Transformasi Untuk Memperoleh Matriks yang Konstan

26 persaman differensial dengan induktansi yang bervariasi terhadap waktu. Persaman tersebut menjadi: r sr r sr qs s s qs Cos i p L Sin i p L i p L R v θ θ β α − + + = ………..…….2.41 r sr r sr ds s s ds Sin i p L Cos i p L i p L R v θ θ β α + + + = ………...…….2.42 α α θ θ i p L R Cos i p L Sin i p L v rr rr r ds sr r qs sr + + + = ………..……2.43 β β θ θ i p L R Sin i p L Cos i p L v rr rr r ds sr r qs sr + + + − = ...………….2.44 dengan: = = = d q s R R R tahanan stator = = = β α R R R rr tahanan rotor L rr = induktansi rotor = s L induktansi stator L sr = induktansi bersama kumparan stator dengan rotor Persamaan 2.41 sd 2.44 berubah-ubah menurut waktu karena dipengaruhi oleh posisi sesaat rotor r θ . Oleh karena itu untuk mempermudah menganalisis performansi motor dibutuhkan persamaan yang lebih sederhana yang besarnya tidak tergantung pada posisi rotor.

2.8.2 Transformasi Untuk Memperoleh Matriks yang Konstan

Transformasi untuk memperoleh induktansi yang konstan diperoleh dengan cara menggantikan model motor yang sebenarnya aktual dengan model khayalan pada koordinat d, q seperti ditunjukkan pada Gambar 2.16. Jeremia Purba : Simulasi Pengaturan Kecepatan Motor Induksi Tiga Phasa Dengan Direct Torque Control Dengan Menggunakan Matlab 7.0.1, 2009. USU Repository © 2009 27 Gambar 2.16 Transformasi variabel rotor dari nilai aktual ke nilai khayalan Pada proses ini nilai khayalan rotor setiap phasa-nya memiliki jumlah belitan yang sama dan juga menghasilkan mmf magnetomotif force yang sama dengan kumparan aktual rotor. Dengan memproyeksikan kumparan α dan β ke sumbu d-axis dan q-axis, maka akan didapatkan arus pada kumparan khayalan drr i dan qrr i persamaan 2.45 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ β α θ θ θ θ i i Cos Sin Sin Cos i i r r r r qrr drr ……............……………2.45 Transformasi ini berlaku untuk tegangan, arus dan fluks linkages pada sebuah mesin. Persamaan 2.45 ditulis menjadi: [ ] αβ αβ i T i dqrr = .………………………………………..2.46 dengan [ ] t qrr drr dqrr i i i = .……………………………………….2.47 [ ] t i i i β α αβ = ..…………………………...…………...2.48 dan ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = r r r r Cos Sin Sin Cos T θ θ θ θ αβ ………………………………2.49 q-axis qrr v ds v ds i drr i 1 T 2 T 2 T α v α i β i β v 2 T qs i qrr i drr v r θ Stator Rotor 1 T 2 T qs v α β + − + − − + + − + − + − d-axis Jeremia Purba : Simulasi Pengaturan Kecepatan Motor Induksi Tiga Phasa Dengan Direct Torque Control Dengan Menggunakan Matlab 7.0.1, 2009. USU Repository © 2009 28 Transformasi dari bentuk α - β axis ke d-q axis berlaku juga untuk sebaliknya karena: 1 − = αβ αβ T T ..……………………………………………...2.50 Dengan demikian diperoleh: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ qrr drr r r r r i i Cos Sin Sin Cos i i θ θ θ θ β α ………………………..2.51 dan untuk persamaan tegangan diperoleh: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ qrr drr r r r r v v Cos Sin Sin Cos v v θ θ θ θ β α ……………………...2.52 dengan memasukkan transformasi pada persamaan 2.45 ini kedalam persamaan 2.41 dan 2.42 didapatkan p L i p L R v sr qs s s qs + + = qrr i …………...…….……2.53 drr sr ds s s ds i p L i p L R v + + = …………………...…..2.54 dengan memasukkan nilai α i dari persaman 2.51 kedalam persamaan 2.43 didapatkan [ ] r qrr r drr rr rr r ds sr r qs sr Sin i Cos i p L R Cos i p L Sin i p L v θ θ θ θ α + + + + = = + − + + r r ds sr ds r sr r r qs sr qs r sr Sin i L pi Cos L Cos i L pi Sin L θ θ θ θ θ θ [ ] r qrr r drr rr Sin i Cos i R θ θ + r r drr rr drr r rr Sin i L pi Cos L θ θ θ − + qrr r rr pi Sin L θ + r r qrr rr Cos i L θ θ + = α v [ ] + + + − − r qrr rr rr drr r rr ds r sr qs sr Sin i p L R i L i L pi L θ θ θ [ ] r drr rr rr qrr r rr ds sr qs r sr Cos i L R i L pi L i L θ θ θ + + + + …………..2.55 dengan, r θ adalah turunan dari r θ terhadap waktu. Dari persamaan transformasi 3.53 bahwa r qrr r drr Sin v Cos v v θ θ α + = sehingga: = drr v [ ] drr rr rr qrr r rr ds sr qs r sr i L R i L pi L i L + + + + θ θ ………………...2.56 Jeremia Purba : Simulasi Pengaturan Kecepatan Motor Induksi Tiga Phasa Dengan Direct Torque Control Dengan Menggunakan Matlab 7.0.1, 2009. USU Repository © 2009 29 = qrr v [ ] qrr rr rr drr r rr ds r sr qs sr i p L R i L i L pi L + + − − θ θ ………………..2.57 Dari 2.53, 2.54 ,2.56 dan 2.57 persamaan vektor tegangan tersebut dituliskan dalam bentuk matriks yaitu: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ p L R L p L L L p L R L p L p L p L R p L p L R v v v v rr rr r rr sr sr r rr rr rr r sr sr sr s s sr s s drr qrr ds qs θ θ θ θ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ drr qrr ds qs i i i i ...….2.58 Seperti halnya pada rangkaian ekivalen trafo, jika dilihat dari sisi stator persamaan 2.58 menjadi: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ p L R L p L L L p L R L p L p L p L R p L p L R v v v v r r r r m m r r r r r m m m s s m s s dr qr ds qs θ θ θ θ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ dr qr ds qs i i i i ...……...2.59 dengan: rr r R a R 2 = , a i i qrr qr = , qrr qr v a v = , 2 1 T T a = rr r L a L 2 = , a i i drr dr = , drr dr v a v = , sr m aL L = Persaman 2.59 menunjukkan bahwa vektor tegangan merupakan perkalian matriks impedansi dengan vektor arus. Disini induktansi pada matriks impedansi konstan dan tidak tergantung lagi pada posisi rotor. Sebagian elemen matriks impedansi bergantung pada kecepatan rotor, sehingga persamaan 2.59 linier jika matriks impedansi konstan. Matriks impedansi yang konstan terjadi jika kecepatan konstan steady state. Jika kecepatan rotor berubah-ubah dinamik sehingga perubahan ini bergantung kepada arus maka persamaan tersebut menjadi nonlinier. Jeremia Purba : Simulasi Pengaturan Kecepatan Motor Induksi Tiga Phasa Dengan Direct Torque Control Dengan Menggunakan Matlab 7.0.1, 2009. USU Repository © 2009 30

2.8.3 Transformasi Tiga Phasa ke Dua Phasa