Masjid Agung Prosiding SEMNAS MIPA UNSRI 2014
Dian A.Model Persamaan Struktural Linier dengan Matriks Kovarian yang Hampir Singular
Prosiding Seminar Nasional MIP A 2014, Palembang 2 Oktober 2014
97 Misalkan
A adalah matrik bujur sangkar berukuran n n
. Maka
v A menotasikan vektor
2 1
1 n
n
yang diperoleh dari vecA dengan mengeliminasi semua elemen supradiagonal dari A . untuk A yang simetris,
v
A hanya memuat elemen yang secara umum berbeda dari A . Kare-
na elemen dari vec A adalah
v A dengan beberapa replikasi, terdapat matrik tunggal berukuran
2
2 1
n n
n
yang merubah, untuk A yang simetris,
v
A menjadi vec A . Matrik ini disebut
matrik duplikasi dan dinotasikan dengan
n
D Magnus dan Neudecker, 2007. Jadi
vec ,
.
n
D v
A A
A A
Nilai Harapan, Varians, dan Kovarian Definisi 2.2.1. Bain dan Engelhardt, 1992 Jika X adalah peubah acak dengan fungsi kepadatan
probabilitas
f x , maka nilai harapan dari X didefinisikan dengan
. ,
. . .
. ,
. . .
x
x f x jika X p a diskrit
E X x f x dx jika X p a kontinu
Definisi 2.2.2. Bain dan Engelhardt, 1992
Varians dari peubah acak X didefinisikan sebagai
2 2
var .
X E X
E X
Definisi 2.2.3. Bain dan Engelhardt, 1992. Kovarian dari pasangan peubah acak
X
dan
Y
dide- finisikan sebagai
, .
X Y
Cov X Y E
X Y
Varians
2 2
2 1
2
, ,
,
p
K dari
1 2
, ,
,
p
y y y
K dan kovarian
ij
untuk semua i j
dapat disajikan da- lam matrik kovarian, yang dinotasikan dengan
Σ ,
11 12
1 21
22 2
1 2
cov .
p p
p p
pp
Σ y
L L
M M O
M L
Baris ke-
i
memuat varians
i
y dan kovarian
i
y dengan setiap
y
lainnya. Agar konsisten dengan notasi
ij
, digunakan
2
,
ii i
1, 2, ,
i p
K
untuk varians. Varians berada pada diagonal
Σ , dan kova-
rian berada pada selain diagonal. Matrik kovarian
Σ simetris karena
ij ji
.
Model Persamaan Struktural Linier
Model Persamaan Struktural adalah sekumpulan alat atau teknik-teknik statistika yang memungkin- kan tidak hanya mendapatkan model hubungan namun juga pengujian sebuah rangkaian hubungan
yang simultan Ferdinand, 2002. Hubungan tersebut dapat dibangun antara satu atau beberapa varia- bel dependen dengan satu atau beberapa variabel independen. Dalam model persamaan struktural lini-
er hubungan-hubungan ini bersifat linier.
Model ini secara umum terdiri dari dua model. Yang pertama yakni model struktural,
Dian A.Model Persamaan Struktural Linier dengan Matriks Kovarian yang Hampir Singular
98
Prosiding Seminar Nasional MIP A 2014, Palembang 2 Oktober 2014
1 1
1 1
.
m m m
m m n
n m
Β
Γ ξ
Pada model ini, variabel-variabelnya merupakan konstruk atau variabel laten tidak terukur atau tidak teramati
laten variabels unobserved variabels
. Model yang kedua adalah model pengukuran
measurement model
,
1 1
1
,
p p m
m p
y
y Λ
dan
1 1
1
.
q q n
n q
x
x Λ
ξ
Konsep dasar dari model ini adalah
Confirmatory Factor Analysis
CFA yang menggambarkan indikator-indikator atau variabel terukur atau variabel manifest sebagai efek atau refleksi dari variabel
latennya. Model persamaan struktural merupakan analisis statistika yang berbasis pada dekomposisi matrik
kovarian. Hal ini tercermin dalam tujuan utamanya yaitu menguji hipotesis nol umum dan funda- mental yang berbentuk:
.
Σ Σ
dengan
Σ
: matrik kovarian populasi dari semua variabel teramati.
: vektor yang berisi parameter bebas dari model
Σ
: matrik kovarian populasi yang ditulis sebagai fungsi dari
Matrik kovarian tersirat
Σ
tersebut dirumuskan oleh:
xx xy
yx yy
Cov X Cov XY
Cov YY Cov X
Σ
1 x
x y
x
I B
1 1
1
[ ]
. [
][ ]
x y
y y
I B
I B
I B
Matrik kovarian sampel sangat penting untuk mengestimasi model. Dalam model persamaan struktral berbasis kovarian, estimasi parameter merupakan suatu proses mencari estimasi dari parame-
ter-parameter struktural yang mampu meminimumkan perbedaan antara matrik kovarian tersirat ber- dasarkan nilai estimasi yang didapatkan
Σ
dengan matrik kovarian sampel dari variabel tera- mati
S . Parameter-parameter yang tidak diketahui dalam
, , , , ,
y
B Γ Φ
Λ
, ,
x
Λ Θ Θ diestimasi
sedemikian hingga matrik kovarian tersirat
Σ dekat dengan matrik kovarian sampel S, sehingga
diperlukan fungsi kesesuaian untuk diminimumkan. Fungsi kesesuaian
, F
S Σ
bergantung pada
matrik kovarian sampel S, dan matrik kovarian tersirat
. Σ
Meminimumkan fungsi kesesuaian akan menghasilkan estimator yang konsisten untuk
. Sifat-sifat dari fungsi kesesuaian adalah:
1.
, F
S Σ
merupakan skalar. 2.
, 0.
F
S Σ
3.
, F
S
Σ
jika dan hanya jika
.
Σ S
4.
, F
S Σ
kontinu di
S
dan
Σ .
Salah satu metode pendugaan parameter yang digunakan dalam model struktural adalah metode pendugaan
maximum likelihood
. Fungsi kesesuaian metode ini adalah: