D. Pemahaman Konsep
Menurut Gagne Suherman, 2003:33 dalam belajar matematika ada 2 objek yang dapat diperoleh siswa, yaitu objek langsung dan objek tak langsung. Objek
langsung berupa fakta, ketrampilan, konsep dan aturan. Konsep adalah ide abstrak yang memungkinkan kita dapat mengelompokkan objek ke dalam contoh
dan non contoh. Pemahaman konsep merupakan salah satu kecakapan matematika. Dalam
pemahaman konsep, siswa mampu untuk menguasai konsep, operasi dan relasi matematis. Kecakapan ini dapat dicapai dengan memperhatikan indikator-
indikatornya sebagai berikut : 1. siswa mampu menyatakan ulang konsep yang telah dipelajari;
2. siswa mampu mengklasifikasikan objek-objek berdasarkan dipenuhi tidaknya persyaratan yang membentuk konsep tersebut;
3. siswa mampu menerapkan konsep secara algoritma; 4. siswa mampu memberikan contoh dan kontra contoh dari konsep yang telah
dipelajari; 5. siswa mampu menyajikan konsep dalam berbagai macam bentuk representasi
matematika; 6. siswa mampu mengaitkan berbagai konsep;
7. siswa mampu mengembangkan syarat perlu dan atau syarat cukup suatu konsep.
E. Trigonometri
Rumus-rumus Segitiga 1. Aturan Sinus
Jika a, b, dan c masing-masing menyatakan panjang sisi segitiga sebarang ABC, maka berlaku rumus yang disebut “aturan sinus”, yaitu :
C sin
B sin
A sin
c b
a =
=
b a
Bukti : C
b a
A B
c
1 Pada ΔAEC, sin A =
AC CE
atau CE = b sin A 1
2 Pada ΔBEC, sin B =
BC CE
atau CE = a sin B 2
C
A c
B
D
E
3 Dari 1 dan 2, a sin B = b sin A
B sin
A sin
A sin
B sin
A sin
B sin
b a
= ⇔
B sin
A sin
b a
= ⇔
3
4 Pada ΔADB, sin A =
AB BD
atau BD = c sin A 4
5 Pada ΔCDB, sin C =
BC BD
atau BD = a sin C 5
6 Dari 4 dan 5, c sin A = a sin C
C sin
A sin
C sin
C sin
A sin
A sin
a c
= ⇔
A sin
C sin
a c
= ⇔
6
7 Dari 3 dan 6, diperoleh : C
sin B
sin A
sin c
b a
= =
Contoh : Dalam
ΔABC, a = 17 cm, b = 8 cm, dan ∠A = 60 . Hitung panjang sisi c
Jawab :
8 17
C
A B
60
B sin
A sin
a b
= ∠C = 180
- ∠A - ∠B
B sin
8 60
sin 17
= ⇔
= 180 – 60
- 24
B sin
8 3
2 1
17 = ⇔
= 96
⇔ 17 sin B = 4 3 C
sin A
sin a
c =
⇔ sin B = 0,41 96
sin 60
sin 17
c =
⇔
⇔ B = 24 99
, 3
2 1
17 c
= ⇔
⇔ c = 19,5 Jadi panjang sisi c adalah 19,5 cm.
2. Aturan Cosinus Perhatikan gambar di bawah :
2 13 5
A B
C
9 - x x
9
Pada ΔABC, diketahui AB = 9 cm, BC = 5 cm, dan AC = 2 13 cm.
Hitunglah besar ∠B.
Soal tersebut tidak dapat diselesaikan dengan aturan sinus. Untuk itu perhatikan langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut :
Kita buat garis bantu atau garis tinggi dari C ke sisi AB, CD ⊥ AB.
Misalkan BD = x cm, maka AD = 9 – x cm. Pada
ΔBDC, CD
2
= 25 – x
2
dan x = 5 cos B maka
CD
2
= 25 – 25 cos
2
B…………………………..1 Pada
ΔADC, CD
2
= 52 – 9 – x
2
= 52 – 81 + 18x – x
2
= -29 + 90 cos B – 25 cos
2
B………………2 Dari 1 dan 2 :
-29 + 90 cos B – 25 cos
2
B = 25 – 25 cos
2
B ⇔ 90 cos B = 54
⇔ cos B = 0,6 Jadi besar sudut B adalah 53
. Ternyata kita memerlukan rumus baru untuk mempermudah dalam
perhitungan, yang disebut aturan cosinus, untuk setiap segitiga ABC berlaku : a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc cos A b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac cos B c
2
= a
2
+ b
2
– 2ab cos C
Bukti :
b a
A D
B c
1 Misalkan AD = x, maka BD = c - x 2 Pada
ΔADC, CD
2
= b
2
– x
2
1 3 Pada
ΔBDC, CD
2
= a
2
– c – x
2
= a
2
– c
2
+ 2cx – x
2
2 4 Dari 1 dan 2, b
2
– x
2
= a
2
– c
2
+ 2cx – x
2
b
2
= a
2
– c
2
+ 2cx a
2
= b
2
+ c
2
– 2cx 3
5 Pada ΔADC, cos A =
b x
⇔ x = b cos A 4
6 Dari 3 dan 4, diperoleh : a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc cos A 7 Jadi aturan cosinus dalam
ΔABC secara lengkap adalah : a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc cos A b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac cos B c
2
= a
2
+ b
2
– 2ab cos C C
Contoh : Dalam
ΔABC, a = 5 cm, b = 6 cm, dan ∠C = 60 . Hitung panjang sisi c
Jawab :
6 5
A B
c
2
= a
2
+ b
2
– 2ab cos C = 5
2
+ 6
2
– 2. 5. 6. cos 60 = 25 + 36 – 60. ½
= 25 + 36 - 30 = 31
c = 5,57 Jadi panjang sisi c adalah 5,57 cm.
3. Luas daerah Segitiga Dalam sebarang
ΔABC berlaku rumus luas L. L
ΔABC = ½ ab sin C = ½ ac sin B = ½ bc sin A Bukti :
C C
b a
b a
A D B D
A c
B c
C 60
i ii
1 L ΔABC = ½ AB. CD
1 2 Pada gambar i, sin A =
b CD
⇔ CD = b sin A 2
3 Dari 1 dan 2, L ΔABC = ½ AB. b sin A
= ½ c. b sin A = ½ bc sin A
4 Pada gambar ii, sin DAC = b
CD
⇔ CD = b sin DAC =
b sin
180 -A
= b
sin A
3 5 Dari 1 dan 3, L
ΔABC = ½ AB. b sin A = ½ c. b sin A
= ½ bc sin A 6 Jadi luas segitiga adalah setengah hasil kali dua sisi dengan sinus sudut
apitnya. 7 Dengan cara yang sama maka diperoleh L
ΔABC = ½ ac sin B = ½ ab sin C
Contoh : Dalam
ΔABC, a = 30 cm, b = 14 cm, dan ∠C = 60 . Hitung luas daerah
ΔABC Jawab :
14 30
A B
L ΔABC = ½ ab sin C
= ½ . 30. 14 sin 60 = 15. 14. ½ 3
= 105 3 Jadi luas daerah
ΔABC adalah 105 3 cm
2
.
F. Kerangka Berpikir
Kategori