II.2. Efek Translasi
Ditinjau sinar paraksial yang merambat dalam medium dengan indeks bias n dan berjarak x
1
dari sumbu optik sumbu-Z. Sinar membentuk sudut sebesar
1
terhadap sumbu-Z seperti ditunjukan pada Gambar 2-4. setelah sinar menempuh jarak D yaitu
proyeksi panjang lintasan sinar PM terhadap sumbu-Z koordinat sinar adalah x
2
,
2
.
2
M
1
P X
2
X
1
Z
P’ M’
D
Gambar 2-4. Lintasan dan koordinat sinar dalam medium homogen Jika medium homogen, maka sinar akan merambat lurus dalam medium sehingga diperoleh
1
=
2.
Kalau PP
’
dan MM
’
tegak lurus terhadap sumbu-Z dengan P
’
M
’
= D, maka dari Gambar 2-4 dapat dituliskan
1 1
2
tan x
D x
+ =
α 2.1
Untuk sinar-sinar paraksial sinar yang merambat sejajar dengan sumbu-Z sudut
1
sangat kecil sehingga berlaku
1 1
tan
α α
≈
dengan demikian persamaan 2.1 dapat dituliskan menjadi
1 1
2
x D
x +
=
α 2.2
Dengan mendefinisikan parameter baru, yaitu
1 1
1
α λ
n =
2.3 dan
2 2
2
α λ
n =
2.4 serta mengingat
2 1
α α
=
dan
2 1
n n
=
karena medium homogen, maka dari persamaan 2.2, 2.3, dan 2.4 diperoleh
1 2
λ λ
=
1 1
1 2
x n
D x
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
λ yang dapat dituliskan dalam bentuk matriks
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
1 1
1 2
2
1 1
x n
D x
λ λ
2.5
Jadi, kalau posisi sinar mula-mula adalah λ
1
,x
1
yang kemudian merambat sejauh D dalam medium homogen dengan indeks bias n
1
, maka koordinat sinar diberikan oleh λ
2
,x
2
sebagaimana terlihat pada persamaan 2.5. Matriks yang menghubungkan koordinat λ
1
,x
1
dan λ
2
,x
2
disebut matriks translasi T. Matriks translasi tersebut adalah
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= 1
1
1
n D
T
2.6
Dari persamaan 2.6 diperoleh determinan matriks translasi det T bernilai 2.7
1 det
= T
II.3. Efek Refraksi
Ditinjau sinar AP membentur permukaan sferis pada titik P yang merupakan perbatasan dua medium yang mempunyai indeks bias yang berbeda tetapi transparan
dengan indeks bias masing-masing n
1
dan n
2
, dan PB sebagai lintasan sinar sesudah mengalami refraksi Gambar 2-5. Dari Gambar 2-5 tersebut dapat diketahui bahwa sinar
yang merambat dalam medium yang mempunyai indeks bias yang berbeda dengan indeks bias medium sebelumnya akan mengalami perubahan arah rambat dengan syarat bahwa
sinar yang jatuh pada suatu permukaan membentuk sudut dengan garis normal bidang serta sudut tesebut tidak lebih besar dari sudut kritis.
Sesuai dengan hukum Snellius, sinar yang merambat suatu medium dengan indeks bias n
1
dan membentuk sudut θ
1
terhadap garis normal bidang permukaan, maka sinar tersebut akan dibiaskan dengan sudut
θ
2
pada medium dengan indeks bias n
2
atau secara matematis dituliskan
2 2
1 1
sin sin
θ θ
n n
=
2.8 Kalau sudut
θ sangat kecil merupakan syarat pada pendekatan sinar paraksial, maka dapat dituliskan
θ θ ≈
sin sehingga persamaan 2.8 dapat dituliskan menjadi
2 2
1 1
θ θ
n n
≈ 2.9
dan dari Gambar 2-5 diperoleh
B
r A
P
φ
2
θ
1
x
n
1
n
2
C
1
φ θ
2
Gambar 2-5. Refraksi sinar pada permukaan sferis PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1 1
α φ
θ
+ =
2.10a
2 2
α φ
θ
+ =
2.10b serta sesuai dengan pengandaian yang dipilih bahwa sinar yang merambat atau mengalami
translasi dan refraksi adalah sinar-sinar paraksial, maka dapat dituliskan φ
φ ≈ tan
sehingga
r x
=
φ 2.11
maka diperoleh
2 2
1 1
α φ
α φ
+ ≈
+ n
n
atau r
n n
x n
n
1 2
1 1
2 2
− −
≈ α
α 2.12
Kalau dilakukan substitusi persamaan 2.3 dan 2.4 ke dalam persamaan 2.12 akan diperoleh
Px −
=
1 2
λ λ
2.13 dengan
r n
n P
1 2
− =
2.14 dengan P sebagai kuat refraksi permukaan atau bidang batas dua medium yang berbeda
indeks biasnya. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Pada bidang batas, yaitu di titik P Gambar 2-5, tinggi sinar sebelum dan sesudah refraksi sama x
1
= x
2
, dan dari persamaan 2.13, maka koordinat sinar setelah refraksi diberikan oleh
2.15
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
1 1
2 2
1 1
x P
x
λ λ
Jadi matriks refraksi R diberikan oleh 2.16
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− =
1 1
P R
Dari persamaan 2.16 terlihat bahwa determinan matriks refraksi bernilai satu atau secara matematis dituliskan
2.17 1
det =
R Dengan melihat hasil yang diperoleh dari perumusan efek translasi dan refraksi
tersebut dapat dinyatakan bahwa sistem optik yang dilewati oleh sinar dapat ditampilkan dalam bentuk suatu matriks yang merupakan perkalian dari matriks translasi dan matriks
refraksi. Jika koordinat sinar yang masuk ke sistem optik adalah
,
1 1
x
λ dan koordinat sinar
saat meninggalkan sistem optik adalah
2 2
, x
λ , maka kaitan antara kedua koordinat
tersebut diberikan oleh matriks 2.18
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
1 1
2 2
x c
d a
b x
λ λ
dengan matriks PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2.19 ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
− =
c d
a b
S disebut matriks optik yang elemen-elemennya bergantung pada sistem optik. Tanda negatif
pada elemen matriks S hanyalah suatu perjanjian Ghatak, 1977: 51. Kalau sinar yang merambat dalam sistem optik hanya mengalami translasi dan
refraksi, maka matriks optik S hanya merupakan perkalian antara matriks translasi dan refraksi.
Dengan demikian matriks optik R
T S
= dan sesuai persamaan 2.7 dan 2.17 diperoleh
1 det
det det
= =
R T
S
atau 2.20
1 =
− ad bc
II.4. Elemen Matriks Lensa Tipis
Kategori