26 persaman differensial dengan induktansi yang bervariasi terhadap waktu. Persaman
tersebut menjadi:
r sr
r sr
qs s
s qs
Cos i
p L
Sin i
p L
i p
L R
v θ
θ
β α
− +
+ =
………..…….2.41
r sr
r sr
ds s
s ds
Sin i
p L
Cos i
p L
i p
L R
v θ
θ
β α
+ +
+ =
………...…….2.42
α α
θ θ
i p
L R
Cos i
p L
Sin i
p L
v
rr rr
r ds
sr r
qs sr
+ +
+ =
………..……2.43
β β
θ θ
i p
L R
Sin i
p L
Cos i
p L
v
rr rr
r ds
sr r
qs sr
+ +
+ −
= ...………….2.44
dengan: =
= =
d q
s
R R
R tahanan stator
= =
=
β α
R R
R
rr
tahanan rotor L
rr
= induktansi rotor =
s
L induktansi stator
L
sr
= induktansi bersama kumparan stator dengan rotor Persamaan 2.41 sd 2.44 berubah-ubah menurut waktu karena dipengaruhi oleh
posisi sesaat rotor
r
θ . Oleh karena itu untuk mempermudah menganalisis performansi motor dibutuhkan persamaan yang lebih sederhana yang besarnya tidak
tergantung pada posisi rotor.
2.8.2 Transformasi Untuk Memperoleh Matriks yang Konstan
Transformasi untuk memperoleh induktansi yang konstan diperoleh dengan cara menggantikan model motor yang sebenarnya aktual dengan model khayalan
pada koordinat d, q seperti ditunjukkan pada Gambar 2.16.
Jeremia Purba : Simulasi Pengaturan Kecepatan Motor Induksi Tiga Phasa Dengan Direct Torque Control Dengan Menggunakan Matlab 7.0.1, 2009.
USU Repository © 2009
27 Gambar 2.16 Transformasi variabel rotor dari nilai aktual ke nilai khayalan
Pada proses ini nilai khayalan rotor setiap phasa-nya memiliki jumlah belitan yang sama dan juga menghasilkan mmf magnetomotif force yang sama dengan
kumparan aktual rotor. Dengan memproyeksikan kumparan α dan
β ke sumbu d-axis dan q-axis, maka akan didapatkan arus pada kumparan khayalan
drr
i dan
qrr
i persamaan 2.45
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− =
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
β α
θ θ
θ θ
i i
Cos Sin
Sin Cos
i i
r r
r r
qrr drr
……............……………2.45
Transformasi ini berlaku untuk tegangan, arus dan fluks linkages pada sebuah mesin. Persamaan 2.45 ditulis menjadi:
[ ]
αβ αβ
i T
i
dqrr
= .………………………………………..2.46
dengan
[ ]
t qrr
drr dqrr
i i
i =
.……………………………………….2.47
[ ]
t
i i
i
β α
αβ
=
..…………………………...…………...2.48
dan
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− =
r r
r r
Cos Sin
Sin Cos
T
θ θ
θ θ
αβ
………………………………2.49
q-axis
qrr
v
ds
v
ds
i
drr
i
1
T
2
T
2
T
α
v α
i
β
i
β
v
2
T
qs
i
qrr
i
drr
v
r
θ
Stator
Rotor
1
T
2
T
qs
v
α
β
+ −
+ −
− +
+ −
+ −
+
−
d-axis
Jeremia Purba : Simulasi Pengaturan Kecepatan Motor Induksi Tiga Phasa Dengan Direct Torque Control Dengan Menggunakan Matlab 7.0.1, 2009.
USU Repository © 2009
28 Transformasi dari bentuk
α - β axis ke d-q axis berlaku juga untuk sebaliknya karena:
1 −
=
αβ αβ
T T
..……………………………………………...2.50 Dengan demikian diperoleh:
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− =
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
qrr drr
r r
r r
i i
Cos Sin
Sin Cos
i i
θ θ
θ θ
β α
………………………..2.51
dan untuk persamaan tegangan diperoleh:
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− =
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
qrr drr
r r
r r
v v
Cos Sin
Sin Cos
v v
θ θ
θ θ
β α
……………………...2.52
dengan memasukkan transformasi pada persamaan 2.45 ini kedalam persamaan 2.41 dan 2.42 didapatkan
p L
i p
L R
v
sr qs
s s
qs
+ +
=
qrr
i …………...…….……2.53
drr sr
ds s
s ds
i p
L i
p L
R v
+ +
= …………………...…..2.54
dengan memasukkan nilai
α
i dari persaman 2.51 kedalam persamaan 2.43 didapatkan
[ ]
r qrr
r drr
rr rr
r ds
sr r
qs sr
Sin i
Cos i
p L
R Cos
i p
L Sin
i p
L v
θ θ
θ θ
α
+ +
+ +
=
= +
− +
+
r r
ds sr
ds r
sr r
r qs
sr qs
r sr
Sin i
L pi
Cos L
Cos i
L pi
Sin L
θ θ
θ θ
θ θ
[ ]
r qrr
r drr
rr
Sin i
Cos i
R θ
θ +
r r
drr rr
drr r
rr
Sin i
L pi
Cos L
θ θ
θ −
+
qrr r
rr
pi Sin
L θ
+
r r
qrr rr
Cos i
L
θ θ
+
=
α
v
[ ]
+ +
+ −
−
r qrr
rr rr
drr r
rr ds
r sr
qs sr
Sin i
p L
R i
L i
L pi
L
θ θ
θ
[ ]
r drr
rr rr
qrr r
rr ds
sr qs
r sr
Cos i
L R
i L
pi L
i L
θ θ
θ +
+ +
+ …………..2.55
dengan,
r
θ adalah turunan dari
r
θ terhadap waktu. Dari persamaan transformasi 3.53 bahwa
r qrr
r drr
Sin v
Cos v
v θ
θ
α
+ =
sehingga: =
drr
v
[ ]
drr rr
rr qrr
r rr
ds sr
qs r
sr
i L
R i
L pi
L i
L +
+ +
+ θ
θ ………………...2.56
Jeremia Purba : Simulasi Pengaturan Kecepatan Motor Induksi Tiga Phasa Dengan Direct Torque Control Dengan Menggunakan Matlab 7.0.1, 2009.
USU Repository © 2009
29 =
qrr
v
[ ]
qrr rr
rr drr
r rr
ds r
sr qs
sr
i p
L R
i L
i L
pi L
+ +
− −
θ θ
………………..2.57 Dari 2.53, 2.54 ,2.56 dan 2.57 persamaan vektor tegangan tersebut dituliskan
dalam bentuk matriks yaitu:
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
+ −
+ −
+ +
= ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
p L
R L
p L
L L
p L
R L
p L
p L
p L
R p
L p
L R
v v
v v
rr rr
r rr
sr sr
r rr
rr rr
r sr
sr sr
s s
sr s
s
drr qrr
ds qs
θ θ
θ θ
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
drr qrr
ds qs
i i
i i
...….2.58
Seperti halnya pada rangkaian ekivalen trafo, jika dilihat dari sisi stator persamaan 2.58 menjadi:
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
+ −
+ −
+ +
= ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
p L
R L
p L
L L
p L
R L
p L
p L
p L
R p
L p
L R
v v
v v
r r
r r
m m
r r
r r
r m
m m
s s
m s
s
dr qr
ds qs
θ θ
θ θ
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
dr qr
ds qs
i i
i i
...……...2.59
dengan:
rr r
R a
R
2
= ,
a i
i
qrr qr
= ,
qrr qr
v a
v =
,
2 1
T T
a =
rr r
L a
L
2
= ,
a i
i
drr dr
=
,
drr dr
v a
v =
,
sr m
aL L
=
Persaman 2.59 menunjukkan bahwa vektor tegangan merupakan perkalian matriks impedansi dengan vektor arus. Disini induktansi pada matriks impedansi konstan dan
tidak tergantung lagi pada posisi rotor. Sebagian elemen matriks impedansi bergantung pada kecepatan rotor, sehingga persamaan 2.59 linier jika matriks impedansi konstan.
Matriks impedansi yang konstan terjadi jika kecepatan konstan steady state. Jika kecepatan rotor berubah-ubah dinamik sehingga perubahan ini bergantung kepada
arus maka persamaan tersebut menjadi nonlinier.
Jeremia Purba : Simulasi Pengaturan Kecepatan Motor Induksi Tiga Phasa Dengan Direct Torque Control Dengan Menggunakan Matlab 7.0.1, 2009.
USU Repository © 2009
30
2.8.3 Transformasi Tiga Phasa ke Dua Phasa