46 menyebabkan beberapa sifat pada Geometri Euclid berbeda dengan sifat-sifat
pada Geometri Hiperbolik. Telah dibahas sebelumnya mengenai garis tegak lurus persekutuan dan
ultraparalel, secara umum pada subbab ini akan dibahas mengenai garis-erapa garis sejajar dalam Geometri Hiperbolik yang tidak memiliki garis tegaklurus
persekutuan garis-garis tersebut tidak ultraparalel. Hal ini mengindikasikan adanya klasifikasi lain pada garis-garis sejajar dalam geometri Hiperbolik selain
garis-garis ultraparalel. Adanya garis semacam ini pada Geometri Hiperbolik terkait dengan sifat sudut kesejajaran dan nilai kritis yang muncul akibat Postulat
Kesejajaran Hiperbolik. Pada subbab sebelumnya telah dibahas mengenai sinar-sinar garis sejajar
memiliki sebuah garis tegaklurus persekutuan yang tunggal dan unik. Selanjutnya akan dibahas mengenai sifat-sifat dalam Geometri Hiperbolik mengenai sudut
kesejajaran dan limit sinar-sinar garis sejajar atau sinar-sinar sejajar asimptotik. Tidak semua garis sejajar dalam Geometri Hiperbolik memiliki garis
tegaklurus persekutuan. Sifat-sifat mengenai sudut kesejajaran dan sinar-sinar sejajar asimptotik akan memberikan gambaran mengenai bentuk kedua dari dua
garis yang sejajar dalam Geometri Hiperbolik. Bentuk pertama adalah garis-garis sejajar yang memiliki tegak lurus persekutuan dan bentuk kedua adalah adanya
garis-garis sejajar yang tidak memiliki garis tegak lurus persekutuan.
1. Sudut Kesejajaran
Sudut kesejajaran diawali dengan mengkonstruksi himpunan beririsan K intersecting set K yang hampir serupa dngan mengkonstruksi batas atas atas
supremum pada analisis real. Selanjutnya pada subbab ini juga akan dibahas
47 nilai kritis critical number, sudut kesejajaran angle of parallelism, dan fungsi
kritis critical function. Sebelum membahas sifat-sifat mengenai sudut kesejajaran, akan dibahas
mengenai himpunan beririsan . Anggap sebuah garis dan titik eksternal .
Menggunakan Teorema Sudut Dalam Berseberangan Teorema 2.8, dua garis tegaklurus ganda melalui
adalah garis yang sejajar . Teorema 2.8 berlaku pada Geometri Netral dan Geometri Hiperbolik
dalam kondisi tertentu. Konvers dari Teorema 2.8 yaitu “ Jika ada dua garis
sejajar dipotong oleh sebuah garis tranversal, maka kedua sudut dalam bersesuaiannya
kongruen” ekuivalen dengan Postulat Kesejajaran Euclid. Jika Konvers dari Teorema 2.8 tidak berlaku pada Geometri Hiperbolik, maka ada
garis sejajar yang lain yang melalui garis-garis tersebut akan dibahas pada
subbab selanjutnya mengenai sinar garis sejajar asimptotik. Kesejajaran tersebut memiliki sinar-sinar garis yang membentuk sudut kurang dari 90° dengan
, dimana
adalah kaki dari garis tegaklurus dari P ke . Misalkan
adalah sebuah garis dan adalah sebuah titik diluar . Tarik garis tegaklurus dari
ke di titik Terdapat pada dan . Untuk setiap bilangan
dengan ada titik , pada sisi yang sama dari
⃡
sebagaimana , sedemikian hingga
. Dengan K adalah .
Definisi 3.2 Himpunan Beririsan Venema,2012: 141.
Himpunan K merupakan himpunan beririsan intersecting set untuk dan
48 Gambar 27. Konstruksi
Himpunan Beririsan untuk dan Sesuai dengan Definisi 3.2 mengenai himpunan
, Gambar 27 menggambarkan konstruksi dari himpunan beririsan
. Sudut adalah sudut yang dibentuk oleh
dan .
Dapat diamati bahwa K dan . Jadi adalah subset dari interval
. Pada faktanya Teorema 3.5 memperlihatkan bahwa adalah interval setengah terbuka dari rumus
. Bagian pertama Teorema 3.5 berikut mengindikasikan bahwa
adalah sebuah interval dan bagian dua teorema memperlihatkan interval tersebut terbuka kanan.
Teorema 3.5 Venema, 2012: 141.
Misalkan K adalah irisan untuk dan
. Jika ,
1. 2.
Bukti:
1. Andaikan adalah himpunan bagian dari dan
