Sifat-sifat Ketegaklurusan pada Geometri Hiperbolik

38

BAB III PEMBAHASAN

Pada bab pembahasan ini akan dibahas mengenai Geometri Hiperbolik yang didasarkan kepada enam postulat pada Geometri Netral dan Postulat Kesejajaran Hiperbolik. Akan dibahas sifat-sifat Geometri Hiperbolik yaitu mengenai sifat- sifat ketegaklurusan, kesejajaran dan segitiga asimptotik.

A. Sifat-sifat Ketegaklurusan pada Geometri Hiperbolik

Sifat-sifat ketegaklurusan pada Geometri Hiperbolik maupun Geometri Euclid dipengaruhi oleh postulat kesejajaran yang berlaku pada masing-masing geometri. Akibatnya, sifat-sifat ketegaklurusan pada kedua geometri memiliki perbedaan. Pada Geometri Euclid sifat-sifat kesejajaran dan ketegaklurusan memunculkan persegi. Berdasar Teorema 2.12 menunjukan bahwa tidak ada persegi pada Geometri Hiperbolik. Pada subbab ini akan dibahas mengenai sifat –sifat ketegaklurusan pada Geometri Hiperbolik. Sifat-sifat ketegaklurusan pada Geometri Hiperbolik terkait dengan adanya garis tegaklurus persekutuan common perpendicular. Garis tegaklurus persekutuan terkait dengan Teorema 2.12 yang menyebutkan bahwa bahwa tidak ada persegi pada Geometri Hiperbolik. Adanya garis tegaklurus persekutuan pada Geometri Hiperbolik mengubah cara berfikir mengenai sifat-sifat ketegaklurusan dan memberikan gambaran yang benar-benar baru mengenai adanya klasifikasi garis sejajar. Pada Geometri Euclid, tidak terdapat klasifikasi garis-garis sejajar hanya ada satu jenis garis sejajar. Teorema 2.8 mengenai Sudut Dalam Berseberangan pada Geometri Netral mengatakan bahwa “dua garis dan yang dipotong oleh tranversal 39 sedemikian hingga sepasang sudut berseberangannya kongruen, maka .” Teorema 2.8 berlaku pada kedua geometri. Pada Geometri Euclid Teorema 2.8 berlaku seperti apa yang digambarkan pada Teorema 2.8. Pada Geometri Hiperbolik, Teorema 2.8 dapat berlaku jika terdapat kondisi dimana Postulat Kesejajaran Hiperbolik berlaku. Kondisi berlakunya Teorema 2.8 dalam Geometri Hiperbolik dipengaruhi adanya garis tegaklurus persekutuan. Geometri Euclid memberikan pemahaman bahwa garis-garis sejajar sebagai garis-garis yang memiliki jarak yang tetap sama untuk setiap pasangan titik bersesuaian. Pada Geometri Euclid, sebarang titik pada berlaku maka untuk setiap titik pada berlaku . Pada Geometri Hiperbolik berlaku Teorema 3.1 berikut. Teorema 3.1 Venema, 2012: 138. Jika adalah sebuah garis, adalah titik eksternal dan adalah sebuah garis sedemikian hingga berada pada , maka hanya ada sebuah titik dimana berada pada m, dan . Bukti: Misalkan dan adalah dua garis. Andaikan ada tiga titik berbeda dan pada sehingga . Misalkan dan adalah kaki-kaki dari garis tegaklurus dari dan ke Jika diperhatikan pada Gambar 22, tidak satupun dari tiga titik P, Q, dan R berada pada karena dP, 0. Setidaknya ada dua dari tiga garis haruslah berada pada sisi yang sama dari Postulat Pemisahan Bidang. 40 Gambar 22. Tiga Titik dan Berjarak Sama terhadap pada Teorema 3.1 Misalkan dan berada pada sisi yang sama pada . Maka adalah segiempat Saccheri. Oleh karena Teorema 2.9, bagian keempat dan ketiga tititk dan terletak pada sisi yang sama dari . Andaikan bahwa . Maka S dan S keduanya adalah segiempat Saccheri. Jadi sudut dan keduanya adalah lancip. Tetapi hal ini berlawanan dengan fakta bahwa dan keduanya adalah suplemen. Pengandaian ditolak dan disimpulkan bahwa tidak mungkin bagi tiga titik pada memiliki jarak yang sama dari . Teorema 3.1 di atas menjelaskan sifat pada Geometri Hiperbolik yaitu garis- garis sejajar tidaklah memiliki jarak yang selalu sama pada setiap titik bersesuaian, tidak mungkin ada tiga titik berlainan yang memiliki jarak sama terhadap garis kedua. Lebih lanjut, akan dibahas konsekuensi dari adanya dua titik pada yang memiliki jarak sama terhadap Teorema 3.1. Konsekuensi tersebut adalah adanya garis tegaklurus persekutuan. Penggambaran garis tegaklurus persekutuan dijelaskan pada Definisi 3.1 berikut. P Q R R’ Q’ P’ 41 Definisi 3.1 Garis Tegaklurus Persekutuan Venema, 2012: 139. Garis dan memiliki sebuah garis tegaklurus persekutuan jika ada sebuah garis n sedemikian hingga dan . Jika dan memiliki sebuah garis tegaklurus persekutuan, maka garis memotong sebuah garis pada sebuah titik P dan memotong pada sebuah titik Q. Gambar 23. Garis Tegaklurus Persekutuan Pada Gambar 23 garis dinamakan garis perpotongan tegaklurus persekutuan sedangkan ruas garis ̅̅̅̅ dinamakan ruas garis tegaklurus persekutuan, dan disebut kaki dari ruas garis tegaklurus ̅̅̅̅ . Teorema 3.2 berikut menjelaskan adanya garis tegaklurus persekutuan pada dua garis sejajar yang memenuhi Teorema 3.1. Pembuktian Teorema dapat menggunakan Gambar 24. Teorema 3.2 Venema, 2012: 139 Jika dan m adalah garis-garis sejajar dan ada dua titik pada yang sama jarak dari , maka dan memiliki sebuah garis tegaklurus persekutuan. Bukti: Garis dan adalah dua garis sejajar yang mengikuti Teorema Sudut Dalam Berseberangan Teorema 2.8 dan Teorema 3.1. Andaikan S adalah segiempat Saccheri, maka L dan L adalah segiempat Lambert. Pada segiempat Lambert dalam Geometri Hiperbolik berlaku Teorema 2.13, sehingga , , dan . Jadi ruas garis ̅̅̅̅ ada. 42 Gambar 24. Segiempat Lambert L dan L dalam Segiempat Saccheri S Sifat lainnya dari garis tegaklurus persekutuan adalah apabila ada dua garis yang sejajar memiliki garis tegaklurus persekutuan, maka garis tegaklurus persekutuan itu tunggal. Ketunggalan garis tegaklurus persekutuan ditegaskan pada Teorema 3.3 berikut. Teorema 3.3 Venema, 2012: 138. Jika dan m adalah garis-garis sejajar yang memiliki garis tegaklurus persekutuan, maka garis tegaklurus persekutuan tersebut tunggal. Bukti: Pada faktanya dan adalah dua garis sejajar yang mengikuti Teorema Sudut Dalam Berseberangan Teorema 2.8. Jika diperhatikan pada Gambar 24, andaikan S adalah segiempat Saccheri. Jika dan memiliki garis tegak lurus persekutuan yang lain, maka segiempat adalah persegi panjang dan tidak ada persegi panjang dalam Geometri Hiperbolik Teorema 2.12. Jadi garis tegak lurus persekutuan tersebut tunggal. C D B A P Q 43 Garis tegaklurus persekutuan tunggal dapat diamati pada Gambar 25 yaitu ruas garis ̅̅̅̅̅ . Menurut Teorema 2.9, segiempat S adalah segiempat Saccheri, dan adalah titik tengah dari ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅̅̅ sehingga ̅̅̅̅̅ tegaklurus terhadap ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅̅̅ . Ruas garis ̅̅̅̅̅ adalah ruas garis tegaklurus persekutuan dan ia tunggal. Gambar 25. Garis Tegaklurus Persekutuan pada Garis dan adalah Tunggal Sifat selanjutnya adalah keterkaitan antara garis-garis sejajar, garis tranversal dan garis tegaklurus persekutuan. Menurut Teorema Sudut Dalam Berseberangan Teorema 2.8, dua garis yang sejajar yang dipotong oleh sebuah tranversal dan membentuk sudut dalam berseberangan saling kongruen, maka kedua garis itu sejajar. Hanya pada kondisi tertentu, Teorema 2.8 dapat berlaku pada dua garis sejajar dalam Geometri Hiperbolik. Kondisi tersebut dijelaskan dalam Teorema 3.4 berikut. Teorema 3.4 Venema, 2012: 138. Misalkan dan m adalah garis-garis paralel yang dipotong oleh garis trasversal t. Sudut dalam berseberangan yang dibentuk oleh dan m dengan tranversal t adalah kongruen jika dan hanya jika dan m memiliki sebuah garis tegaklurus persekutuan dan t memotong titik tengah ruas garis tegaklurus persekutuan. P R Q R’ Q’ P’ 44 Bukti: Misalkan dan m adalah garis sejajar yang dipotong oleh sebuah garis tranversal t. Misalkan R adalah titik perpotongan t dengan ℓ dan S adalah titik potong t dengan m. Gambar 26 berikut merupakan alat bantu pembuktian Teorema 3.4. Gambar 26. Tranversal Memotong Titik Tengah Garis Tegak Lurus Persekutuan Pertama andaikan bahwa kedua pasang sudut dalam berseberangan yang dibentuk oleh ℓ dan m dengan transversal t adalah kongruen. Akan ditunjukkan bahwa ℓ dan m memiliki garis tegaklurus persekutuan dan t melewati titik tengah ruas garis tegaklurus persekutuan. Andaikan bahwa sudut dalam berseberangan tersebut bukanlah sudut siku-siku. Jika sudut dalam berseberangan yang terbentuk oleh ℓ dan m dan tranversal t adalah sudut siku-siku, maka t adalah garis tegaklurus persekutuan dan pembuktian selesai. Misalkan M adalah titik tengah ̅̅̅̅ . Buat sebuah garis tegaklurus dari M ke ℓ di titik P. Buat garis tegaklurus dari M ke m dan Q. Pada faktanya sudut dalam berseberangan pada sisi yang berlawanan pada t adalah kombinasi Q P S R M 45 kongruen dengan Teorema Sudut Luar untuk menunjukkan bahwa P dan Q ada pada sisi berlawanan dari t. Jika sudut dalam berseberangan tersebut adalah sudut lancip, maka keduanya adalah sudut dalam untuk SQM dan RPM dan jika keduanya adalah sudut tumpul maka keduanya adalah sudut luar untuk SQM dan RPM. Oleh karena itu pengandaian dan sd-sd-s dan juga . Karena itu dan adalah sinar garis yang saling berlawanan dan ruas garis ̅̅̅̅ adalah ruas garis tegaklurus persekutuan untuk garis ℓ dan garis m. Teorema 3.4 menunjukkan bahwa sebuah garis tranversal ⃡ memotong dua garis sedemikian, hingga sudut dalam berseberangan yang terjadi kongruen, maka kedua garis itu mempunyai garis tegaklurus persekutuan yaitu ̅̅̅̅ . Dapat diamati pada Gambar 26 bahwa ̅̅̅̅̅ tegaklurus terhadap garis dan ̅̅̅̅̅ tegaklurus terhadap . Segitiga SQM dan RPM adalah segitiga yang saling kongruen, hal ini menyebabkan ̅̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅̅ berada dalam satu garis yaitu ̅̅̅̅ . Dalam Geometri Hiperbolik, dua garis dalam yang dilalui oleh garis tranversal dan memenuhi Teorema 3.4 disebut garis-garis ultraparalel ultraparallel. Garis ultraparalel merupakan salah satu bentuk dari dua klasifikasi garis sejajar. Pada Geometri Euclid, dua buah garis yang dipotong oleh tranversal sejajar jika memenuhi Teorema 2.8.

B. Sifat-sifat Kesejajaran pada Geometri Hiperbolik