54 Gambar 32. Ada Paling Sedikit Dua Garis Parallel, Salah Satunya Membentuk
Sudut Lancip
Jika diperhatikan pada Gambar 32, misal adalah sebuah garis sedemikian
hingga berada pada dan
⃡ , dan . Dengan menggunakan Postulat Kesejajaran Hiperbolik, ada setidaknya sebuah garis
sehingga berbeda dengan
, terletak pada dan . Karena tidak tegaklurus dengan
⃡
, besar sudut antara dan
haruslah kurang dari pada
setengah bidang atau setengah bidang lainya. Ukuran sudut antara dan
bukanlah himpunan beririsan, jadi nilai kritisnya tidak lebih besar dari daripada ukurannya. Oleh karenanya nilai kritis kurang dari 90° dan sudut
kesejajaran adalah lancip.
2. Sinar-sinar Sejajar Asimptotik
Pada Geometri Euclid, berlaku Postulat Kesejajaran Euclid. Hal ini hanya memungkinkan sebuah sebuah garis yang melalui titik
dan sejajar garis . Pada Geometri Hiperbolik, telah dibahas mengenai salah satu jenis kesejajaran yaitu
ultraparalel. Selanjutnya akan dibahas sinar-sinar sejajar asimptotis. Sinar-sinar sejajar asimptotik adalah sinar-sinar yang membentuk sudut kesejajaran. Sinar-
m
P
A
n
55 sinar sejajar asimptotik merupakan klasifikasi kedua dari garis-garis sejajar dalam
Geometri Hiperbolik. Pada subbab ini akan dibahas mengenai sifat-sifat dari sinar-sinar garis
sejajar asimptotik.
Definisi 3.6 Sinar-sinar Sejajar Asimptotik Venema, 2012: 147.
Dua garis dan
dinamakan sinar-sinar garis sejajar asimptotik, ditulis , jika
dan pada setengah bidang yang sama yang dibentuk oleh
⃡
, , dan setiap garis di antara
dan memotong
.
Gambar 33. Sinar Garis Sejajar Asimptotik dengan
Gambar 33 menunjukkan dua sinar sejajar asimptotik yaitu dan
. Sinar garis
dan merupakan sinar yang saling sejajar. Hal tersebut
dijelaskan oleh Teorema 3.9. Gambar 33 juga menunjukkan sudut yang
merupakan sudut kritis sehingga setiap garis yang berada di antara dan
memotong . Sudut
juga merupakan sudut kritis sehingga setiap garis yang berada di antara
dan memotong
. Selanjutnya akan dibahas mengenai garis-garis sejajar asimptotik
merupakan garis-garis yang sejajar.
Teorema 3.9 Venema, 2012: 145.
Jika , maka
⃡ ⃡
.
56 Bukti:
Misalkan dan
adalah dua sinar garis sedemikian hingga .
Jika diperhatikan pada Gambar 34, andaikan ada sebuah titik yang berada
di antara dan
. Dipilih titik
dan sehingga berlawanan
dengan dan
berlawanan dengan .
dan berada pada setengah bidang yang sama yang dibatasi
⃡
. Jadi dan keduanya berada di
setengah bidang yang lainya dari
⃡
. Karenanya Teorema 2.2 atau Teorema-Z berimplikasi bahwa
dan .
Terdapat , jadi itu menjadi sebuah kejadian bahwa berada
pada sinar garis dan berada pada
.
Gambar 34. Titik Q berada di antara dan
Dengan menggunakan Teorema Sudut Luar Teorema 2.7, didapat Karenanya ada sinar
antara dan
sehingga . Dengan teorema sudut bersesuaian,
⃡ ⃡
, jadi . Terdapat kontradiksi terhadap fakta
adalah sinar garis sejajar asimptotik untuk dan pembuktian selesai.
57 Berdasarkan Definisi 3.6 mengenai sinar-sinar sejajar asimptotik, muncul
sifat bahwa jika sejajar asimptotik dengan
, maka sejajar asimptotik
dengan . Sifat-sifat yang demikian disebut sifat simetri dari sinar-sinar sejajar
asimptotik.
Teorema 3.10 Sifat Simetri Kesejajaran Venema, 2012: 145.
Jika , maka
. Bukti:
Misal dan
adalah sinar garis sedemikian sehingga . Dengan
pembuktian tak langsung bahwa setiap sinar antara dan
haruslah memotong
. Andaikan ada sebuah sinar garis berada di antara
dan sehingga
.
Gambar 35. Sudut dan merupakan Sudut Kritis
Ambil sebuah titik pada
sedemikian hingga .
Garis berada di antara
dan ,
merupakan interior untuk dan oleh karenanya
dan berada pada setengah bidang yang sama yang dibentuk
⃡
. Hal tersebut berarti dan berada pada setengah bidang
yang sama. Didapat
̅̅̅̅
, jadi
̅̅̅̅
tidak berpotongan dengan sinar garis
. Menggunakan Teorema Z Teorema 2.2 diaplikasikan untuk garis
⃡
. Ruas garis ̅̅̅̅ tidak berpotongan dengan sinar garis yang berlawanan
58 dengan
juga, jadi dan berada pada setengah bidang yang sama yang
dibatasi oleh garis
⃡
. Titik adalah interior , dengan demikian
sinar berpotongan dengan
di titik menurut Definisi 3.6 mengenai
garis sejajar asimptotik. Karena
adalah interior bagi , Menggunakan Teorema 2.4 diperoleh
, karenanya adalah sudut interior untuk dimana ukuran sudutnya lebih kecil dari pada sudut dalam jauh yaitu
. Hal ini berlawanan dengan Teorema Sudut Luar, jadi pengandaian ditolak.
Selain sifat simetri, garis-garis sejajar asimptotik memiliki sifat transitif. Teorema 3.11 merupakan sifat transitif dari garis-garis sejajar asimptotik.
Pembuktian dari sifat ini tidak dibahas dalam pembahasan karena kerumitan dan terdapat beberapa lemma yang harus dipenuhi.
Teorema 3.11 Sifat Transitif Kesejajaran Venema, 2012: 147.
Jika ,
dan adalah tiga sinar sedemikian hingga
dan ,
maka atau
dan adalah sinar garis yang ekuivalen.
Selanjutnya akan dibahas Teorema 3.12 mengenai eksistensi keberadaan dan ketunggalan sinar-sinar sejajar asimptotik.
Teorema 3.12 Eksistensi dan Ketunggalan Sinar-sinar Sejajar Asimptotik
Venema, 2012: 147. Jika
adalah sebuah sinar garis dan adalah sebuah sebuah titik yang tidak
berada pada
⃡
, maka ada sebuah sinar garis tunggal sehingga
. Sifat selanjutnya dari garis-garis sejajar asimptotik adalah terdapatnya
akibat dari dua garis sejajar yang memiliki dan tidak memiliki garis tegak lurus persekutuan. Telah dibahas pada subbab sebelumnya mengenai garis tegak lurus
persekutuan. Garis-garis sejajar yang memiliki garis tegaklurus persekutuan
59 bukanlah garis-garis yang sejajar asimptotik melainkan garis-garis ultraparallel.
Hal tersebut ditegaskan dalam Teorema 3.13 berikut. Teorema 3.13
Venema, 2013: 152.
Jika dan m memikiki sebuah garis tegaklurus perpotongan maka keduanya
bukan garis-garis yang sejajar asimptotik. Sebagai konsekuensinya garis-garis sejajar yang tidak memiliki garis tegak
lurus persekutuan merupakan garis-garis sejajar asimptotik. Hal tersebut merupakan kontrapositif dari Teorema 3.13 yang dinyatakan dengan Teorema
3.14.
Teorema 3.14 Venema, 2013: 152.
Jika dan m garis-garis yang sejajar asimptotik, maka dan m tidak memiliki
garis tegaklurus persekutuan. Teorema 3.13 dan 3.14 menunjukan dua bentuk klasifikasi dari garis
sejajar. Klasifikasi pertama adalah dua garis sejajar asimptotik tidak memiliki tegak lurus persekutuan. Klasifikasi kedua adalah dua garis sejajar yang memiliki
garis tegak lurus persekutuan ia bukan garis-garis sejajar asimptotik. Pembuktian Teorema 3.13 dan Teorema 3.14 disajikan dalam Lampiran 1.
Tidak semua garis-garis yang sejajar dalam Geometri Hiperbolik memiliki garis tegak lurus persekutuan, garis-garis sejajar yang tidak memiliki garis tegak
lurus persekutuan merupakan garis-garis sejajar asimptotik. Garis-garis asimptotik dan sifat-sifatnya adalah dasar dari bentuk geometri yaitu segitiga. Segitiga yang
dimaksud adalah segitiga asimptotik.
C. Segitiga Asimptotik pada Geometri Hiperbolik
