Andaikan adalah himpunan bagian dari dan Diambil sebuah titik sedemikian hingga dan definisikan

48 Gambar 27. Konstruksi Himpunan Beririsan untuk dan Sesuai dengan Definisi 3.2 mengenai himpunan , Gambar 27 menggambarkan konstruksi dari himpunan beririsan . Sudut adalah sudut yang dibentuk oleh dan . Dapat diamati bahwa K dan . Jadi adalah subset dari interval . Pada faktanya Teorema 3.5 memperlihatkan bahwa adalah interval setengah terbuka dari rumus . Bagian pertama Teorema 3.5 berikut mengindikasikan bahwa adalah sebuah interval dan bagian dua teorema memperlihatkan interval tersebut terbuka kanan. Teorema 3.5 Venema, 2012: 141. Misalkan K adalah irisan untuk dan . Jika , 1. 2. Bukti:

1. Andaikan adalah himpunan bagian dari dan

dan beberapa nilai dalam . Misalkan R adalah sebuah titik dimana memotong lihat Gambar 28. Jika , maka berada di antara dan = . Jadi memotong ̅̅̅̅ di titik dan berada pada himpunan bagian. P B A 49

2. Diambil sebuah titik sedemikian hingga dan definisikan

. Karena didapat . Selain itu, menggunakan postulat protractor didapat . Definisi 3.3 Venema, 2012: 141. Pada Teorema 3.5, berada pada sebuah interval terbuka . Bilangan dinamakan nilai kritis untuk dan Gambar 28. Ilustrasi dari Himpunan Beririsan pada Sinar Garis Gambar 28 menjelaskan bahwa adalah interval setengah terbuka dari rumus . Bilang kritis dalam artian bahwa sebarang sinar garis dari yang membentuk sudut kurang dari dengan berpotongan dengan sedangkan sebuah sinar garis yang membuat sudut lebih dari tidak akan berpotongan dengan . merupakan himpunan tak kosong dan merupakan batas bawah sehingga merupakan supremum pada kajian Analisis Nyata. Definisi 3.4 Venema, 2012: 141. Misalkan P, A dan B seperti dalam definisi himpunan bagian dan bahwa adalah nilai kritis untuk dan . Misalkan D adalah sebuah titik pada sisi yang sama dari ⃡ sebagaimana B sehingga . Sudut dinamakan sudut kesejajaran untuk dan . Terdapat dua cara mendasar yang berbeda untuk memilih titik dalam menentukan sinar garis satu dari setiap sisi dari ⃡ yaitu dua sudut yang S P A R T 50 berhubungan dengan dan satu ditentukan oleh dan dan yang lainya ditentukan oleh dan . Gambar 29. Dua Sudut Kesejajaran untuk dan Gambar 29 menunjukkan dua sudut kesejajaran yang kongruen, terlihat bahwa sudut kesejajaran hanya dipengaruhi oleh jarak P ke . Refleksi terhadap ⃡ memperlihatkan, bahwa dan merupakan sudut yang saling kongruen dan keduanya merupakan sudut lancip. Teorema 3.6 memperlihatkan fakta bahwa nilai kritis hanya bergantung kepada jarak P ke dan tidak membedakan dua sudut yang saling kongruen yang ditentukan oleh dua sinar berlawanan dan pada . Teorema 3.6 Venema, 2012: 142. Nilai kritis hanya bergantung kepada . Bukti: Misalkan garis , merupakan titik eksternal, adalah kaki dari garis tegak lurus dari ke , dan adalah sebuah titik pada yang berbeda dari . Diberikan dan adalah rancangan lain sedemikian hingga . Akan dibuktikan bahwa nilai kritis untuk dan sama dengan nilai kritis dan . B’ D D’ B A P 51 Katakanlah himpunan bagian tersebut adalah dan . Misalkan . Maka memotong pada titik . Dipilih sebuah titik pada sedemikian hingga . Maka ada S,Sd,S dan jadi . Dengan cara yang sama apabila , maka . Oleh karena itu dan pembuktian selesai. Gambar 30. Nilai kritis bergantung hanya pada jarak titik ke garis Nilai kritis hanya bergantung pada jarak , sehingga nilai kritis merupakan sebuah fungsi dari bilangan real. Gambar 30 merupakan penggambaran dari pembuktian Teorema 3.6 yaitu dengan melihat keduanya adalah segitiga yang kongruen dengan aturan Sisi-Sudut-Sisi sehinga sudut bersesuaian sama besar. Diberikan sebuah bilangan real , tempatkan titik dan garis sedemikian hingga . Maka didefinisikan fungsi menjadi nilai kritis yang dihubungkan dengan dan . Pilih sebuah titik pada dan didefinisikan fungsi , dimana adalah sudut kesejajaran untuk P dan . Sesuai dengan Teorema 3.6, fungsi adalah yang didefinisikan dengan baik well defined dari sendiri dan tidak bergantung pada pilihan tertentu dari , , atau . Didefinisikan fungsi sebagai berikut. P T A’ 52 Definisi 3.5 Fungsi Kritis Venema, 2012: 143. Fungsi dan dinamakan fungsi kritis. Teorema 3.7 Venema, 2012: 143. Fungsi adalah sebuah fungsi turun, berimplikasi . Bukti: Andaikan a dan b adalah dua bilangan positif bilangan real positif sehingga ab. Ambil , , , dan adalah empat titik sedemiian hingga dan adalah sudut kesejajaran untuk P dan . Kemudian pilih Q pada sehingga . Akan dibuktikan bahwa besar sudut kesejajaran pada tidak lebih besar dari pada . Didefinisikan dan ambil sebuah titik E pada setengah bidang ⃡ sehingga dan ⃡ ⃡ . Jadi ⃡ tidak berpotongan dengan . Semua titik dari ⃡ ada pada setengah bidang yang dibatasi ⃡ sedangkan pada setengah bdang lainya. Karena tidak termasuk himpunan beririsan intersecting set untuk dan , tidaklah dapat kurang dari nilai kritis untuk dan menggunakan Teorema 3.5. Oleh karena itu merupakan besar sudut kesejajaran pada , lebih besar atau sama dengan besar sudut kesejajaran pada . 53 Gambar 31. Besar Sudut Kesejajaran Bersifat Turun Nonincreasing Pada Gambar 31, berimplikasi . Hal ini memperlihatkan bahwa fungsi kritis merupakan fungsi turun. Sudut kesejajaran dapat digunakan untuk membedakan Geometri Hiperbolik dan Geometri Euclid. Setiap sudut kesejajaran pada Geometri Euclid adalah sebesar sebuah sudut siku-siku dan setiap sudut kesejajaran pada Geometri Hiperbolik adalah sudut lancip. Sudut kesejajaran adalah kunci untuk memahami segititiga, bentuk kedua dari garis paralel garis-garis sejajar asimptotik dan defek defek tidak dibahas dalam karya tulis ini. Teorema 3.8 berikut menegaskan bahwa besar sudut kesejajaran pada Geometri Hiperbolik kurang dari 90°. Teorema 3.8 Venema, 2012: 144. Setiap sudut kesejajaran adalah lancip dan setiap nilai kritis kurang dari 90°. Bukti: Misalkan adalah sebuah garis dan misalkan adalah sebuah titik tidak pada . Dibuat sebuah garis tegaklurus melewati di titik . Akan dibuktikan . D E B P a b A 54 Gambar 32. Ada Paling Sedikit Dua Garis Parallel, Salah Satunya Membentuk Sudut Lancip Jika diperhatikan pada Gambar 32, misal adalah sebuah garis sedemikian hingga berada pada dan ⃡ , dan . Dengan menggunakan Postulat Kesejajaran Hiperbolik, ada setidaknya sebuah garis sehingga berbeda dengan , terletak pada dan . Karena tidak tegaklurus dengan ⃡ , besar sudut antara dan haruslah kurang dari pada setengah bidang atau setengah bidang lainya. Ukuran sudut antara dan bukanlah himpunan beririsan, jadi nilai kritisnya tidak lebih besar dari daripada ukurannya. Oleh karenanya nilai kritis kurang dari 90° dan sudut kesejajaran adalah lancip.

2. Sinar-sinar Sejajar Asimptotik