2.19 ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
− =
c d
a b
S disebut matriks optik yang elemen-elemennya bergantung pada sistem optik. Tanda negatif
pada elemen matriks S hanyalah suatu perjanjian Ghatak, 1977: 51. Kalau sinar yang merambat dalam sistem optik hanya mengalami translasi dan
refraksi, maka matriks optik S hanya merupakan perkalian antara matriks translasi dan refraksi.
Dengan demikian matriks optik R
T S
= dan sesuai persamaan 2.7 dan 2.17 diperoleh
1 det
det det
= =
R T
S
atau 2.20
1 =
− ad bc
II.4. Elemen Matriks Lensa Tipis
Untuk menentukan elemen-elemen matriks lensa tipis ditinjau sinar paraksial O’P yang mengalami translasi sejauh D
1
sebelum membentur permukaan lensa di titik P. Sinar
yang jatuh di P akan mengalami refraksi sebelum kemudian bertranslasi dalam lensa menuju titik Q. Sinar yang sampai di titik Q kembali mengalami refraksi sebelum menuju
titik I’ yang berjarak D
2
dari titik Q Gambar 2-6. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
P Q
O’ I’
x
1
x
2
O I
D
2
D
1
Gambar 2-6. Lintasan sinar paraksial dalam lensa tipis Kalau koordinat sinar di titik O’, P, Q, dan I’ masing-masing secara berturut-turut
adalah λ
1,
x
1
, λ’,x’, λ”,x”, dan λ
2,
x
2
, maka ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
= ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛
1 1
1
1 1
x D
x λ
λ
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ x
c d
a b
x
λ λ
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ 1
1
2 2
2
x D
x
λ λ
sehingga 2.21
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
1 1
1 2
2 2
1 1
1 1
x D
c d
a b
D x
λ λ
atau 2.22
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
− +
− +
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
1 1
2 1
2 1
2 1
2 2
x aD
c d
cD D
aD bD
a aD
b x
λ λ
Kalau sinar berasal dari titik objek paraksial x
1
= 0, maka bayangannya juga akan berada pada x
2
= 0, sehingga untuk lensa tipis berlaku
1 2
1 2
= −
− +
d cD
D aD
bD
2.23 yang dikenal sebagai syarat untuk keberadaan objek-bayangan suatu lensa atau sistem optik
Anthony, 1966: 67. Jadi persamaan 2.22 dapat dituliskan kembali dalam bentuk 2.24
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
+ =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
1 1
2 1
2 2
x aD
c a
aD b
x
λ λ
Kalau , maka diperoleh
2
≠ x
1 2
2
x aD
c x
− =
2.25 dengan x
1
dan x
2
masing-masing sebagai tinggi objek atau tinggi jarak lintasan sinar dan tinggi bayangannya atau tinggi lintasan sinar setelah lewat lensa. Jika perbesaran sistem
M didefinisikan sebagai perbandingan antara tinggi bayangan atau tinggi lintasan sinar diukur dari sumbu optik pada jarak tertentu dengan tinggi objek atau jarak lintasan sinar ke
sumbu optik sebelum melewati lensa, atau secara matematis dituliskan
1 2
x x
M =
maka sesuai dengan persamaan 2.25 perbesaran sistem optik lensa tipis diberikan oleh 2.26
2
aD c
M −
=
Dari persamaan 2.20 dan 2.24 diperoleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
2 1
= −
− +
aD c
a aD
b
sehingga
M aD
c aD
b 1
1
2 1
= −
= +
2.27 Jadi secara umum untuk sistem optik dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎛
− =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
1 1
2 2
1 x
M a
M x
λ λ
2.28
Selanjutnya ditinjau sebuah lensa tipis dengan ketebalan t yang terbuat dari bahan transparan dengan indeks bias n dan jari-jari kelengkungan lensa adalah r
1
dan r
2
Gambar 2-7.
P Q
O x
1
x
2
I D
2
D
1
t n
r
1
r
2
Gambar 2-7. Sinar paraksial lewat lensa tipis indeks bias n. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kalau koordinat titik P dan Q secara berturut-turut diberikan oleh λ
1
,x
1
dan λ
2
,x
2
serta mengingat persamaan 2.6 dan 2.18, maka kaitan antara koordinat sinar tersebut diberikan oleh
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
1 1
1 2
2 2
1 1
1 1
1 1
x P
n t
P x
λ λ
2.29
dengan
1 1
1 r
n P
− =
dan
2 2
1 r
n P
− =
2.30 yang dikenal sebagai refraksi lensa yang berada dalam udara dengan indeks bias n = 1. Jika
persamaan 2.29 disederhanakan, maka akan diperoleh matriks sistem optik untuk sebuah lensa tipis sebagai berikut:
2.31
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− =
n t
P n
t n
t P
P P
n t
P S
1 1
1
1 1
2 1
2
Pada keadaan t → 0 pada kasus lensa tipis, matriks lensa pada persamaan 2.31 menjadi
2.32
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
= 1
1
2 1
P P
S
Lensa tipis didefinisikan sebagai lensa yang ketebalannya sangat kecil dibandingkan terhadap besaran-besaran fisis optik seperti jari-jari kelengkungan r, panjang fokus lensa
f jarak objek dan bayangannya Jenkins dan White, 1985: 60. Jadi suatu benda atau objek yang ditempatkan sejauh D
1
di depan suatu sistem optik yang terdiri dari sebuah lensa dengan indeks bias n, tebal lensa t, jari-jari kelengkungan r
1
dan r
2
dan lensa tersebut berada dalam udara dengan indeks bias n =1, akan mempunyai bayangan pada jarak tertentu dari lensa. Dengan menggunakan metode matriks, matriks
sistem optik tersebut dapat dituliskan sebagai 2.33
T S
T O
= dengan T matriks translasi dan S matriks lensa. Untuk sistem optik yang terdiri dari N buah
lensa, matriks sistem optiknya diberikan oleh 2.34
1 1
1
........., T
S T
S T
O
N N
N +
= Persamaan 2.34 sangat berguna untuk menentukan letak lintasan koordinat sinar
yang melewati sistem optik yang tersusun dari N buah lensa yang disusun seri. Elemen matriks sistem optiknya dapat dengan mudah diperoleh secara eksperimen. Sedangakan
secara teoritis elemen matriks dan koordinat lintasan sinar tersebut dapat dihitung dengan menggunakan komputer.
BAB III METODE PENELITIAN
