliskan sebagai ρ ρ μ μ μ ρ ρ λ λμ ρ μ ρ . . log log g v v v g R v v − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − = 2.17 Agar penyelesaian persamaan medan gravitasi Einstein pada persamaan 1.1 linear, nilai R υ harus sama dengan nol. Dari persamaan 2.16 yang memberikan nilai nol adalah ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ + ′ ′ − ′ + ′ − = = r v v v v e R v 2 2 2 2 1 2 . 44 λ λ 2.18 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ − ′ ′ − ′ + ′′ = = r v v v R λ λ 2 2 2 2 1 2 11 2.19 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ + ′ + ′ − − = = − − 2 1 22 λ λ λ v r e r e R 2.20 dari , diperoleh 44 11 = = R R = ′ + ′ v λ , sehingga = + v λ konstan. Nilai konstanta tersebut adalah nol, karena + υ mendekati nol ketika r → ∞ , sehingga v − = λ 2.21 Persamaan 2.18 menjadi 2 2 = ′ + ′ + ′′ r v v v yaitu, = ″ v re = ′ v re konstanta 2.22 Substitusi persamaan 2.21 ke persamaan 2.20 menghasilkan 1 = ′ v re sehingga r e e v α λ − = = 1 2.23 dengan α adalah tetapan integrasi. Pernyataan 2.23 adalah g 44 yang di identifikasi sebagai , adalah potensial Newton untuk suatu pusat massa M, 2 2 1 c φ + r MG = φ . Dengan demikian tetapan α pada persamaan 2.23 menjadi Lord, 1979 2.24 2 2 c GM = α yang dikenal sebagai jari-jari Schwarzschild. Substitusikan persamaan 2.24 dan 2.23 ke dalam persamaan 2.9 sehingga akan menghasilkan sin 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ϕ θ θ d d r r c GM dr dt c r c GM ds + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2.25 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI sehingga metrik tensor Schwarzschild ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − = θ μυ 2 2 2 2 2 sin 2 1 1 2 1 r r r c GM r c GM g 2.26 Kalau α = r maka lintasan atau elemen garis dari partikel materi tersebut singular, dan dapat dikatakan sebagai lubang hitam. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB III METODE PENELITIAN

3.1. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah penelitian studi pustaka.

3.2. Sarana Penelitian

Sarana yang dibutuhkan dalam peyelesaian skripsi ini adalah buku-buku yang berhubungan dengan topik lubang hitam, tensor dan teori relativitas umum. 3.3. Langkah – langkah penelitian Langkah – langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Menelusuri bahan-bahan mengenai lubang hitam, metrik, tensor dan relativitas umum dari buku-buku maupun dari internet. 2. Merumuskan atau mengolaborasi kerangka pemikiran teori dan konsep atau teori yang terkait dengan lubang hitam, metrik, tensor dan relativitas umum dari bahan-bahan yang dikumpulkan. 3. Merumuskan perubahan fisis dan geometri yang terjadi pada suatu lintasan partikel pada lubang hitam, dan menentukan titik fokus suatu lubang hitam sebagai fungsi α secara numerik atau matematik. 4. Menarik kesimpulan dan memberikan saran dari penelitian yang telah dilakukan. 16 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Orbit Planet

Gerak suatu planet yang mengorbit pada matahari yang memiliki massa yang sangat berat dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan Schwarzschild, pada persamaan 2.25. Jika diambil 2 π θ = , maka persamaan 2.9 menjadi 4.1 2 2 2 2 2 2 φ υ υ d r dr e dt c e ds − − = − kalau persaman 4.1 dibagi ds 2 dihasilkan 4.2 2 2 2 2 2 1 φ υ υ r r e t c e − − = − Dari persamaan 2.15 dapat diperoleh = t e ds d υ 4.3 sehingga konstanta 4.4 k t e = υ substitusi persamaan 4.4 ke dalam persamaan 4.2 menghasilkan 2 2 2 2 2 1 φ α α φ r k r r r + − = − + 4.5 Persamaan gerak orbit Newton hanya pada suku terakhir persamaan 4.5. Jika persamaan 4.5 dikalikan dengan 2 4 2 h r d ds = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ 17 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI