Fungsi Keanggotaan Teori Himpunan Fuzzy

dalam jaringan jalan, perbedaan kendaraan, time windows, dan perbedaan tipe dari permintaan pelanggan pick-up atau delivery. Selain itu, beberapa ketidakpastian juga dapat dipertimbangkan, seperti ketidakpastian dalam permintaan dan waktu perjalanan. Beberapa contoh varian dari vehicle routing problem adalah vehicle routing problem with time windows, vehicle routing problem with backhaul, vehicle routing problem with pick-up and delivery, dan stochastic vehicle routing problem.

2.2 Teori Himpunan Fuzzy

Dalam mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas, Zadeh mengaitkan himpunan semacam itu dengan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian unsur-unsur dalam semestanya dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Fungsi tersebut dapat dikatakan sebagai fungsi keanggotaan dan fungsi tersebut juga dapat dikatakan sebagai derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan. Hal ini untuk selanjutnya disebut sebagai himpunan fuzzy. Maka dapat dikatakan setiap unsur dalam semesta memiliki derajat keanggotaan tertentu dalam himpunan tersebut. Derajat keanggotaan dinyatakan dengan suatu bilangan real dalam selang tertutup [0,1]. Dengan perkataan lain, fungsi keanggotaan dari suatu himpunan fuzzy A � dalam � adalah pemetaan � Ã � dari � ke selang [0,1], yaitu � Ã : � → [0,1]. Nilai fungsi � Ã � menyatakan derajat keanggotaan unsur � Є � dalam himpunan fuzzy A �. Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, dan nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan sama sekali bukan anggota himpunan fuzzy tersebut. Maka himpunan tegas juga dapat dikatakan sebagai kejadian khusus dari himpunan fuzzy, yaitu himpunan fuzzy yang fungsi keanggotaannya hanya bernilai 0 atau 1 saja. Jadi fungsi keanggotaan dari suatu himpunan tegas � dalam semesta � adalah pemetaan dari � ke himpunan {0,1}.

2.2.1 Fungsi Keanggotaan

Secara matematis suatu himpunan fuzzy A � dalam semesta � dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurut: Universitas Sumatera Utara �̃ = ���, � A� ��|� ∈ �� 2.8 di mana � A� adalah fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy �̃, yang merupakan suatu pemetaan dari himpunan semesta � ke selang tertutup [0,1]. Apabila semesta � adalah himpunan yang kontinu, maka himpunan fuzzy �̃ dinyatakan dengan: �̃ = � � �� � � �∈� 2.9 di mana lambang ʃ di sini bukan lambang integral seperti dalam kalkulus, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur � ∈ � bersama dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan fuzzy �̃. Apabila semesta � adalah himpunan yang diskrit, maka himpunan fuzzy �̃ dinyatakan dengan: �̃ = � � �� � � �∈� 2.10 di mana lambang ∑ di sini tidak melambangkan operasi jumlahan seperti dalam aritmatika, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur � ∈ � bersama dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan fuzzy �̃. Pendukung support dari suatu himpunan fuzzy �̃, yang dilambangkan dengan �����̃, adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang mempunyai derajat keanggotaan tidak nol dalam �̃, yaitu: ������̃� = {� ∈ � | � �� � 0} 2.11 Tinggi height dari suatu himpunan fuzzy �̃, yang dilambangkan dengan �������̃, didefinisikan sebagai: ��������̃� = sup �∈� { � �� �} 2.12 Universitas Sumatera Utara Teras core dari suatu himpunan fuzzy �̃, yang dilambangkan dengan ������̃, adalah himpunan semua unsur dari semestanya yang mempunyai derajat keanggotaannya sama dengan 1, yaitu: �������̃� = {� ∈ � | � �� � = 1} 2.13 Pusat dari suatu himpunan fuzzy didefinisikan sebagai berikut: jika nilai purata dari semua titik di mana fungsi keanggotaan himpunan fuzzy itu mencapai nilai maksimum adalah berhingga, maka pusat himpunan fuzzy itu adalah nilai purata tersebut. Jika nilai purata itu tak hingga positif, maka pusat himpunan fuzzy itu adalah yang terkecil di antara semua titik yang mencapai nilai fungsi keanggotaan maksimum. Dan begitu pun sebaliknya jika nilai purata itu tak hingga negatif, maka pusat himpunan fuzzy itu adalah yang terbesar di antara semua titik yang mencapai nilai fungsi keanggotaan maksimum. Dua buah himpunan fuzzy �̃ dan �� dalam semesta � dikatakan sama ��̃ = ���, jika dan hanya jika � �� � = � �� � 2.14 untuk setiap � ∈ �. Himpunan fuzzy �̃ dikatakan merupakan himpunan bagian dari himpunan fuzzy ����̃ ⊆ ���, jika dan hanya jika � �� � ≤ � �� � 2.15 untuk setiap � ∈ �. Jadi �̃ = �� jika dan hanya jika �̃ ⊆ �� dan �� ⊆ �̃. Fungsi keanggotaan trapesiumtrapezoidal merupakan salah satu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy yang mempunyai empat buah parameter, yaitu a, b, c, d ∈ ℝ dengan a b c d, dan dinyatakan dengan trapesium x; a, b, c, d dengan aturan: �� = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ � − � � − � untuk � ≤ � ≤ � 1 untuk � ≤ � ≤ � � − � � − � untuk � ≤ � ≤ � 0 untuk lainnya Universitas Sumatera Utara Fungsi keanggotaan tersebut dapat diformulasikan sebagai berikut: Trapesium �; �, �, �, � = ��� ���� � � − � � − � , 1, � − � � − �� , 0 � 2.16 Berikut gambar yang memperlihatkan fungsi keanggotaan trapesium x; a, b, c, d. �� 1 � � � � � Gambar 2.2 Fungsi Keanggotaan Bilangan Fuzzy Trapezoidal

2.2.2 Penegasan Defuzzifikasi