Pemodelan jaringan dan analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan menggunakan aljabar max-plus.

(1)

vii ABSTRAK

Scolastika Lintang Rengganis Radityani, 2016. Pemodelan Jaringan dan Analisa Penjadwalan Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan Menggunakan Aljabar Max-Plus. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Saat ini, penjadwalan kereta api komuter di Daerah Operasi VI (DAOP VI) Yogyakarta dibuat berdasarkan kebutuhan penumpang (konsumen), sehingga belum terjadi proses sinkronisasi. Proses sinkronisasi dalam jaringan transportasi penting untuk dilakukan guna menjamin tersedianya sarana transportasi, dalam hal ini kereta api komuter, pada saat penumpang dari suatu kereta api dengan rute tertentu ingin berpindah ke kereta api lainnya dengan rute yang berbeda. Oleh karena itu, pada penelitian ini dibuat suatu desain penjadwalan untuk keberangkatan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan memperhatikan proses sinkronisasi. Salah satu cara untuk memudahkan penyusunan jadwal berdasarkan aturan sinkronisasi adalah menggunakan aljabar max-plus.

Penelitian ini bertujuan untuk menyusun suatu model jaringan dan menganalisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus. Metode penelitian yang digunakan adalah metode studi pustaka yang didukung dengan data lapangan dan proses komputasi dengan program MATLAB. Hasil penelitian menunjukkan bahwa matriks dari model jaringan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dinyatakan sebagai matriks yang tidak irreducible (tereduksi). Hal ini diduga karena tidak semua lintasan terdapat kereta api komuter yang siap melayani sehingga lintasan tersebut seperti dianggap tidak ada. Berdasarkan hasil perhitungan dengan program MATLAB, didapatkan nilai eigen maksimum yaitu � � = dan vektor eigen yang berupa bilangan real, sehingga dapat dibuat penjadwalan kereta api komuter yang tersinkronisasi. Nilai eigen tersebut menyatakan periode keberangkatan kereta api komuter dari masing-masing stasiun, yaitu setiap 786 menit sekali atau setiap 13 jam 6 menit sekali. Sedangkan waktu keberangkatan awal kereta api komuter di setiap stasiun diperoleh dari vektor eigen.

(2)

viii ABSTRACT

Scolastika Lintang Rengganis Radityani, 2016. Network Modelling and Analyze Scheduling of Commuter Train in DAOP VI Yogyakarta using Max-Plus Algebra. Thesis. Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

Scheduling of commuter train in the Daerah Operasi VI (DAOP VI) Yogyakarta currently made based on the needs of passengers (consumers), so the synchronization process has not happened yet. The synchronization process in the transportation network is important to be done to ensure the availability of transportation means, in this case is commuter train, when the passengers of a train with a particular route want to move to other train with different route. Therefore, this research is made a scheduling design for commuter train departure in DAOP VI Yogyakarta by considering the synchronization process. One way to make it easier is to use max-plus algebra.

This research aims to made a network modelling and analyze the scheduling of commuter train in DAOP VI Yogyakarta using max-plus algebra. The research method used is literature method which is supported by field data and computation process with MATLAB program.

The result showed that the matrix of the network model of commuter train in DAOP VI Yogyakarta isn’t irreducible (reduced). It is suspected because not all of the line has commuter train that is ready to serve so that the line is like considered doesn’t exist. Based on the calculation result with MATLAB program obtained that the eigenvalues maximum is � � = and eigenvectors is form of real numbers, so it can be made for synchronize scheduling of commuter train. The eigenvalues stated the period of commuter train departures from each station every 786 minutes or every 13 hour 6 minutes. Then, the first departures of commuter train in each station is obtained from eigenvectors.

(3)

PEMODELAN JARINGAN DAN ANALISA PENJADWALAN KERETA API KOMUTER DI DAOP VI YOGYAKARTA DENGAN

MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

SCOLASTIKA LINTANG RENGGANIS RADITYANI NIM : 121414047

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSTAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA 2016

(4)

PEMODELAN JARINGAN DAN ANALISA PENJADWALAN KERETA API KOMUTER DI DAOP VI YOGYAKARTA DENGAN

MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

SCOLASTIKA LINTANG RENGGANIS RADITYANI NIM : 121414047

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSTAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA 2016

(5)

(6)

(7)

HALAMAN PERSEMBAHAN

Iman tanpa perbuatan pada hakekatnya adalah mati. (Yakobus 2:14-26)

Be thankful for what you have, you’ll having more. If you concentrate on what you don’t have, you will never, ever have enough.

(Oprah Winfrey)

Karya ini kupersembahkan kepada: Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa memberkatiku Papa Donatus dan Mama Paula Mbak Raras, Adik Bela, dan Adik Theo Mami Tun, Mbak Galuh, dan Om Tarigan Laurensius Andi Saputra Teman-temanku tercinta Almamaterku Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta

(8)

(9)

(10)

vii ABSTRAK

(11)

viii ABSTRACT

(12)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena berkat penyertaan-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Pemodelan Jaringan dan Analisa Penjadwalan Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan Menggunakan Aljabar Max-Plus”. Skripsi ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa tanpa dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, penelitian dan penyusunan skripsi ini tidak dapat berjalan dengan baik dan lancar. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sanata Dharma.

2. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma sekaligus dosen pembimbing skripsi yang telah membimbing, memberikan dukungan, kritikan, dan masukan yang membangun selama penyusunan skripsi ini. 3. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si., selaku Ketua Program Studi Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma.

4. Ibu Dra. Haniek Sri Pratini, M.Pd. dan Bapak Antonius Yudhi Anggoro, M.Si., selaku dosen penguji skripsi yang telah memberikan kritik dan saran untuk perbaikan skripsi ini.

5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang telah membimbing dan mendidik penulis selama menuntut ilmu di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.

6. Segenap karyawan PT KAI DAOP VI Yogyakarta, yang telah membantu penulis dalam proses perizinan dan pengumpulan data-data yang diperlukan untuk penelitian dan penyusunan skripsi ini.

(13)

7. Bapak Allexander Gumawang, S.Pd., M.Si., yang telah bersedia meluangkan waktunya untuk membimbing penulis selama penyusunan skripsi ini.

8. Orangtua penulis, Bapak Donatus Purwanto Mekomana dan Ibu Paula Elisabeth Sri Kunthi Himawan Purbabatari yang selalu mendoakan, menyemangati, dan memberikan dukungan secara moril maupun materi. 9. Kakak dan adik-adikku terkasih, serta Mami Tun, Mbak Galuh, dan Om

Tarigan, yang juga selalu mendoakan, memberikan semangat dan dukungan untuk menyelesaikan skripsi ini.

10. Laurensius Andi Saputra, yang selalu memberikan semangat, bantuan, dan meluangkan waktunya untuk menemani penulis saat mengumpulkan data penelitian dan selama proses penyusunan skripsi ini.

11. Sahabat-sahabatku, Arinta Yudhi Laksito, Valentina Rina, Stania Mirandai Putri, Cindy, Natalia Ika Eristaria, dan Yohana Kristin Anggraeni yang telah menemani penulis berbagi suka dan duka selama menempuh kuliah di Universitas Sanata Dharma dan selama proses penyusunan skripsi ini.

12. Teman-teman Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma angkatan 2012 yang telah bersama-sama berbagi pengalaman dan membantu penulis selama menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma. 13. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah membantu

penulis secara langsung maupun tidak langsung dalam menyelesaikan penyusunan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan yang perlu ditingkatkan oleh penulis dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun bagi sempurnanya tulisan ini. Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi para pembaca dan pihak-pihak yang terkait.

(14)

xi DAFTAR ISI JUDUL

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIIAH ... vi

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... viii

KATA PENGANTAR ... ix

DAFTAR ISI ... xi

DAFTAR TABEL ... xiii

DAFTAR GAMBAR ... xiv

DAFTAR NOTASI ... xv

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Tinjauan Pustaka ... 4

C. Rumusan Masalah ... 8

D. Batasan Masalah... 9

E. Asumsi ... 9

F. Tujuan Penelitian ... 9

G. Penjelasan Istilah ... 9

H. Manfaat Penelitian ... 10

I. Metode Penelitian... 11

J. Sistematika Penulisan ... 12

BAB II LANDASAN TEORI ... 15

A. Definisi dan Sifat dasar Aljabar Max-Plus... 16

B. Matriks dan Vektor di ℝmax ... 21

(15)

xii

2. Vektor di ℝ_max ... 32

C. Matriks dan Graf di ℝ_max ... 34

D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks di ℝmax ... 49

BAB III PEMODELAN JARINGAN KERETA API ... 57

A. Sistem Transportasi Kereta Api di DAOP VI Yogyakarta ... 57

B. Rute Pilihan ... 60

C. Graf Rute Pilihan... 62

D. Sinkronisasi ... 70

E. Model Aljabar Max-Plus ... 81

BAB VI ANALISIS PENJADWALAN KERETA API ... 100

A. Menghitung Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 100

B. Desain Penjadwalan ... 102

C. Pembahasan ... 126

BAB V PENUTUP ... 129

A. Kesimpulan ... 129

B. Saran ... 129

DAFTAR PUSTAKA ... 131 LAMPIRAN

(16)

xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Contoh Pengoperasian dalam ℝmax ... 20 Tabel 3.C.1 Waktu Tempuh Kereta Api Komuter ... 67 Tabel 3.E.1 Definisi Variabel Kereta Api Komuter ... 81 Tabel 4.B.1 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 1: Kutoarjo – Solo

Balapan PP ... 103 Tabel 4.B.2 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 2: Yogyakarta –

Solo Balapan PP ... 107 Tabel 4.B.3 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 3: Madiun -

Yogyakarta PP ... 109 Tabel 4.B.4 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 4: Solo Balapan -

Purwokerto PP ... 113 Tabel 4.B.5 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 5: Purwosari –

Semarang Poncol PP ... 118 Tabel 4.B.6 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 6: Purwosari

-Wonogiri PP ... 120 Tabel 4.B.7 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 1: Kutoarjo – Solo

Balapan PP ... 121 Tabel 4.B.8 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 2: Yogyakarta – Solo

Balapan PP ... 122 Tabel 4.B.9 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 3: Madiun – Yogyakarta

PP ... 122 Tabel 4.B.10 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 4: Solo Balapan -

Purwokerto PP ... 123 Tabel 4.B.11 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 5: Purwosari –

Semarang Poncol PP ... 123 Tabel 4.B.12 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 6: Purwosari – Wonogiri PP ... 124

(17)

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.C.1 Graf Secara Umum ... 34

Gambar 2.C.2 Graf Berarah ... 35

Gambar 2.C.3 Graf Berbobot ... 37

Gambar 2.C.4 Graf Berarah Berbobot ... 38

Gambar 2.C.5 Graf Berarah G₅ ... 40

Gambar 2.C.6 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.6 ... 42

Gambar 2.C.7 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.6 ... 43

Gambar 2.C.8 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.9 ... 47

Gambar 2.C.9 Graf Kritis Contoh 2.C.9 ... 47

Gambar 3.A.1 Denah Lintas DAOP VI Yogyakarta ... 60

Gambar 3.C.1 Rute 1 ... 62

Gambar 3.C.2 Rute 2 ... 63

Gambar 3.C.3 Rute 3 ... 63

Gambar 3.C.4 Rute 4 ... 64

Gambar 3.C.5 Rute 5 ... 64

Gambar 3.C.6 Rute 6 ... 65

Gambar 3.C.7 Graf Rute Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta... 66

Gambar 3.C.8 Graf Rute Sistem Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta Pada Waktu Acuan ... 69

(18)

DAFTAR NOTASI

ℝ : himpunan bilangan real.

� : himpunan bilangan asli. : operasi biner maksimum. : operasi biner penjumlahan.

�, +, × : himpunan tak kosong � yang dilengkapi dengan dua operasi biner

+ dan ×

∀ : semua anggota himpunan.

∃ : beberapa (ada) anggota himpunan.

∈ : elemen himpunan.

ℝ� : ℝ ∪ {�}.

� : elemen identitas untuk operasi � = −∞ .

� : elemen identitas untuk operasi � = .

ℝ � : ℝ�, , .

ℝ �× : himpunan matriks berukuran × dalam aljabar max-plus.

ℝ � : himpunan vektor berukuran × dalam aljabar max-plus.

� : matriks �

� : elemen matriks � pada baris ke− dan kolom ke− .

�� _{: matriks}_�_transpose.

� � :graf berarah dari matriks �.

� : himpunan vertices dari graf berarah.

� : himpunan edges dari graf berarah.

|�| : panjang suatu lintasan �.

|�| : bobot suatu lintasan �.

� : nilai eigen mariks �.

� : vektor eigen matriks �.

� − : vektor waktu keberangkatan yang ke− − dari semua kereta api komuter.

(19)

1 BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Sarana transportasi merupakan sesuatu yang berperan penting dalam membantu perpindahan manusia maupun perpindahan barang dari satu tempat ke tempat lainnya. Selain itu, sarana tranportasi berperan untuk meningkatkan keterjangkauan suatu wilayah, yaitu membantu daerah-daerah terpencil menjadi lebih maju dan berkembang. Sarana transportasi di Indonesia terdiri dari tiga jenis, yaitu sarana transportasi darat, laut, dan udara. Sarana transportasi yang digunakan pada suatu daerah, dipilih berdasarkan kondisi geografis masing-masing daerah. Oleh karena itu di daerah Sumatera dan Jawa, masyarakatnya lebih dominan menggunakan sarana transportasi darat, sedangkan di daerah lain yang kondisi geografisnya tidak memungkinkan dilalui oleh sarana transportasi darat, masyarakatnya lebih dominan menggunakan sarana transportasi laut dan udara.

Sarana transportasi darat yang digunakan di Yogyakarta memiliki banyak jenis, salah satunya adalah kereta api komuter. Kereta api komuter adalah sebuah sarana transportasi kereta api penumpang yang menghubungkan antara pusat kota atau daerah perkotaan dan pinggiran kota dimana setiap harinya menarik sejumlah besar orang untuk melakukan perjalanan. Kereta api komuter disebut juga sebagai kereta api lokal. Kereta api komuter yang dioperasikan oleh Daerah Operasi VI (DAOP VI) Yogyakarta, antara lain

(20)

kereta api Prambanan Ekspres dengan rute Kutoarjo – Solo Balapan PP dan Yogyakarta – Solo Balapan PP, kereta api Sidomukti dengan rute Yogyakarta – Solo Balapan PP, kereta api Kalijaga dengan rute Purwosari – Semarang Poncol PP, kereta api Madiun Jaya dengan rute Madiun – Yogyakarta PP, kereta api Joglo Kerto dengan rute Solo Balapan – Purwokerto PP, dan kereta api Bathara Kresna dengan rute Purwosari – Wonogiri PP.

Setiap harinya, banyak penumpang yang menggunakan transportasi kereta api komuter ini untuk melakukan perjalanan, terutama pada rute Yogyakarta – Solo Balapan PP. Penumpang tersebut terdiri dari para pelaju yang berprofesi sebagai dosen, dokter, pegawai pemerintah atau pegawai swasta, mahasiswa atau pelajar, para pedagang, dan para wisatawan baik wisatawan dalam negeri maupun wisatawan asing (http://id.m.wikipedia.org/ wiki/Kereta_api_Prambanan_Ekspres). Dengan adanya perbedaan kepadatan atau intensitas yang terjadi pada rute Yogyakarta – Solo PP dibandingkan dengan rute lainnya, mengakibatkan operator DAOP VI Yogyakarta meningkatkan jumlah perjalanan untuk rute ini menjadi 10 kali perjalanan PP setiap harinya menggunakan kereta api Prambanan Ekspres. Selain itu, untuk rute Yogyakarta – Solo Balapan PP juga dibantu oleh kereta komuter lainnya yang dioperasikan oleh DAOP VI Yogyakarta, yaitu kereta api Sidomukti (beroperasi pada hari Minggu dan hari libur), kereta api Madiun Jaya, dan kereta api Joglo Kerto.

Berdasarkan paparan di atas, terlihat bahwa pembuatan jadwal keberangkatan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta bergantung pada

(21)

kebutuhan penumpang (konsumen), sehingga belum terjadi proses sinkronisasi. Proses sinkronisasi dalam jaringan transportasi penting untuk dilakukan guna menjamin tersedianya sarana transportasi pada saat penumpang ingin berpindah rute. Menurut Subiono (2015: 1), sinkronisasi memerlukan ketersediaan beberapa sumber pada saat yang bersamaan, dalam hal ini memerlukan ketersediaan kereta api untuk menjamin terjadinya perpindahan penumpang dari suatu kereta api dengan rute tertentu ke kereta api lainnya dengan rute yang berbeda.

Melihat pentingnya sinkronisasi dalam jaringan transportasi, maka pada penelitian ini dibuat suatu desain penjadwalan untuk keberangkatan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan memperhatikan proses sinkronisasi. Salah satu cara untuk memudahkan penyusunan jadwal berdasarkan aturan sinkronisasi adalah menggunakan aljabar max-plus. Langkah awal dalam melakukan penelitian ini adalah mengumpulkan data yang diperlukan seperti rute, jadwal keberangkatan, dan waktu tempuh antar stasiun yang dilewati oleh kereta api komuter tersebut. Selanjutnya, dibuat aturan sinkronisasi yang menjamin terjadinya perpindahan penumpang dari suatu kereta api dengan rute tertentu ke kereta api lainnya dengan rute yang berbeda. Kemudian, dibentuk suatu model matematika berdasarkan aturan sinkronisasi tersebut. Dengan model ini, sistem dianalisis untuk membuat suatu desain penjadwalan yang memperhatikan sinkronisasi dan menentukan kesesuaiannya dengan kondisi real.

(22)

Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk membuat pemodelan jaringan dan analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan menggunakan aljabar max-plus.

B. Tinjauan Pustaka

Penelitian yang pernah dilakukan berhubungan dengan aplikasi aljabar max-plus pada sistem jaringan kereta api, antara lain:

1. Penelitian yang dilakukan oleh Geert Jan Olsder, Subiono, dan Michael Mc Gettrick (2000) dengan judul “On Large Scale Max-Plus Algebra Models in Railway System”. Penelitian ini membentuk sebuah model dari seluruh sistem kereta api di Belanda menggunakan aljabar max-plus. Pemodelan dilakukan dengan mempertimbangkan gabungan dari tiga jenis kereta api yang berbeda dari sistem kereta api ini, yaitu kereta antar kota (intercity train), kereta semi-cepat (sneltrein), dan kereta lambat (stoptrein). Dalam penelitian ini terdapat 61 lintasan, dimana 11 lintasan merupakan lintasan kereta antar kota (diberi nomor 1 – 11) dan sisanya yaitu 50 lintasan merupakan lintasan kereta semi-cepat dan kereta lambat. Penelitian ini menggunakan waktu acuan 11:40. Pada waktu acuan ini terdapat minimal satu kereta dan maksimal dua kereta pada 61 lintasan tersebut. Berdasarkan hasil pemodelan, didapatkan matriks � yang berukuran × . Setelah dilakukan proses reduksi didapatkan matriks � yang berukuran × , dimana matriks � tersebut dideskripsikan sebagai �_� . Berdasarkan hasil perhitungan

(23)

menggunakan algoritma power, didapatkan nilai eigen yaitu �_�_� = , menit. Kemudian, dari hasil penelitian juga diketahui bahwa terdapat 5 sirkuit kritis dalam sistem kereta api di Belanda yang nilai sirkuit kritis tersebut sama dengan , menit. Sirkuit kritis ini adalah ukuran untuk kinerja keseluruhan sistem. Peneliti mendeskripsikan struktur dari matriks �_� sebagai �_� =(� �

� � ), dimana matriks � dan � masing-masing mereprentasikan sub sistem dari kereta antar kota dan kereta semi-cepat serta kereta lambat. Matriks � merepresentasikan sub sistem dari kereta antar kota yang mempunyai ukuran matriks × . Sedangkan, untuk matriks � merepresentasikan sub sistem kereta semi-cepat dan kereta lambat yang mempunyai ukuran matriks × . Peneliti tidak membagi total sistem menjadi tiga sub sistem untuk kereta antar kota, kereta semi-cepat, dan kereta lambat karena beberapa kereta semi-cepat yang berangkat dari suatu stasiun ke stasiun yang lain berganti menjadi kereta lambat, begitu sebaliknya. Nilai eigen pada setiap sub matriks digunakan untuk memberikan informasi tentang seberapa cepat jaringan dapat beroperasi jika hanya dilakukan sinkronisasi untuk masing-masing kereta pada sub sistem.

2. Penelitian yang dilakukan oleh Ahmad Afif (2015), dengan judul tesis “Aplikasi Petri Net dan Aljabar Max-Plus pada Sistem Jaringan Kereta

Api di Jawa Timur”. Penelitian ini dilakukan untuk membuat

penjadwalan kereta api yang tepat demi mengurangi kelemahan kereta api dalam melayani ketepatan waktu kedatangan dan keberangkatan.

(24)

Pada penelitian dibuat model dan analisa jaringan kereta api di Jawa Timur menggunakan petri net dan aljabar max-plus. Pada penelitian, penentuan waktu tempuh antar stasiun didasarkan pada waktu tempuh semua kereta api yang beroperasi setiap hari dalam bentuk interval waktu, dimana penentuan batas bawah adalah waktu tempuh tercepat sedangkan batas atas adalah waktu tempuh rata-rata pada setiap lintasan. Dalam penelitian ini, jumlah kereta api yang beroperasi pada setiap lintasan ditentukan dengan menggunakan dua waktu acuan, yaitu pukul 5:00 – 8:00 WIB dan pukul 10:00 – 13:00 WIB. Waktu acuan pukul 5:00 – 8:00 WIB digunakan untuk menentukan jumlah kereta api yang beroperasi di setiap jalur menuju Surabaya dengan jadwal keberangkatan kereta api pukul 3:00 – 9:00 WIB dan waktu acuan pukul 10:00 – 13:00 WIB digunakan untuk menentukan jumlah kereta api yang beroperasi di setiap jalur meninggalkan Surabaya dengan jadwal keberangkatan kereta api pukul 9:00 – 15:00 WIB. Pada waktu acuan ini terdapat minimal satu kereta api dan maksimal empat kereta api pada setiap lintasan. Oleh karena itu, diperoleh 4 buah matriks �_�, dengan � = { , , , } dan masing-masing matriks berukuran × . Matriks �_� adalah matriks yang berkaitan dengan � � + − � . Kemudian, diperoleh matriks �̃

yang berukuran × , yaitu �̃ =

[

� � � �

� �� ℇ ℇ ℇ

ℇ � �� ℇ ℇ

ℇ ℇ � �� ℇ]

, dimana

matriks � bersesuaian dengan keberangkatan kereta api ke-k, matriks � bersesuaian dengan keberangkatan kereta api ke- � − , matriks �

(25)

bersesuaian dengan keberangkatan kereta api ke- � − , matriks � bersesuaian dengan keberangkatan kereta api ke- � − , dan � _�� adalah matriks identitas berukuran × dengan elemen diagonalnya sama dengan = dan elemen lainnya sama dengan � = −∞. Sedangkan ℇ adalah matriks berukuran × yang semua elemennya sama dengan �. Penelitian ini memperoleh model dan desain jadwal keberangkatan kereta api di Jawa Timur yang stabil dan realistik (dilakukan uji coverability tree, uji kerealistikan, dan uji kestabilan model sistem jaringan kereta api di Jawa Timur) dengan periode keberangkatan setiap � menit, yaitu , ≤ � ≤ , . Dalam penelitian ini nilai eigen dan vektor eigen dihitung menggunakan algoritma power.

Berdasarkan paparan di atas, terlihat bahwa kedua penelitian tersebut memiliki persamaan yaitu terdapat minimal satu kereta api pada setiap lintasan dan tidak terdapat perbedaan intensitas pada suatu lintasan tertentu. Hal ini yang nantinya menjadi perbedaan dengan penelitian yang akan penulis lakukan.

Dalam penelitian, penulis mencoba untuk memodelkan jaringan dan membuat analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus. Penelitian ini nantinya memiliki perbedaan kepadatan atau intensitas pada suatu lintasan tertentu, yaitu pada rute Yogyakarta – Solo Balapan PP. Hal ini terlihat dari penjadwalan yang telah dibuat oleh DAOP VI Yogyakarta, bahwa rute tersebut dilalui oleh beberapa

(26)

kereta api komuter, yaitu kereta api Prambanan Ekspres dengan rute Kutoarjo – Solo Balapan PP dan Yogyakarta – Solo Balapan PP, kereta api Madiun Jaya dengan rute Madiun – Yogyakarta PP, dan kereta api Joglo Kerto dengan rute Solo Balapan – Purwokerto PP. Selain itu, berdasarkan jadwal yang telah ada, terlihat pula bahwa penggunaan waktu acuan pukul berapa saja, masih menyebabkan perbedaan kerapatan di setiap lintasan. Perbedaan kerapatan yang dimaksud adalah tidak semua lintasan yang dimodelkan dilewati oleh kereta api komuter. Adanya perbedaan intensitas suatu lintasan tertentu dan perbedaan kerapatan inilah yang membedakan penelitian ini dari penelitian – penelitian sejenis sebelumnya. Oleh karena itu, penelitian ini perlu dilakukan untuk memberikan alternatif pemodelan apabila pada penelitian selanjutnya ditemukan masalah yang serupa.

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas, maka penulis dapat merumuskan masalah dalam penelitian ini sebagai berikut:

1. Bagaimana pemodelan jaringan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus?

2. Bagaimana analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus?

(27)

D. Batasan Masalah

Masalah yang dibahas dalam penelitian ini dibatasi pada pemodelan jaringan dan analisa mengenai penjadwalan kereta api komuter yang beroperasi pada hari efektif di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus.

E. Asumsi

Dalam penelitian ini diberikan asumsi sebagai berikut. 1. Kecepatan kereta api komuter dianggap tetap.

2. Distribusi jumlah kereta api pada setiap lintasan dianggap tetap.

3. Jenis kereta api komuter yang digunakan dalam model tidak dibedakan.

F. Tujuan Penelitian

Adapun tujuan yang diharapkan dapat tercapai dari penelitian ini, yaitu: 1. Menyusun model jaringan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta

menggunakan aljabar max-plus.

2. Menganalisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus.

G. Penjelasan Istilah 1. Pemodelan Jaringan

Pemodelan jaringan adalah suatu usaha merumuskan persoalan-persoalan nyata, dalam hal ini adalah suatu jaringan kereta api komuter,

(28)

ke dalam persoalan matematika untuk mendapatkan penyelesaian atau solusi dari persoalan tersebut.

2. Aljabar Max-Plus

Aljabar max-plus didefinisikan sebagai himpunan semua bilangan real ℝ ∪ {−∞}, dilengkapi dengan operasi maksimum (disingkat max) yang dinotasikan dengan ⊕ (dibaca o-plus) dan operasi penjumlahan (atau plus) yang dinotasikan dengan ⊗ (dibaca o-times), serta membentuk semilapangan idempoten.

H. Manfaat Penelitian

Manfaat yang diperoleh melalui hasil penelitian ini, antara lain:

a. Memberikan sumbangan pada dunia matematika dalam pemodelan jaringan transportasi kereta api dan analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan menggunakan aljabar max-plus.

b. Memberikan alternatif pemodelan jaringan transportasi kereta api yang memiliki perbedaan intensitas dan kerapatan pada setiap lintasan dengan menggunakan aljabar max-plus.

c. Memberikan rekomendasi penjadwalan bagi PT Kereta Api Indonesia (PT KAI) yang memperhatikan sinkronisasi.

(29)

I. Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan adalah metode studi pustaka yang didukung dengan data lapangan dan komputasi dengan program MATLAB. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini, yaitu:

1. Mengumpulkan dan membaca buku-buku, artikel-artikel, dan tesis-tesis untuk menjelaskan landasan teori pada Bab II, menyusun model jaringan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta pada Bab III, dan menganalisa penjadwalan yang dimodelkan dengan aljabar max-plus, dengan kondisi real jadwal keberangkatan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta pada bab IV.

2. Mengumpulkan data tentang kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan instrumen penelitian berupa dokumen, yang meliputi denah lintas DAOP VI Yogyakarta, jadwal keberangkatan, dan rute yang dilewati oleh kereta api komuter. Instrumen penelitian tersebut dapat dijamin kevalidannya karena dikeluarkan langsung oleh PT KAI DAOP VI Yogyakarta.

3. Menentukan suatu rute pilihan dan membuat graf dari rute pilihan tersebut.

4. Menyusun aturan sinkronisasi untuk graf rute pilihan.

5. Membuat model matematika berdasarkan aturan sinkronisasi yang dibuat.

6. Menentukan matriks � berdasarkan model matematika yang diperoleh. 7. Menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks �.

(30)

8. Membuat suatu desain penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta yang telah tersinkronisasi.

9. Menganalisa kesesuaian antara jadwal keberangkatan yang diperoleh dengan kondisi real.

10. Membandingkan hasil penelitian yang telah dilakukan dengan hasil penelitian sejenis yang sudah ada.

J. Sistematika Penulisan

Secara garis besar, skripsi ini dibagi menjadi lima pokok bahasan, yaitu: 1. Bab I Pendahuluan

Bab ini menjelaskan tentang latar belakang masalah, tinjauan pustaka, rumusan masalah, batasan masalah, asumsi penelitian, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan.

2. Bab II Landasan Teori

Bab ini menjelaskan tentang konsep dasar aljabar max-plus yang meliputi definisi aljabar plus, operasi dan sifat operasi aljabar plus, matriks dan vektor dalam aljabar plus, graf dalam aljabar max-plus, dan konsep nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. Selain itu, dijelaskan pula mengenai eksistensi dan ketunggalan nilai eigen pada aljabar max-plus.

(31)

3. Bab III Pemodelan Jaringan Kereta Api

Bab ini menjelaskan tentang aplikasi aljabar max-plus pada penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta. Penjelasan diawali dengan memberikan gambaran mengenai sistem transportasi kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta secara umum. Kemudian, dibuat pemodelan jaringan penjadwalan kereta api komuter tersebut menggunakan aljabar max-plus. Pemodelan yang dimaksud meliputi penentuan rute pilihan, pembuatan graf rute pilihan, penyusunan sinkronisasi graf rute pilihan, penyusunan model matematika berdasarkan aturan sinkronisasi yang dibuat, dan penentuan matriks � berdasarkan model matematika yang diperoleh.

4. Bab IV Analisa Penjadwalan Kereta Api

Bab ini menganalisa matriks � yang telah dibuat pada bab III. Analisa ini dilakukan dengan cara mengitung nilai eigen dan vektor eigen dari matriks �. Kemudian, berdasarkan nilai eigen dan vektor eigen tersebut dibuat suatu desain penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta yang telah tersinkronisasi. Desain penjawalan yang diperoleh, dianalisa kesesuaiannya dengan kondisi real. Setelah itu, dibuat suatu pembahasan untuk membandingkan hasil penelitian yang diperoleh dengan penelitian sejenis lainnya yang dipaparkan dalam tinjauan pustaka di bab I.

(32)

5. Bab V Penutup

Bab ini merupakan bab terakhir dalam skripsi ini. Bab ini menjelaskan tentang kesimpulan dari pembahasan pada Bab III dan Bab IV, serta saran-saran yang dapat digunakan untuk penelitian selanjutnya.

(33)

15 BAB II

LANDASAN TEORI

Bab ini menjelaskan tentang konsep dasar aljabar max-plus yang diperlukan sebagai landasan teori untuk pemodelan jaringan dan analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta.

Sebelum menjelaskan konsep dasar aljabar max-plus, dijelaskan dahulu mengenai pemodelan jaringan. Menurut Iswanto (2012: 16), secara umum pemodelan matematika merupakan usaha perancangan rumusan matematika yang secara potensial menggambarkan bagaimana mendapatkan penyelesaian masalah matematika yang digeneralisasikan untuk diterapkan pada perilaku atau kejadian alam. Menurut Anggoro (2015), pemodelan matematika adalah usaha merepresentasikan persoalan-persoalan nyata dalam persoalan matematika untuk mendapatkan solusi dari permasalahan tersebut. Berdasarkan dua definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa pemodelan dalam bidang matematika adalah suatu usaha merumuskan persoalan-persoalan nyata (perilaku atau kejadian alam) dalam persoalan matematika untuk mendapatkan penyelesaian atau solusi dari persoalan tersebut. Sedangkan, jaringan adalah serangkaian komponen atau simpul-simpul yang terhubung secara fungsional untuk mencapai suatu tujuan tertentu (http://kbbi.web.id/jaring), sehingga dapat didefinisikan jaringan kereta api komuter adalah serangkaian komponen atau simpul-simpul, dalam hal ini berupa stasiun, yang dihubungkan dengan kereta api komuter yang berjalan di atas rel untuk memudahkan perpindahan manusia atau barang dari satu tempat ke tempat

(34)

lainnya. Berdasarkan uraian di atas, dapat ditarik kesimpulan bahwa pemodelan jaringan adalah suatu usaha merumuskan persoalan-persoalan nyata, dalam hal ini adalah suatu jaringan kereta api komuter, ke dalam persoalan matematika untuk mendapatkan penyelesaian atau solusi dari persoalan tersebut.

Selanjutnya, dijelaskan mengenai konsep dasar aljabar max-plus yang meliputi definisi aljabar max-plus, operasi dan sifat operasi aljabar max-plus, matriks dan vektor dalam aljabar max-plus, graf dalam aljabar max-plus, serta nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. Secara umum konsep dasar aljabar max-plus ini dirangkum dari buku yang ditulis oleh Rudhito (2016) dan Subiono (2015).

A. Definisi dan Sifat Dasar Aljabar Max-Plus

Secara singkat, aljabar max-plus dapat didefinisikan sebagai himpunan semua bilangan real ℝ ∪ {−∞}, dilengkapi dengan operasi maksimum (disingkat max) yang dinotasikan dengan ⊕ (dibaca o-plus) dan operasi penjumlahan (atau plus) yang dinotasikan dengan ⊗ (dibaca o-times), serta membentuk semilapangan idempoten.

Berikut akan dijelaskan lebih lanjut mengenai definisi dan sifat-sifat dasar aljabar max-plus. Pembahasan diawali dengan meninjau suatu struktur aljabar yang lebih umum.

Definisi 2.A.1 Suatu semiring �, +, × adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan dua operasi biner + dan ×, dan memenuhi aksioma berikut:

(35)

1. �, + adalah semigrup komutatif dengan elemen netral 0, yaitu ∀ , ,

� memenuhi

+ = + (Sifat komutatif)

+ + = + + (Sifat asosiatif)

+ = + = (Memiliki elemen netral 0)

2. �, × adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu ∀ , , � memenuhi

× × = × × (Sifat asosiatif)

× = × = (Memiliki elemen satuan 1)

3. Elemen netral 0 merupakan elemen penyerap terhadap operasi ×, yaitu

∀ � memenuhi

× = × =

4. Operasi × distributif terhadap +, yaitu ∀ , , � berlaku

+ × = × + × (distributif kanan)

× + = × + × (distributif kiri)

Contoh 2.A.1

Diberikan ℝ_� ≔ ℝ ∪ {ε} dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real dan

� ≔ −∞. Pada ℝ_� didefinisikan operasi ⊕ dan ⊗ yaitu ∀ , ℝ_� berlaku:

⊕ ≔ max , dan ⊗ ≔ +

Misalnya: − ⊕ = max − , =

(36)

Selanjutnya, ditunjukkan bahwa (ℝ_�, ⊕, ⊗) merupakan semiring dengan elemen netral � = −∞ dan elemen satuan � = .

Bukti:

1. ℝ_�, ⊕ adalah semigrup komutatif dengan elemen netral � = −∞, yaitu

∀ , , ℝ� memenuhi

a. ⊕ = max , = max , = ⊕ ,

b. ⊕ ⊕ = max max , , = max , ,

= max , max , = ⊕ ⊕ ,

c. ⊕ � = max , −∞ = max −∞, = � ⊕ = .

2. ℝ_�, ⊗ adalah semigrup dengan elemen satuan � = , yaitu ∀ , ,

ℝ� memenuhi

a. ⊗ ⊗ = + + = + + = ⊗ ⊗ ,

b. ⊗ � = + = + = � ⊗ = .

3. Elemen netral � merupakan elemen penyerap terhadap operasi ⊗, yaitu

∀ ℝ� memenuhi

⊗ � = + −∞ = −∞ = −∞ + = � ⊗ .

4. Operasi ⊗ distributif terhadap ⊕, yaitu ∀ , , ℝ_� berlaku a. Distributif kanan

⊕ y ⊗ = max , + = max + , +

= ⊗ ⊕ ⊗ ,

b. Distributif kiri

⊗ ⊕ = + max , = max + , +

(37)

Selanjutnya, dalam skripsi ini penulisan semiring (ℝ_�, ⊕, ⊗) ditulis sebagai ℝ_max.

Definisi 2.A.2 Suatu semiring �, +, × dikatakan semiring komutatif jika terhadap operasi × berlaku sifat komutatif, yaitu ∀ , �, × = × .

Definisi 2.A.3 Suatu semiring �, +, × dikatakan semiring idempoten jika terhadap operasi + berlaku sifat idempoten, yaitu ∀ �, + = .

Dalam Subiono (2015: 3) istilah semiring indempoten disebut juga sebagai dioid.

Contoh 2.A.2

Semiring ℝ_max merupakan suatu semiring komutatif yang sekaligus idempoten, karena untuk setiap , ℝ_max berlaku:

⊗ = + = + = ⊗ dan ⊕ = max , =

Definisi 2.A.4 Suatu semiring komutatif �, +, × , disebut semifield jika setiap elemen tak netralnya mempunyai invers terhadap operasi ×, yaitu

(38)

Contoh 2.A.3

Semiring komutatif ℝ_max merupakan semifield, karena untuk setiap ℝ_max terdapat − , sehingga berlaku ⊗ − = + − = .

Dari Contoh 2.A.2 dan 2.A.3 di atas, terlihat bahwa ℝ_max merupakan semifield idempoten. Elemen-elemen ℝ_max akan disebut juga dengan skalar (Subiono, 2015: 4).

Seperti dalam aljabar biasa, prioritas urutan operasi dalam ℝ_max juga penting untuk diperhatikan. Apabila tidak diberikan tanda kurung, maka operasi ⊗ mempunyai prioritas yang lebih tinggi daripada operasi ⊕.

Operasi lainnya dalam ℝ_max yang memiliki prioritas tertinggi dibandingkan dengan operasi ⊕ dan ⊗ adalah operasi pangkat. Pangkat

� ∪ { } dengan N adalah himpunan semua bilangan asli, dari elemen

ℝmax yang dinotasikan dengan ⊗ . Notasi ⊗ kemudian didefinisikan sebagai berikut: ⊗ ≔ dan ⊗ ≔ ⊗ ⊗ − , untuk =1, 2, … . Didefinisikan juga �⊗ ≔ dan �⊗ ≔ �, untuk =1, 2, … .

Diperhatikan bahwa ⊗ ≔ ⊗ ⊗ … ⊗ = + + + = ,

dengan operasi perkalian pada bilangan real.

Berikut diberikan beberapa contoh penggunaan operasi dalam ℝ_max. Tabel 2.1 Contoh Pengoperasian dalam ℝ _�

ℝ�� Aljabar Biasa =

⊕ max ,

(39)

ɛ ⊕ max −∞,

⊗ +

⊗ ɛ + −∞ −∞

− ⊗ − +

⊗ � +

⊗ _{= ⊗} _{× = +}

⊗ _{= ⊗ ⊗ ⊗} _{× = + + +}

�⊗ ₌ ⊗ _{× = ×} ₀

⊕ ⊗ ₌ ⊗ _⊕ ⊗ × max , atau

max × , × 10

B. Matriks dan Vektor di ℝ_��

Bagian ini menjelaskan tentang matriks dan vektor dalam ℝ_max, yang meliputi definisi matriks di ℝ_max, operasi matriks di ℝ_maxbeserta sifat-sifatnya, dan definisi vektor di ℝ_max.

1. Matriks di ℝ_��

Himpunan matriks × dalam ℝ_max untuk , �, dimana N adalah himpunan semua bilangan asli, dinotasikan dengan ℝ_max× . Operasi

⊕ dan ⊗ yang telah dijelaskan sebelumnya dapat diperluas untuk operasi-operasi dalam ℝ_max× . Seperti pada matriks real, operasi matriks atas ℝ_max meliputi tiga operasi dasar, yaitu penjumlahan matriks, perkalian matriks, dan perkalian matriks dengan skalar, yang akan dijelaskan menggunakan definisi berikut.

(40)

Definisi 2.B.1.1 Diberikan ℝ_max× ≔ { = ( ) | ℝ_max, i = 1, 2, … , m dan j = 1, 2, …, n}.

a. Diketahui ℝ_max× , ℝ_max× , didefinisikan

⊕ adalah matriks yang unsur ke-ij-nya:

⊕ = ⊕ untuk i = 1, 2, … , m dan j = 1, 2, …, n b. Diketahui ℝ_max , ℝ_max× , didefinisikan

⊗ adalah matriks yang unsur ke-ij-nya:

⊗ = ⊗ untuk i = 1, 2, … , m dan j = 1, 2, …, n c. Diketahui ℝ_max× , ℝ_max× , didefinisikan

⊗ adalah matriks yang unsur ke-ij-nya:

⊗ =⊕�₌ ⊗ untuk i = 1, 2, … , m dan j = 1, 2, …, n

Berikut diberikan contoh cara pengoperasian matriks berdasarkan definisi operasi matriks di atas.

Contoh 2.B.1.1

a. [−

� − ] ⊕ [ − ] = [

⊕ ⊕

− ⊕ ⊕ −

� ⊕ − ⊕ ]

= [max − ,max , max , −max ,

max �, max − , ]

(41)

b. ⊗ [

� ] = [ ⊗⊗ ⊗⊗ ε ⊗⊗ ]

= [ +₊ +_{+ �} +_{+ ]}

= [ _� ]

c. [−� ] ⊗ [

�

− ]

= [− ⊗ ε ⊕ ⊗ ⊕ ⊗_{� ⊗ � ⊕ ⊗ ⊕ ⊗} − ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ −_{� ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ − ]} = [max − + ε, + , +_{max ε + ε, + , +} max − + , + , + −_{max ε + , + , + −} ] = [max ε, ,_{max ε, ,} max , , −_{max ε, ,} ]

= [ ]

Definisi 2.B.1.2 Matriks , ℝ _�× dikatakan sama jika = , untuk setiap i dan j.

Selanjutnya, dijelaskan mengenai sifat-sifat operasi ⊕ dan ⊗ pada matriks.

Teorema 2.B.1.1 (Rudhito, 2016)

Pernyataan-pernyatan berikut berlaku untuk sebarang skalar α dan β, dan sebarang matriks A, B, dan C, asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi.

a. ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕

b. ⊕ = ⊕

(42)

d. ⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗

e. ⊕ ⊗ = ⊗ ⊕ ⊗

f. ⊗ = ⊗

g. ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗

h. ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗

i. ⊕ ⊗ = ⊗ ⊕ ⊗

j. ⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗

k. ⊕ =

Berikut ini diberikan pembuktian untuk sifat c dan d, sedangkan untuk pembuktian sifat yang lain langsung mengikuti definisi operasi dan sifat-sifat operasi pada ℝ_��.

a. Akan dibuktikan bahwa:

⊗ ⊗ = ⊗ ⊗

Bukti:

Ambil sebarang matriks ℝ _�×� , ℝ�×_� , ℝ ×_� .

Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊗ ⊗ , berlaku

( ⊗ ⊗ ) = ⊕ = (⊕�= ⊗ ) ⊗

= ⊕ = ⊕�= ⊗ ⊗

= ⊕ = ⊗ (⊕�= ⊗ )

= ⊗ ⊗ ; untuk dan

(43)

b. Akan dibuktikan bahwa:

⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗

Bukti:

Ambil sebarang matriks ℝ _�×� , , ℝ�×_� .

Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊗ ⊕ , berlaku

⊗ ⊕ = ⊕�₌ ⊗ ( ⊕ )

= ⊕�₌ ( ⊗ ⊕ ⊗ )

= (⊕�₌ ⊗ ) ⊕ (⊕�₌ ⊗ )

= ⊗ ⊕ ⊗ ; untuk dan

Jadi terbukti bahwa ⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗ .

Definisi 2.B.1.3 Transpose matriks dalam ℝ _� dinotasikan dengan � dan didefinisikan sama dengan matriks transpose dalam aljabar biasa, yaitu [ �] = [ ]

Definisi 2.B.1.4 (Rudhito, 2016)

Didefinisikan matriks ℝ ×_� dengan ∶= {ɛ =

≠

Didefinisikan matriks Ԑ ℝ _�× dengan Ԑ ∶= ɛ untuk setiap baris ke-i dan kolom ke-j.

(44)

Contoh 2.B.1.2

ℝmax× , ⊕, ⊗ merupakan semiring idempoten dengan elemen netral adalah matriks Ԑ dan elemen satuan adalah matriks .

Matriks disebut juga sebagai matriks identitas max-plus dan matriks Ԑ disebut sebagai matriks nol max-plus.

Selanjutnya, ditunjukkan bahwa ℝ_max× , ⊕, ⊗ merupakan semiring dengan elemen netral adalah matriks Ԑ dan elemen satuan adalah matriks

. Bukti:

1. ℝ_max× , ⊕ adalah semigrup komutatif dengan elemen netral matriks

Ԑ, yaitu untuk sebarang , , ℝ_max× memenuhi a. Sifat komutatif

Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊕ , berlaku

⊕ = max( , ) = max( , ) = ⊕ ;

untuk dan

Jadi terbukti bahwa ⊕ = ⊕ . b. Sifat asosiatif

Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks

⊕ ⊕ , berlaku

( ⊕ ⊕ ) = max(max , , )

(45)

= max( , max , )

= ( ⊕ ⊕ ) ; untuk dan

Jadi terbukti bahwa ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ .

c. Memiliki elemen netral matriks Ԑ ,

Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊕ Ԑ, berlaku

A ⊕ Ԑ = max( , Ԑ ) = max(Ԑ , ) = Ԑ ⊕ = ;

untuk dan

Jadi terbukti bahwa A ⊕ Ԑ = Ԑ ⊕ = .

2. ℝ_max× , ⊗ adalah semigrup dengan elemen satuan matriks , yaitu untuk sebarang , , ℝ_max× memenuhi

a. Sifat asosiatif

Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊗

⊗ , berlaku

( ⊗ ⊗ ) = ⊕ = ⊕ = ⊗ ⊗

= ⊕ = ⊕ = ⊗ ⊗

= ⊕ = ⊗ (⊕ = ⊗ )

= ⊗ ⊗ ; untuk dan

Jadi terbukti bahwa ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ .

b. Memiliki elemen satuan matriks ,

Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊗ , berlaku

(46)

A ⊗ =⊕ = ⊗

=⊕ = ⊗

= ⊗

= ; untuk dan

Jadi terbukti bahwa A ⊗ = ⊗ = .

3. Elemen netral matriks Ԑ merupakan elemen penyerap terhadap operasi

⊗, yaitu untuk sebarang ℝ_max× memenuhi

A ⊗ Ԑ =⊕ = ⊗ Ԑ

=⊕ = Ԑ ⊗

= Ԑ ⊗

= Ԑ ; untuk dan

Jadi terbukti bahwa A ⊗ Ԑ = Ԑ ⊗ = Ԑ.

4. Operasi ⊗ distributif terhadap ⊕, yaitu untuk sebarang , ,

ℝmax× berlaku

a. Distributif kanan

Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks

⊕ ⊗ , berlaku

( ⊕ ⊗ ) = ⊕ ₌ ⊕ ⊗

= ⊕ = ( ⊗ ⊕ ⊗ )

= (⊕ ₌ ⊗ ) ⊕ (⊕ ₌ ⊗ )

= ⊗ ⊕ ⊗ ; untuk dan

(47)

Jadi, ⊕ ⊗ = ⊗ ⊕ ⊗ . b. Distributif kiri

Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊗ ⊕ , berlaku

⊗ ⊕ = ⊕ = ⊗ ( ⊕ )

= ⊕ ₌ ( ⊗ ⊕ ⊗ )

= (⊕ = ⊗ ) ⊕ (⊕ = ⊗ )

= ⊗ ⊕ ⊗ ; untuk dan

Jadi, ⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗ .

Kemudian, ditunjukkan bahwa ℝ_max× , ⊕, ⊗ merupakan semiring idempoten.

Bukti:

Semiring ℝ_max× merupakan suatu semiring idempoten karena untuk sebarang ℝ_max× , yaitu untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks ⊕ , berlaku:

⊕ = max( , ) =

Jadi terbukti bahwa semiring ℝ_max× , terhadap operasi ⊕, berlaku sifat idempoten, yaitu ⊕ = , sehingga ℝ_max× , ⊕, ⊗ disebut sebagai semiring idempoten (Definisi 2.A.3).

(48)

ℝmax× , ⊕, ⊗ bukan semiring komutatif (Rudhito, 2016), karena terdapat matriks = [

ɛ] dan = [ɛ ] dengan

⊗ B = [ _{ɛ] ⊗ [ɛ} ] = [max , ε_{max , ɛ} max ,_{max , ɛ ] = [} ] ⊗ A = [ɛ ] ⊗ [ ɛ] = [max ɛ,max , max , ɛmax ɛ, ɛ ] = [ ɛ]

Sehingga terlihat bahwa ⊗ B ≠ ⊗ A.

Jadi dapat disimpulkan bahwa sifat komutatif pada operasi matriks hanya berlaku untuk operasi ⊕ dan tidak berlaku untuk operasi ⊗.

Definisi 2.B.1.5 Pangkat ∪ { } dengan N adalah himpunan semua bilangan asli, dari matriks ℝ_max× dinotasikan dengan ⊗ . Notasi

⊗ _{kemudian didefinisikan sebagai berikut:}

⊗ _≔ _dan ⊗ _{≔ ⊗} ⊗ − _{, untuk} ₌_{1, 2, … .}

Berdasarkan definisi tersebut, maka dapat dijelaskan unsur ke-st matriks berpangkat, sebagai berikut:

Unsur ke-st matriks ⊗ adalah

( ⊗ _{) =} _⊗

= ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ … ⊕ ⊗

= ⊕ = ( , ⊗ , )

= max ≤ ≤ ( , + , )

Unsur ke-st matriks ⊗ adalah

(49)

= ⊕ ₌ ( , ⊕ = ( , ⊗ , ) )

= ⊕ = ⊕ = ( , ⊗ , ⊗ , )

= max ≤ , ≤ ( , + , + , )

Secara umum, unsur ke-st matriks ⊗ adalah ⊗ _{= ⊕}

− = ( , − … ⊕ = ( , ⊗ , ) )

= ⊕ = … ⊕ = ( , − ⊗ … ⊗ , ⊗ , )

= max ≤ , ,…, − ≤ ( , − + + , + , )

Berdasarkan persamaan terakhir, untuk sebarang ℝ_max dan ℝ_max× unsur ke-st ⊕ ⊗ adalah

⊕ ⊗

= max ≤ , ,…, − ≤ ( + , − + + + , + + , )

= + + + + max ≤ , ,…, − ≤ ( , − + + , + , )

= ⊗ _⊗ ⊗ _{; untuk} _{= , , … .}

Jadi, untuk sebarang skalar ℝ_max dan ℝ_max× berlaku :

⊕ ⊗ ₌ ⊗ _⊗ ⊗ _{; untuk} _{= , , … .}

(50)

Contoh 2.B.1.3 Diberikan = [

− ɛ

ɛ ɛ ]

maka,

⊗ _{= ⊗ = [} −_ɛ

ɛ ɛ ] ⊗ [

− ɛ

ɛ ɛ ] = [

−

ɛ ɛ ]

⊗ _{= ⊗} ⊗ _{= [} −_ɛ

ɛ ɛ ] ⊗ [

−

ɛ ɛ ] = [ɛ ɛ ]

� =⊕= = max , , =

�( ⊗ _{) = max , , =}

2. Vektor di ℝ_��

Bagian ini membahas semimodul atas ℝ_maxyang melandasi pembahasan konsep vektor di ℝ_max.

Definisi 2.B.2.1 Diberikan semiring komutatif �, +, × dengan elemen netral 0 dan elemen identitas 1. Semimodul M atas S adalah semigrup komutatif (M, +) bersama operasi perkalian skalar • : � × → , yang dituliskan dengan , ↦ • , yang memenuhi aksioma berikut:

∀ , � � dan ∀ , berlaku:

a. • + = • + •

b. + • = • + •

(51)

d. • = e. • =

Suatu elemen dalam semimodul disebut vektor.

Contoh 2.B.2.1

ℝ ×� adalah semimodul atas ℝmax. Selanjutnya, ℝ ×� cukup ditulis sebagai ℝ _� , dimana

ℝ � ≔ { = [ , , … , ]�| ℝmax, = , , … , }

Untuk setiap , ℝ _� dan untuk setiap ℝ_max didefinisikan operasi ⊕ dengan

⊕ y = [ ⊕ , ⊕ , … , ⊕ ]�

dan operasi perkalian skalar • dengan

• = ⊗ = [ ⊗ , ⊗ , … , ⊗ ]�_.

Berdasarkan Teorema 2.B.1.1 a dan b, maka dapat disimpulkan bahwa

ℝ � ,⊕ adalah semigrup komutatif dengan elemen netral ɛ =

[ɛ, ɛ, … , ɛ]�_{. Kemudian, berdasarkan}_{Teorema 2.B.1.1 j, i,}_dan_{g, maka} dapat disimpulkan pula bahwa ℝ _� adalah semimodul atas ℝ_max.

Diberikan vektor-vektor , , … , di dalam semimodul M dan skalar-skalar , , … , di dalam semiring komutatif S. Didefinisikan kombinasi linear dari vektor-vektor , , … , adalah suatu bentuk

(52)

C. Matriks dan Graf di ℝ_��

Bagian ini memberikan penjelasan secara singkat mengenai teori graf dan interpretasi beberapa operasi dan konsep dasar aljabar max-plus dalam teori graf. Konsep ini menjadi dasar pembahasan nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus.

Definisi 2.C.1 Suatu graf � didefinisikan sebagai pasangan himpunan �, dengan � adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik (vertices) dan adalah suatu himpunan pasangan (tak terurut dan boleh merupakan himpunan kosong) titik-titik yang anggotanya disebut rusuk (edges).

Contoh 2.C.1

Perhatikan graf � di bawah ini

Gambar 2.C.1 Graf Secara Umum

Graf pada Gambar 2.C.1 di atas adalah graf � = � , , dengan � =

{ , , } dan = { , , , , , }.

(53)

Definisi 2.C.2 Suatu graf berarah � didefinisikan sebagai pasangan himpunan

�, dengan � adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik (vertices) dan adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik yang anggotanya disebut busur (arc).

Definisi 2.C.3 Untuk busur , , i disebut sebagai titik awal busur dan j disebut sebagai titik akhir busur. Suatu loop adalah busur , .

Kedua definisi di atas menjelaskan bahwa graf berarah � adalah graf yang setiap busurnya mempunyai arah. Secara geometri dinyatakan suatu anak panah yang arahnya dari ke .

Contoh 2.C.2

Perhatikan graf � di bawah ini

(54)

Graf pada Gambar 2.C.2 di atas adalah graf berarah � = � , , dengan

� = { , , } dan = { , , , , , }, yang merupakan himpunan

pasangan terurut.

Berdasarkan Definisi 2.C.1 dan Definisi 2.C.2, serta Contoh 2.C.1 dan Contoh 2.C.2 dapat dijelaskan cara menggambar suatu graf adalah sebagai berikut: jika suatu graf disajikan dalam bentuk gambar, maka titik digambarkan sebagai noktah yang diberi label dengan nama titik yang diwakilinya. Rusuk digambarkan sebagai kurva atau ruas garis yang menghubungkan noktah-noktah yang bersesuaian pada rusuk atau loop. Sedangkan busur digambarkan sebagai kurva atau ruas garis berarah yang menghubungkan noktah-noktah yang bersesuaian dengan titik awal dan titik akhir busur, dengan tanda panah yang ujungnya menandakan arah busur.

Definisi 2.C.4 Suatu graf berbobot � adalah graf yang memiliki bobot pada setiap rusuknya, dinotasikan dengan , ℝ, untuk , , dimana adalah suatu himpunan pasangan (tak terurut dan boleh merupakan himpunan kosong) titik-titik yang anggotanya disebut rusuk (edges), dan adalah titik-titik (vertices).

(55)

Contoh 2.C.3

Perhatikan graf � di bawah ini

Gambar 2.C.3 Graf Berbobot

Graf pada Gambar 2.C.3 di atas adalah graf berbobot � = � , , dengan

� = { , , } dan = { , , , , , }, serta bobot-bobot dari setiap rusuknya yang dinyatakan dengan , = , , = , dan , = , dimana , , ℝ.

Definisi 2.C.5 Suatu graf berarah � disebut berbobot jika setiap busur , dapat dikawankan dengan suatu bilangan real ≠ ɛ yang merupakan bobot busur , , dinotasikan dengan , , dimana adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik yang anggotanya disebut busur (arc), adalah titik awal busur, dan adalah titik akhir busur.

(56)

Contoh 2.C.4

Perhatikan graf � di bawah ini

Gambar 2.C.4 Graf Berarah Berbobot

Graf pada Gambar 2.C.4 di atas adalah graf berarah � = � , , dengan

� = { , , } dan = { , , , , , }, serta bobot-bobot dari setiap

busurnya adalah , = ; , = ; , = .

Selanjutnya, dijelaskan tentang definisi lintasan dalam graf dan beberapa konsep yang berhubungan dengan lintasan, untuk mendefinisikan graf terhubung kuat.

Definisi 2.C.6 Diberikan � = �, yang merupakan graf berarah dengan

� = { , , … , }. Suatu lintasan � dalam � adalah suatu barisan berhingga busur , , , , … , ₋ , dengan , ₊ untuk suatu dan

= , , … , − .

(57)

Lintasan � yang dimaksudkan dalam Definisi 2.C.6 dapat direpresentasikan dengan → → → . Titik disebut sebagai titik awal lintasan dan titik

disebut sebagai titik akhir lintasan.

Definisi 2.C.7 Untuk suatu lintasan � pada suatu graf berarah berbobot �, panjang lintasan didefinisikan sebagai banyaknya busur yang menyusun � dan dinotasikan dengan |�| .

Definisi 2.C.8 (Rudhito, 2016)

Suatu lintasan disebut sirkuit jika titik awal dan titik akhirnya sama. Sirkuit elementer adalah sirkuit yang titik-titiknya muncul tidak lebih dari sekali, kecuali titik awal yang muncul tepat dua kali.

Definisi 2.C.9 Suatu graf berarah � = �, dengan � =

{ , , … , } dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap , �, ≠ terdapat suatu lintasan dari i ke j.

Definisi 2.C.10 (Rudhito, 2016)

Suatu graf yang memuat sirkuit disebut graf siklik, sedangkan suatu graf yang tidak memuat sirkuit disebut graf taksiklik.

(58)

2 Contoh 2.C.5

Perhatikan graf � di bawah ini

Gambar 2.C.5 Graf Berarah �

Graf pada Gambar 5 di atas adalah graf berarah � = � , , dengan � =

{ , , } dan = { , , , , , , , , , , , }. Dalam graf berarah

� terdapat barisan busur (2,1),(1,1),(1,2),(2,3) yang merupakan lintasan dalam

� . Lintasan ini dapat direpresentasikan dengan → → → → . Busur ini mempunyai panjang 4 karena tersusun aas 4 busur.

Lintasan → → → → → → merupakan sirkuit dengan panjang 6. Lintasan → → → merupakan suatu sirkuit elementer dengan panjang 3.

Pada graf berarah � setiap titik yang berbeda selalu terdapat suatu lintasan, sehingga graf berarah � terhubung kuat.

Selanjutnya, dijelaskan mengenai hubungan antara matriks dan graf berarah berbobot yang terhubung kuat di ℝ_max. Penjelasan diawali dengan

(59)

definisi graf bobot atau graf preseden, yang merupakan graf dari suatu matriks dalam ℝ_max.

Definisi 2.C.11 (Graf Bobot (Precedence Graph), Schutter, 1996 dalam Rudhito, 2016)

Diberikan ℝ ×_� . Graf bobot atau preseden dari A adalah graf berarah berbobot � = �, dengan � = { , , … , } dan = { , | , =

≠ ɛ}.

Contoh 2.C.6

Diberikan matriks = [

− ɛ ]

Graf bobot dari matriks merupakan graf berarah berbobot � =

�, dengan himpunan titik � = { , , } dan himpunan busur =

{ , , , , , , , , , , , , , }, seperti yang disajikan dalam

Gambar 2.C.6.

Perhatikan sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot � =

�, selalu dapat didefinisikan suatu matriks ℝ ×_� dengan

= {_ɛ, , , _,,

Matriks ini disebut sebagai matriks bobot dari graf � dan graf berarah berbobot tersebut merupakan graf bobot dari . Berikut disajikan gambar graf berarah berbobot yang bersesuaian dengan matriks pada contoh yang diberikan di atas.

(60)

Gambar 2.C.6 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.6

Selanjutnya, dijelaskan pula mengenai konsep lintasan dan sirkuit pada graf preseden.

Definisi 2.C.12 Diberikan graf berarah berbobot � = �, dengan � =

{ , , … , }. Bobot suatu lintasan � = → → → didefinisikan sebagai jumlahan bobot busur-busur yang menyusun � dan dinotasikan dengan |�| .

Definisi 2.C.13 (Rudhito, 2016)

Untuk matriks ℝ ×_� , obot suatu lintasan � = → → → dalam graf bobot � adalah |�| = _, + _, + + _, ₋ . Bobot rata-rata lintasan �, dinotasikan dengan |�̅|, didefinisikan sebagai

|�|. |�| (dengan operasi perkalian dan pembagian pada bilangan real).

3 1

0 2

-1 1

(61)

Contoh 2.C.7

Perhatikan graf berarah berbobot pada Contoh 2.C.6 berikut.

Gambar 2.C.7 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.6

Panjang suatu lintasan � = → → → → adalah |�| = . Bobot lintasan � adalah

|�| = , + , + , + ,

= + + +

= − + + + =

Bobot rata-rata lintasan � adalah |�̅|=

|�|. |�| = =

Selanjutnya, dijelaskan mengenai hubungan antara elemen ke-st matriks

ℝ ×� berpangkat k dengan bobot lintasan dari simpul t ke s pada graf preseden � .

3 1

0 2

-1 1

(62)

Diberikan matriks ℝ ×_� , jika �, maka unsur ke-st dari matriks ⊗ _adalah

⊗ _{= max}

≤ , ,…, − ≤ ( , − + + , + , )

= max ≤ , ,…, − ≤ ( . + . + + , − )

untuk setiap s, t.

Diketahui bahwa ( _. + _. + + _, ₋ ) adalah bobot lintasan dengan panjang k, dengan t sebagai titik awal dan s sebagai titik akhirnya dalam graf

� . Oleh karena itu, ⊗ adalah bobot maksimum semua lintasan dalam � dengan panjang k, dengan t sebagai titik awal dan s sebagai titik akhirnya. Namun, apabila tidak ada lintasan dengan panjang k dari t ke s, maka bobot maksimum didefinisikan sama dengan ɛ.

Contoh 2.C.8

Diberikan matriks = [

− ɛ ] dari Contoh 2.C.6. Bobot maksimum

semua lintasan dalam � dengan panjang = ditentukan oleh elemen-elemen ⊗ , dengan ⊗ = [ ].

Dari matriks di atas, dapat diperoleh ( ⊗ ) = . Ini berarti bobot maksimum semua lintasan dalam � dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 3 dan berakhir di simpul 1 adalah 5. Hal ini karena

(63)

= max + + , + + = max ,

Hal ini sesuai dengan yang terlihat dari graf preseden, bahwa ada 2 lintasan dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 3 dan berakhir di simpul 1,yaitu

→ → → dan → → → . Berikut adalah masing-masing bobot

untuk setiap lintasan.

Bobot untuk lintasan → → → adalah

|�| = , + , + ,

= + +

= + + =

Bobot untuk lintasan → → → adalah

|�| = , + , + ,

= + +

= + + =

Dari semua bobot lintasan tersebut, diperoleh bobot maksimum 5.

Selanjutnya, dijelaskan mengenai bobot rata-rata maksimum untuk sirkuit elementer, dengan maksimum diambil atas semua sirkuit elementer dalam suatu graf.

(64)

Diberikan matriks ℝ ×_� , dengan graf bobotnya � = �, . Bobot maksimum dari semua sirkuit yang memiliki panjang k dengan titik i sebagai titik awal dan titik akhir dalam G(A) dinotasikan sebagai ⊗ . Maksimum dari bobot maksimum semua sirkuit yang memiliki panjang k dengan titik i sebagai titik awal dan titik akhir dalam G(A) atas seluruh titik i adalah ⊕ ₌ ⊗ = � ⊗ dan bobot rata-ratanya adalah

� ⊗ _.

Kemudian, diambil maksimum atas sirkuit dengan panjang , yaitu semua sirkuit elementer, diperoleh suatu rumus untuk bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam G(A), yang dinotasikan dengan �_max , yaitu

�max =⊕ = � ⊗

Suatu sirkuit dalam graf G yang mempunyai bobot rata-rata sama dengan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer disebut sebagai sirkuit kritis. Suatu graf G yang terdiri dari semua sirkuit kritis disebut graf kritis dari G, yang dinotasikan dengan ��.

Contoh 2.C.9

Diberikan matriks = [− ɛ

ɛ ]

, dengan graf berarah berbobot G(A) adalah sebagai berikut.

(65)

1 3 1

-2

1 1

3 1 1

Gambar 2.C.8 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.9

Akan ditentukan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam G(A)

�max tersebut.

Diperhatikan bahwa ⊗ = [ ] dan ⊗ = [ ], sehingga

diperoleh � = , �( ⊗ ) = , dan �( ⊗ ) = . Bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer adalah

�max =⊕ = � ⊗ = max , , =

Berdasarkan hasil perhitungan di atas, �_max = , sehingga sirkuit kritis pada graf preseden G(A) adalah → → dan → → . Maka graf kritis �� dari sirkuit kritis adalah

(66)

Teorema 2.C.1 (Baccelli, et.al., dalam Rudhito, 2016)

Diberikan ℝ ×_� . Jika semua sirkuit dalam G(A) mempunyai bobot tak positif, maka

∀� , ⊗�

max ⊕ ⊕ … ⊕ ⊗ −

Bukti:

Karena banyak titik dalam G(A) adalah n, maka semua lintasan dengan panjang

� tersusun dari k sirkuit dengan jumlah panjang seluruh sirkuit kurang dari p dan satu lintasan dengan panjang kurang dari n. Ini berarti untuk setiap �

dan untuk setiap , { , , … , }, terdapat { , , … , }, sehingga

( ⊗�_{) =} ⊗ _{+ ∑ (} ⊗ ₎

, dengan − ,

, dan = , , , …

Karena semua sirkuit mempunyai bobot tidak positif, maka untuk setiap � dan untuk setiap , { , , … , }, berlaku ( ⊗�) ⊗ dengan

− .

Akibatnya ∀� , ⊗� _max ⊕ … ⊕ ⊗ − .

Karena untuk setiap matriks ℝ ×_� berlaku ⊕ _max , maka ∀�

, ⊗�

max ⊕ ⊕ … ⊕ ⊗ − .

Berdasarkan Teorema 2.C.1 di atas, maka dapat didefinisikan operasi bintang (*) unntuk matriks berikut ini.

(67)

Definisi 2.C.14 Diberikan suatu matriks ℝ ×_� , dengan semua sirkuit dalam G(A) berbobot tidak positif, maka didefinisikan

∗ _{≔ ⊕ ⊕ … ⊕} ⊗ _⊕ ⊗ − _{⊕ …} _dan + _{≔ ⊗} ∗

D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks di ℝ_��

Seperti halnya pada matriks real, konsep nilai eigen dan vektor eigen juga dipelajari pada matriks di ℝ_max. Bagian ini menjelaskan tentang konsep dan cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen di ℝ_max .

Penjelasan diawali dengan membahas kembali konsep dalam aljabar max-plus dan graf yang berkaitan dengan pembahasan nilai eigen dan vektor eigen. Berikut didefinisikan terlebih dahulu suatu matriks yang graf bobotnya terhubung kuat.

Definisi 2.D.1 (Subiono, 2015)

Suatu matriks ℝ ×_� dikatakan irreducible (tak-tereduksi) jika graf G(A) adalah strongly connected (terhubung kuat). Lebih lanjut, matriks tak-tereduksi adalah matriks yang tidak dapat dikonstruksi menjadi bentuk matriks segitiga atas.

Teorema 2.D.1 Matriks ℝ ×_� irreducible (tak-tereduksi) jika dan hanya jika ⊕ ⊗ ⊕ … ⊕ ⊗ − ≠ ɛ untuk setiap , dengan ≠ .

(68)

Bukti:

1. Jika matriks ℝ ×_� irreducible (tak-tereduksi) maka graf � =

�, dengan � = { , , … , } terhubung kuat, yaitu untuk setiap ,

�, ≠ , terdapat suatu lintasan dari ke .

Hal ini berarti untuk setiap , �, ≠ terdapat k dengan − sehingga ⊗ ≠ ɛ, sehingga ⊕ ⊗ ⊕ … ⊕ ⊗ − ≠ ɛ untuk setiap , dengan ≠ .

2. Jika ⊕ ⊗ ⊕ … ⊕ ⊗ − ≠ ɛ untuk setiap , dengan ≠ , maka terdapat k dengan − sehingga ⊗ ≠ ɛ.

Hal ini berarti graf bobot � = �, dengan � = { , , … , } untuk setiap , �, ≠ , terdapat suatu lintasan dari ke . Akibatnya � terhubung kuat, sehingga matriks ℝ ×_� irreducible (tak-tereduksi).

Contoh 2.D.1

Diberikan matriks = [

− ɛ ] pada Contoh 2.C.6

⊕ ⊗ _{= [}₋ ɛ_ɛ _{] ⊕ [} _{] = [} _]

Berarti ( ⊕ ⊗ ) ≠ ɛ untuk setiap , dengan ≠ . Dalam gambar graf pada Gambar 4 juga terlihat bahwa untuk sebarang dua titik yang berbeda i dan j dalam � terdapat suatu lintasan dari i ke j. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa matriks A irreducible (tak-tereduksi).

(1)

MATRIKS

�

. ₅₄₄ _. _. _. _. _. ₁₂₆ _. _. _. _. _. ₅₁₃ _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. ₅₂₁ _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. ₇₉₄ _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. ₆₀₁ _. _. 559

. 580 . . . 162 . . . 549 . . . 557 . . . 830 . . . 637 . . 595

. 27 . . . . . 31 . . . . . 62 . . . . . 90 . . . 105

. 412 . . . 381 . . . 389 . . . 662 . . . 469 . . 427

. 417 . . . 386 . . . 394 . . . 667 . . . 474 . . 432

. . . 28 . . . .

. . . 59 . . . .

. 481 . . . 63 . . . 450 . . . 458 . . . 731 . . . 538 . . 496

. 507 . . . 89 . . . 476 . . . 484 . . . 757 . . . 564 . . 522

. 607 . . . 189 . . . 576 . . . 584 . . . 857 . . . 664 . . 622

. 611 . . . 193 . . . 580 . . . 588 . . . 861 . . . 668 . . 626

. . . 31 . . . .

. . . 59 . . . 105

. 412 . . . 381 . . . 389 . . . 662 . . . 469 . . 427

. 417 . . . 386 . . . 394 . . . 667 . . . 474 . . 432

. 445 . . . 414 . . . 422 . . . 695 . . . 502 . . 460

. 477 . . . 446 . . . 454 . . . 727 . . . 534 . . 492

. 260 . . . 229 . . . 237 . . . 510 . . . 317 . . 275

. 356 . . . 325 . . . 333 . . . 606 . . . 413 . . 371

. 412 . . . 381 . . . 389 . . . 662 . . . 469 . . 427

. ₄₁₇ _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. ₃₈₆ _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. ₃₉₄ _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. ₆₆₇ _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. _. ₄₇₄ _. _. ₄₃₂

. 445 . . . 414 . . . 422 . . . 695 . . . 502 . . 460

. 476 . . . 445 . . . 453 . . . 726 . . . 533 . . 491

. 27 . . . 4 . . . 277 . . . .

. 31 . . . 8 . . . 281 . . . .

. 62 . . . 59 . . . 39 . . . 312 . . . .

. 90 . . . 64 . . . 67 . . . 340 . . . 105

. 95 . . . 111 . . . 72 . . . 345 . . . 152 . . 110

. 142 . . . 381 . . . 119 . . . 392 . . . 199 . . 157

. 412 . . . 386 . . . 389 . . . 662 . . . 469 . . 427

. 417 . . . 408 . . . 394 . . . 667 . . . 474 . . 432

. 439 . . . 430 . . . 416 . . . 689 . . . 496 . . 454

. 461 . . . 450 . . . 438 . . . 711 . . . 518 . . 476

. 481 . . . 63 . . . 473 . . . 458 . . . 731 . . . 622 . . 496

. 504 . . . 89 . . . 505 . . . 481 . . . 754 . . . 645 . . 519

. 536 . . . 118 . . . 513 . . . 786 . . . 677 . . 551

. . . 101 . . . .

. . . 222 . . . .

. . . 254 . . . .

. . . 277 . . . .

. . . 281 . . . .

. . . 303 . . . .

. . . 325 . . . 105

. 417 . . . 386 . . . 394 . . . 667 . . . 474 . . 432

. 422 . . . 391 . . . 399 . . . 672 . . . 479 . . 437

. 582 . . . 551 . . . 559 . . . 832 . . . 639 . . 597

. 589 . . . 558 . . . 566 . . . 839 . . . 646 . . 604

. 596 . . . 565 . . . 573 . . . 846 . . . 653 . . 611

. . . 152 . . .

. 417 . . . 386 . . . 394 . . . 667 . . . 474 . . 432

. 522 . . . 491 . . . 499 . . . 772 . . . 579 . . 537

� =

(2)

PROGRAM MATLAB

MENGHITUNG NILAI EIGEN MAX-PLUS MAKSIMUM DAN VEKTOR

EIGEN YANG BERSESUAIAN UNTUK SUATU MATRIKS MAX-PLUS A

% Program Matlab Menghitung NILAI EIGEN MAX-PLUS

Maksimum dan VEKTOR EIGEN

% yang bersesuaian untuk suatu Matriks max-plus A

% Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma

% input: matriks max-plus Anxn

% output: irredusibel/ tak irredusibel matriks A

% nilai eigen max-plus maximum

% vektor eigen yang bersesuaian

function

hasilkali = eigmax

disp(' ')

disp(' NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MAX-PLUS MATRIKS')

disp(' ---')

disp(' ')

A = input(' Matriks yang dihitung A = ');

disp(' ')

disp(' HASIL PERHITUNGAN :')

disp(' ===================')

disp(' Matriks A = '), disp(A)

% Menghitung A pangkat , trace/pangkat dan nilai eigen

maksimum

[m, n]= size(A);

if

m==n

if

n==2

for

i = 1: n

for

j=1: n

if

i==j

(3)

end

;

end

;

end

;

A0 = min(A);

A00 = min(A0);

if

A00 == -Inf

disp(' Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL')

else

disp(' Matriks A IRREDUSIBEL')

end

;

end

;

trace = max(diag(A));

D=A;

for

r=1:n-1

r+1;

for

i = 1: m

for

j = 1: n

C(i, j) = -Inf;

for

p = 1: n

C(i, j) = max( C(i, j) , A(i,

p) + D(p, j) );

end

;

end

;

end

;

A_plus = max(D, C);

D=C;

trace_perpk(r) = max(diag(D)./(r+1));

lambmax = max(trace_perpk);

end

;

lambmaxmat = max(trace, lambmax);

(4)

r+1;

for

i = 1: m

for

j = 1: n

C(i, j) = -Inf;

for

p = 1: n

C(i, j) = max( C(i, j) , A(i, p) +

D(p, j) );

end

;

end

;

end

;

A_plus1 = max(D, C);

D=C;

end

;

if

n>2

for

i = 1 : n

for

j = 1 : n

if

i==j

A_plus1(i,j) = 0;

end

;

end

;

end

;

A0_plus1 = min(A_plus1);

A00_plus1 = min(A0_plus1);

if

A00_plus1 == -Inf

disp(' Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL')

else

disp(' Matriks A IRREDUSIBEL')

end

;

end

;

disp('NILAI EIGEN max-plus maksimum matriks A

='),disp(lambmaxmat)

(5)

% Menghitung matriks normal B, B pangkat dan B+

B = A-lambmaxmat;

disp(' ')

G=B;

for

s=1:n-1

s+1;

for

i = 1: m

for

j = 1: n

F(i, j) = -Inf;

for

p = 1: n

F(i, j) = max( F(i, j) , B(i, p) +

G(p, j) );

end

;

end

;

end

;

B_plus = max(G, F);

G = F;

end

;

% Menghitung matriks E dan B*

for

i = 1 : n

for

j = 1 : n

if

i ~= j

E(i,j) = -Inf;

end

;

end

;

end

;

B_star= max(E, B_plus);

% Menentukan vektor eigen yang bersesuaian

(6)